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2012北师大版高中数学必修1教案-2012高一数学教案:4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在(北师大版必修1)

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4.1.1 一、教学目标: 利用函数性质判定方程解的存在 1.让学生熟练掌握二次函数的图象, 并会判断一元二次方程根的 存在性及根的个数 ; 2.让学生了解函数的零点与方程根的联系 ; 3.让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定 函数零点中的作用 ; 4。培养学生动手操作的能力 。 二、教学重点、难点 重点:零点的概念及存在性的判定; 难点:零点的确定。 三、

复习引入 例 1:判断方程 x2-x-6=0 解的存在。 分析:考察函数 f(x)= x -x-6, 其 2 8 f(x)=x -x-6 2 6 x2-x-6 4 2 图像为抛物线容易看出,f(0)=-6<0, f(4)>0,f(-4)>0 -10 -5 A -2 5 10 -4 由于函数 f(x)的图像是连续曲线,因此, 点 B (0,-6)与点 C(4,6)之间的那部分曲线 必然穿过 x 轴,即在区间(0,4)内至少有点 X1 使 f(X1)=0;同样,在区间(-4,0) 内也至 少有点 X2,使得 f( X2)=0,而方程至多有两 个解,所以在(-4,0),(0,4)内各有一解 f?x? = x2-x-6 B -6 -8 定义:对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫函数 y=f(x)的 零点 抽象概括 ? y=f(x) 的图像与 x 轴的交点的横坐标叫做该函数的零点 , 即 f(x)=0 的解。X k b 1 . c o m ? 若 y=f(x)的图像在[a,b]上是连续曲线,且 f(a)f(b)<0,则在 (a,b)内至少有一个零点,即 f(x)=0 在 (a,b)内至少有一个实 数解。 f(x)=0 有实根(等价与 y=f(x))与 x 轴有交点(等价与)y=f(x)有 零点 所以求方程 f(x)=0 的根实际上也是求函数 y=f(x)的零点 注意:1、这里所说“若 f(a)f(b)<0,则在区间(a,b)内方程 f(x)=0 至少有一个实数解”指出了方程 f(x)=0 的实数解的存在性,并不能 判断具体有多少个解; 2、若 f(a)f(b)<0,且 y=f(x)在(a,b)内是单调的,那么,方 程 f(x)=0 在(a,b)内有唯一实数解; 3、我们所研究的大部分函数,其图像都是连续的曲线; 4、 但此结论反过来不成立, 如: 在[-2, 4]中有根, 但 f(-2)>0, f(4)> 0,f(-2) f(4) >0; 5、缺少条件在[a,b]上是连续曲线则不成立,如:f(x)=1/ x, 有 f(-1)xf(1)<0 但没有零点。 四、知识应用 w w w .x k b 1.c o m 例 2:已知 f(x)=3x-x2 ,问方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内没有实数解? 为什么? 解:f(x)=3x-x2 的图像是连续曲线, 因为 f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/3<0, f(0)=30-(0)2 =-1>0, 所以 f(-1) f(0) <0,在区间[-1,0]内有零点,即 f(x)=0 在区间[-1,0] 内有实数解 练习:求函数 f(x)=lnx+2x-6 有没有零点? 例 3 判定(x-2)(x-5)=1 有两个相异的实数解,且有一个大于5,一 个小于2。 解:考虑函数 f(x)=(x-2)(x-5)-1,有 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1www.xkb1.com 又因为 f(x)的图像是开口向上的抛物线,所以抛物线与横

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