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数列题型的解题技巧精品


近几年高考题可见数列题
命题有如下趋势: 1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难 度易、中、难三类皆有. 2.数列中 an 与 Sn 之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时 要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与

导数和极限相结合等. 因此复习中应注意: 1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前 n 项和公式 等. 2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q) ,掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运 算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意 q=1 和 q≠1 两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如 an 与 Sn 的转化;将一些数列转化成 等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳. 5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的 关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数 形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果. 7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并 能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解答简 单的问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能运用公式解决简 单的问题. 4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位. 高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以 上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分度.有关 数列的试题经常是综合题, 经常把数列知识和指数函数、 对数函数和不等式的知识综合起来, 试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热 点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与 方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方 法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数 学问题来解决.

【例题解析】 考点 1 正确理解和运用数列的概念与通项公式 理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例题 例 1. 在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间, 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正 三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3,4,?堆最底层(第一层) 分别按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆 第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n)表示第 n 堆的乒 乓球总数,则 f ?3? ? _____ ; f (n) ? _____ (答案用 n 表示).

?

分析:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 12,3,4, ?推测出第 n 层的球数。 解:显然 f ?3? ? 10 . 第 n 堆最低层(第一层)的乒乓球数, a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ? n ? 1? ,第 n 堆的乒乓球数总数相
2

当于 n 堆乒乓球的低层数之和,即 f ? n ? ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 (12 ? 22 ? ? ? n 2 ) ? 1 ? n ? n ? 1? .
2 2 2

所以: f (n) ?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 6

例 2.将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0-1 三角数表.从上往下数, 第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全行的 数都为 1 的是第 行;第 61 行中 1 的个数是 . 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 ?? ??????????????? 分析:计算图形中相应 1 的数量的特征,然后寻找它们之间的规律。 解:第 1 次全行的数都为 1 的是第 2 ? 1 =1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 2 2 ? 1 =3 行,第 3 次全行的数都为 1 的是第 23 ? 1 =7 行,··· 第 n 次全行的数都为 1 的是第 2 n ? 1 行; 61 ···, 第 5 行中 1 的个数是 2 ? 1 =32. 应填 2 n ? 1 ,32 考点 2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见的

类型进行解题。如“逐差法”若 a n ? a n ?1 ? n, 且 a1 ? 1 ;我们可把各个差列出来进行求和, 可得到数列 ?a n ? 的通项.
a n ? ? a n ? a n?1 ? ? ? a n?1 ? a n?2 ? ??? ? a 2 ? a1 ? ? a1 ? n ? ? n ? 1? ? ? ? 2 ? 1 ?

n ? n ? 1? . 2

再看“逐商法”即 a n ?1 ? n ? 1 且 a1 ? 1 ,可把各个商列出来求积。 an
an ? a n a n ?1 a ? ? ?? 2 ? 1 ? n ? n ? 1?? n ? 2 ?? 2? ? n! a 1 a n ?1 a n ?2 a1

另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 例 3.数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, 3, ) 2,? ,且 a1,a2,a3 成公比不为1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式. 分析: (1)由 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列列方程求 c ; (2)可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归纳 概括出 an 与 n 之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前 4 项的该数列的一个通项公式. 解: (I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1,a2,a3 成等比数列,所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) ,解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于
a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,

??, an ? an?1 ? (n ?1)c ,
2

所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ? n(n ? 1) c . 又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2,?) . 3, 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1,?) . 2, 小结:从特殊的事例,通过分析、归纳、抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这是创 新意识的具体体现,这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到,应引起足够的 重视. 例 4.已知数列 ?xn ? 满足 x2 ? x1 ,xn ? 1 ? xn ?1 ? xn ?2 ? ,n ? 3, 4, ?.若 lim xn ? 2 , 则 n ??
2
2

( B )

(A)

3 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

思路启迪:对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用. 解答过程: 2xn ? x n?1 ? x n ?1 , ? x n ? x n ?1 ? xn ?2 ? xn .
? ? ? 相叠加 x ? x ? x ? x ? x ? x . ? n 2 1 2 n n ?1 ??? ? x n ?1 ? x n ? 2 ? x n ?3 ? x n ?1 ? ? x n ? x n ?1 ? x n ? 2 ? x n ? ? x 4 ? x3 ? x 2 ? x 4
? x2 ? x1 , 2

x 3 ? x 2 ? x1 ? x 3

.1 ? 2 xn ? xn? 1 ? 2 x

lim ? 2x n ? x n ?1 ? ? lim 2x1 , lim x n ? 2 ,?2x1 ? 6 , x1 ? 3 .
n ?? n ??

n ??

解答过程 2:由 xn ? 1 ? xn ?1 ? xn ?2 ? 得:
2
1 1 1 x n + x n ?1 ? x n ?1 ? x n ?2 ? ? ? x 2 ? x1 ? x1 , 2 2 2

1 ? ? lim ? x n ? x n ?1 ? ? x1 ,因为 lim x n ? 2 . n ?? n ?? 2 ? ?

所以: x1 ? 3 . 解答过程 3:由 xn ? 1 ? xn ?1 ? xn ?2 ? 得:
2

? 1? ? 1? ? 1? x n ? x n ?1 ? ? ? ? ? x n ?1 ? x n ?2 ? ? ? ? ? ? x n ?2 ? x n ?3 ? ???? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2?
2
3

2

n ?2

? x 2 ? x1 ? ? ? ? ?
x1 .

1? ? ? 2?

n ?1

x1 ,

从而 x3 ? x 2 ? ? ? 1 ? x1 ; x ? x ? ? ? 1 ? x ;??; x ? x ? ? ? 1 ? ? ? n n ?1 4 3 ? ? ? ? 1 ? 2? ? 2? ? 2?
? 叠加得: x n ? x 2 ? x1 ?? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 2 ? ? 2 ? ?
2 3 n ?1

n ?1

? ?. ? ?

n ?2 n ?2 ? ?? 1? ? 1? ? 1? 1 x n ? x 2 ? x1 ?1 ? ? ? ? ? , lim x n ? lim ? x 2 ? x1 ?1 ? ? ? ? ? ? . ? ? ? ? n ?? n ?? 6? ? 2? ? 6 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ?? ?

2?

x1 1 ? x1 , 从而 x1 ? 3 . 2 6

小结:数列递推关系是近几年高高数学的热点,主要是一些能转化为等差等比数列的递推关 系式。对连续两项递推 a n ? ka n-1 ? d ? n ? 2,k ? 1? ,可转化为
an ? d d ? ;对连续三项递推的关系 a ? ? k ? a n ?1 ? n ?1 ? 1? k 1? k ? ?

? ka n ? da n-1 ? n ? 2?

如果方程 x 2 ? kx ? d=0 有两个根 ? 、? ,则上递推关系式可化为
a n ?1 ? ? a n ? ? ? a n ? a n ?1 ? 或 a n ?1 ? ? a n ? ? ? a n ? a n ?1 ? .

考点 3 数列的通项 a n 与前 n 项和 Sn 之间的关系与应用

a n 与 Sn 的关系:a n ? ?S1 ?

?Sn ? Sn ?1

n=1 ,数列前 n 项和 S 和通项 a 是数列中两个重要的量,在 n n n?2

运用它们的关系式 a n ? Sn ? Sn ?1 时,一定要注意条件 n ? 2 ,求通项时一定要验证 a 1 是否适合。 解决含 a n 与 Sn 的式子问题时,通常转化为只含 a n 或者转化为只 Sn 的式子. 例 5. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1? 也是等比数列,则 Sn 等于 ( (A) 2n?1 ? 2 (B) 3n (C) 2n (D) 3n ? 1 点评:本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。 过程指引因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1? 也是等比数列,则
(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1



即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C. 例 6.已知在正项数列{a n}中,S n 表示前 n 项和且 2 Sn ? a n ? 1 ,求 a n. 分析:转化为只含 a n 或者只含 Sn 的递推关系式. 解 1:由已知 2 Sn ? a n ? 1 ,得当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时, a n= S n-S n-1,代入已知有 2 Sn ? Sn ? Sn ?1 ? 1, Sn ?1 ? Sn ? 2 Sn ? 1.
Sn ?1 ?

?

Sn ?1 ,又 a n ? 0,Sn ? Sn ?1 ,故 Sn ?1 ? Sn ? 1 .

?

2

Sn ? Sn ?1 ? 1,

? S ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,
n

Sn ? n 故 a n ? 2n ? 1 .

解 2:由已知 2 Sn ? a n ? 1 ,得当 n=1 时,a1=1;当 n≥2 时 因为 S ? ? a n ? 1 ? ,所以 a ? ? a n ? 1 ? ? ? a n ?1 ? 1 ? . n n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?
2 2 2
2 2 4a n ? a n ? 2a n ? a 2 ?1 ? 2a n ?1 , a 2 ? 2a n ? a n?1 ? 2a n ?1 ? 0 n n

? an ? an?1 ??an ? an?1 ? 2? ? 0 ,因为 a n ? 0 ,
所以 a n ? a n ?1 ? 2 ,所以 a n ? 2n ? 1 . 考点 4 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差、等比数列中,已知五个元素 a1 , a n , n, d 或 q , Sn 中的任意三个,运用方程的思想,便 可求出其余两个,即“知三求二” 。本着化多为少的原则,解题时需抓住首项 a 1 和公差(或 公比 q ) 。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 (1)等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;等比数列 ?a n ? 中,若

m ? n ? p ? q,则 a ma n ? a pa q .
(2)等差数列 ?an ? 中, Sn ,S2n ? Sn ,S3n ? S2n ,?Skn ? Sk?n?1? ,? 成等差数列。其中 Sn 是等差数列的 前 n 项和; 等比数列 ?an ? 中 q ? ?1 ) S, n2 S,?n3 Sn2, ?nk S ?, ? ( ,S S S n n 是等比数列的前 n 项和; (3)在等差数列 ?an ? 中,项数 n 成等差的项 a n 也称等差数列. (4)在等差数列 ?an ? 中, S2n ?1 ? ? 2n ? 1? a n ; S2n ? n ? a n ? a n ?1 ? . 在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思 想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题 例 8.在数列{an}中,a1=2,an+1= ?an ? ?n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N ? ),其中? >0,则 a2008= ( )
k1 ? n?

?

其中 Sn ? 成等比数列。

? A. 2008

2008

? 22008 ? 22007

? B. 2007

2007

? 22007 ? 22008

? C. 2008

2007

? D. 2007

2008

分析:考查等差数列的性质。 解析:由 an+1= ?an ? ?
n ?1

? (2 ? ? )2 n 可得

an ?1

?

n ?1

a 2 2 a 2 ? ( ) n?1 ? n - ? ( ) n ? 1所以数列 { n ? ( ) n } n n

?

?

?

?

?

为等差数列,且公差为 1,首项为 0,则

?

a2008
2008

2 ? ( ) 2008 ? 2008 ? 1, 则a2008 ? 2007 ?2008 ? 2 2008 , 故选 D

?

例 9.某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为 a1,以后

每年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0), 因此,历年所交纳的储备金数目 a1, a2, ? 是一 个公差为 d 的等差数列. 与此同时,国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率,而且 计算复利. 这就是说,如果固定年利率为 r(r>0),那么, 在第 n 年末,第一年所交纳的储备 - - 金就变为 a1(1+r)n 1,第二年所交纳的储备金就变成 a2(1+r)n 2,??. 以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证 Tn=An+ Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列. 分析:本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提 取信息、建立数字模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解: (I)我们有 Tn ? Tn?1 (1 ? r ) ? an (n ? 2). (II) T1 ? a1 , 对n ? 2 反复使用上述关系式,得
Tn ? Tn?1 (1 ? r) ? an ? Tn?2 (1 ? r) 2 ? an?1 (1 ? r) ? an ? ?
a1 (1 ? r ) n?1 ? a2 (1 ? r ) n?2 ? ? ? an?1 (1 ? r ) ? an ,



在①式两端同乘 1+r,得
(1 ? r )Tn ? a1 (1 ? r ) n ? a2 (1 ? r) n?1 ? ? ? an?1 (1 ? r) 2 ? an (1 ? r).



②-①,得
rTn ? a1 (1 ? r ) n ? d [(1 ? r ) n ?1 ? (1 ? r ) n ? 2 ? ? ? (1 ? r )] ? a n d [(1 ? r ) n ? 1 ? r ] ? a1 (1 ? r ) n ? a n , r a r?d a r?d d 即Tn ? 1 2 (1 ? r ) n ? n ? 1 2 . r r r a1 r ? d a r?d d n 如果记An ? (1 ? r ) , Bn ? ? 1 2 ? n, r r2 r 则Tn ? An ? Bn , ? a1 r ? d (1 ? r )为首项,以1 ? r (r ? 0)为公比的等比数列 ; r2 a r?d d d | Bn | 是以 ? 1 2 ? 首项,? 为公差的等差数列 . r r r 其中 | An | 是以

2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求 解的过程中适时应用. 考点 5 等差、等比数列前 n 项和的理解与应用 等差、等比数列的前 n 项和公式要深刻理解,等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数. 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 Sn ? a1 ?1 ? q ? ? a1 ? a1 q n ( q ? 1 ) 因 此 可 以 改 写 为 ,
n

1? q

1? q 1? q

Sn ? aqn ? b (a ? b ? 0) 是关于 n 的指数函数,当 q ? 1 时, Sn ? na1 .
例 10.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k=

A.9 B.8 C.7 D.6 分析:本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解 决问题的能力. 解:此数列为等差数列, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 10 ,由 5<2k-10<8 得到 k=8. 例 11. 已知数列{an}和{bn}满足: a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 0, bn ? an an?1 (n ? N*) 且{bn}是以 q 为公比的等 比数列. (Ⅰ)证明: an?2 ? an q 2 ; (Ⅱ)若 cn ? a2n?1 ? 2a2n , 证明数列 {cn } 是等比数列; (Ⅲ)求和: 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 .
a1 a2 a3 a4 a 2 n?1 a2n

分析: 本小题主要考查等比数列的定义, 通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能, 考查分析问题能力和推理能力. 解法 1: (I)证:由 bn?1 ? q ,有 an ?1an ? 2 ? an ? 2 ? q ,∴ an?2 ? an q2 (n ?N*) .
bn

an an ?1

an

(II)证:? an ? qn?2q2 ,
?a2n?1 ? a2n?3q2 ? ? ? a1q2n?2 , a2n ? a2n?2q2 ? ? ? a2qn?2 ,
?cn ? a2n?1 ? 2a2n ? a1q2n?2 ? 2a2q2n?2 ? (a1 ? 2a2 )q2n?2 ? 5q2n?2 .

??cn ? 是首项为 5,以 q2 为公比的等比数列.

(III)由(II)得 1 ? 1 q 2?2 n , 1n ? 12 q 2 ? 2 n ,于是 a2 a a2 n?1 a1
1 1 1 ?1 1 1 ? ?1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? a1 a2 a2 n ? a1 a3 a2 n ?1 ? ? a2 a4 a2 n ?
? 1? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? 3? 1 1 1 ?. ?1 ? ? ? ? ? 2 n ? 2 ? ? ? 1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 1 ? ? ? 2 n ? 2 ? a1 ? q 2 q 4 q q q ? a2 ? q q ? 2? q q ? ? ?

当 q ? 1 时, 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 3 ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? 3 n . ? ? 2 a a a 2 q2 q4 q 2 n?2
1 2 2n

2n ?2 n 当 q ? 1 时, 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 3 ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? 3 ? 1 ? q ? ? 3 ? q ? 1 ? . ? ? q 2 n ? 2 ( q 2 ? 1) ? ? 2 4 2 n?2 ? ?2 ? 2 2 1? q a a a 2 q q q

1

2

2n

?

?

?

?

?

?

故1

?3 q ? 1, ? n, 1 1 ?2 ? ?? ? ?? 2n a1 a2 a2 n ? ? ? q ? 1 ? ? q 2 n ? 2 (q 2 ? 1) ? ,q ? 1. ?? ? ? ?

解法 2: (I)同解法 1(I) .

(II)证:
cn?1 a2n?1 ? 2a2n?2 q 2 a2 n?1 ? 2q 2a2 n ? ? ? q 2 (n ? N* ) ,又 c1 ? a1 ? 2a2 ? 5 , cn a2 n?1 ? 2a2 n a2 n?1 ? 2a2 n

??cn ? 是首项为 5,以 q 为公比的等比数列.
2

(III)由(II)的类似方法得 a2n?1 ? a2n ? (a1 ? a2 )q2n?2 ? 3q2n?2 ,
a ?a a ?a a ?a 1 1 1 ? ?? ? ? 1 2 ? 3 4 ? ? ? 2 n?1 2 n , a1 a2 a2 n a1a2 a3a4 a2 n ?1a2 n

?
?

a2 k ?1 ? a2 k 3q 2 k ?2 3 ?2k ?2 , k ? 1, ?,n . 2, ? 4 k ?4 ? q a2k ?1a2k 2q 2
1 1 1 3 ? ??? ? (1 ? q ?2 ? ? ? q ?2 n? 2 ) .下同解法 1. a1 a2 a2 k 2

考点 6 数列与函数,解析几何的综合问题 由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目,此类问题将函数与数列知识综 合起来,考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用,涉及的知识点由函数性 质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等,另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实 际背景,它与当前国际数学主流之一的动力系统(拓扑动力系统、微分动力系统)密切相关, 数学家们极为推崇,函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中,近几年又频频出现在高考 数学试题中.
? 例 12.函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,当 x ? [?2 , 1] 时, 1 1 1 f ( x) ? t ( x ? 2) 3 ? t ( x ? 2)(t ? R),记函数 f (x) 的图象在 ( ,f ( )) 处的切线为 l, f ?( ) ? 1 . 2 2 2 (1)求 f (x) 在[0,1]上的解析式;

(2)求切线 l 的方程; (3)点列 B1(b1,2),B2(b2,3),?,Bn(bn,n + 1)在 l 上,A1(x1,0),A2(x2,0),?,An(xn, 0)依次为 x 轴上的点,如图,当 n ?N*,点 An、Bn、An + 1 构成以 An An ?1 为底边的等腰三角形, 若 x1 ? a(0 ? a ? 1) ,且数列 {x n } 是等差数列,求 a 的值和数列 {x n } 的通项公式. (1) 解:? f (? x) ? f ( x), f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,
? f (2 ? x) ? f (?2 ? x) ? f [?1 ? (1 ? x)] ? f [?1 ? (1 ? x)] ? f ( x) ? f (x) 是周期为 2 的周期函数.

(2) 当 0≤x≤1 时,-2≤-2 + x≤-1,

? f ( x) ? f (?2 ? x) ? t[(?2 ? x) ? 2]3 ? t[(?2 ? x) ? 2] ,
整理得 f ( x) ? tx3 ? tx .

1 ? ? f ?( x) ? 3tx2 ? t ,由于 f ?( ) ? 1, t ? ?4 . 2
? f ( x) ? ?4x 3 ? 4x( x ? [0,1]) .

1 1 1 3 1 (2)解:由题意切点为 ( ,f ( )) 即 ( , ) ,l 的斜率为 k l ? f ?( ) ? 1 , 2 2 2 2 2
由直线点斜式方程知 l 的方程为 y ? x ? 1 (3)解:? 点 Bn (bn , ? 1) 在直线 y ? x ? 1 上,? bn ? n . n 又? ?An Bn An?1 为等腰三角形,

?

xn ? xn?1 ? n ,即 xn ? xn?1 ? 2n 2

由此有: x n?1 ? x n? 2 ? 2n ? 2 .两式相减得: x n? 2 ? x n ? 2 .

? 数列 {xn } 的所有奇数项、所有偶数项分别构成以 2 为公差的等差数列
x ? 又 x1 ? x 2 ? 2 , 1 ? a , x 2 ? 2 ? a .

? x2n?1 ? x1 ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? a ,
x2n ? x2 ? 2(n ? 1) ? 2 ? a ? 2n ? 2 ? 2n ? a .

?n ? a ? 1 n为正奇数 ? . ? xn ? ? n为正偶数 ?n ? a ?
当且仅当 a ? 1 ? ? a ,即 a ?

1 时, {x n } 为等差数列. 2 1 此时数列 {x n } 的通项公式为 xn ? n ? 2

x?0 ? ? * y?0 例 13 设 n ? N , 不等式组 ? 所表示的平面区域为 Dn , Dn 内的整点 把 (横、 ? y ? ? nx ? 2n ?
纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排列成点列:

( x1 ,y 1 ) x (2y , 2 ) xn y,n ( , ? ,
(1) 求 ( xn , yn ) ;

,

)

(2) 设数列 {an } 满足 a1 ? x1 , an ? yn (
2

1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ),(n ? 2) 2 y1 y2 yn?1

求证: n ? 2 时,

an ?1 a 1 ? n ? 2; 2 2 (n ? 1) n n 1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) 与 4 的大小。 a1 a2 an

(3) 在(2)的条件下,比较 (1 ?

* 解:(1)由 ? nx ? 2n ? 0 及 x ? 0 得 0 ? x ? 2 ,因为 x ? N ,所以 x ? 1

又 x ? 1 与 y ? ?nx ? 2n 的交点为 (1, n) ,所以 Dn 内的整点,按由近到远排列为: (1,1)(1,2) ? , (1, n) , , (2)证明: n ? 2 时, an ? yn (
2

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? n2 ( 2 ? 2 ? ? ? ) 2 y1 y2 yn?1 1 2 (n ? 1)2

所以

an 1 1 an ?1 1 1 1 1 , ? 2 ? 2 ??? ? 2 ? 2 ?? ? 2 2 2 2 n 1 2 (n ? 1) (n ? 1) 1 2 n an ?1 a 1 ? n ? 2 2 2 (n ? 1) n n 1 1 1 5 ? 2 ? 4 , n ? 2 时, (1 ? )(1 ? ) ? ? 4 a1 a1 a2 2 1 1 1 )(1 ? )?(1 ? ) ? 4 a1 a2 an

两式相减得:

(3) n ? 1 时, 1 ?

可猜想: n ? N 时, (1 ?
*

1 ? an n2 事实上 n ? 3 时,由(2)知 ? an?1 (n ? 1) 2
所以 (1 ?

1 ? an 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a3 1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) ? ? ? ?? ? a1 a2 an a1 a2 a3 an

?

1 ? an ?1 1 ? a1 1 1 ? a2 1 ? a3 ? ?[ ? ?? ? ] ? (1 ? an ) a1 a2 a3 a4 an

1 2 3 n ?1 2 n 2 ? 2 ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 ?? ? ( ) ?( ) ? an ?1 4 3 4 n n ?1 2an ?1 1 1 1 1 ? ? 2( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 (n ? 1) 1 2 3 n 1 1 1 ? 2[1 ? ? ?? ? ] 1? 2 2 ? 3 ( n ? 1) ? n 1 1 1 1 1 ? 2(1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? )?4 2 2 3 n ?1 n

-

考点 7 数列综合应用与创新问题 数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点,全面考察数学知识的掌握和运用的情 况,以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等,涉及的数学思想方

法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。 例 14.在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2?Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面某数大 于后面某数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 (n ? 1)n(n ? 1) ? 321的逆序数为 an, 如排列 21 的逆序数 a1 ? 1 , 排列 321 的逆序数 a 3 ? 6 . 求 a4、a5,并写出 an 的表达式; 分析:考查排列、数列知识.
n(n ? 1) . 2 例 15 . 设 f ( x) 是 定 义 在 (0, ??) 上 的 单 调 可 导 函 数 . 已 知 对 于 任 意 正 数

过程导引:由已知得 a 4 ? 10, a 5 ? 15 , a n ? n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ?

x ,都有

2 1 ,且 f (1) ? a ? 0 . f [ f ( x) ? ] ? x f ( x)

(Ⅰ)求 f (a ? 2) ,并求 a 的值; (Ⅱ)令 an ? 1 , n ? N ? ,证明数列 ?an ? 是等差数列; f ( n) (Ⅲ)设 kn 是曲线 y ? f ( x) 在点 (n2 , f (n2 )) 处的切线的斜率( n ? N ? ) ,数列 {kn } 的前 n 项和为 Sn ,求证: ?4 ? Sn ? ?2 . 思路启迪:根据已知条件求出函数 f ? x ? 的关系式,求出 a n 的递推关系式然后可求解题中要 求. 解: (Ⅰ)取 x ? 1, f (a ? 2) ? 1 ;
a

再取 x ? a ? 2 ? f ( 1 ? 2 ) ? a ? f (1), 1 ? 2 ? 1 ,
a a?2 a a?2

则 a ? 2 ,或-1(舍去). (Ⅱ)设 f ( x) ? t ,则 f (t ? 2 ) ? 1 ,再令 x t , 2 1 2 1 2 x ?t ? ? f ( ? ) ? t ? f ( x),? ? ?x 2 2 x t t? t t? x x 即 xt 2 ? t ? 2 ? 0,? t ? 2 , 或 ? 1 ,又 f (1) ? a ? 0 ,
x x x

则 f ( x) ? t ? 2 , an ? 1 ? n ,
x

f ( n)

2

由 an ?1 ? an ? 1 , n ? N ? ,所以 ?an ? 是等差数列.
2

(3)由(2)得 f ( x) ? 2 ,? f ?( x) ? ? 22 , 则 kn ? f ?(n 2 ) ? ? 24 ,
x x n

所以 Sn ? ?2(1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ) ? ?2 ; 4 4 4
2 3 n

又当 n ? 2 时, kn ? ? 2 ? ? 2 ? ? 4 2
n n

2 1 1 ? ?2( ? ), (n ? 1)n n ?1 n

则 Sn ? ?2[1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 )] ? ?2[1 ? (1 ? 1 )] ? ?4 ,
2 2 3 n ?1 n n

故 ?4 ? Sn ? ?2 . 例 16.已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , f '( x) 是 f(x)的导数; 设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?
f ( an ) (n=1,2,??) f '(an )

(1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 a n >a; a ?? (3)记 bn ? ln n (n=1,2,??) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
an ? a

分析: (1)注意应用根与系数关系求 ? , ? 的值; (2)注意先求 f '( x) ; (3)注意利用 ? , ? 的 关系. 解: (1)∵ f ( x) ? x2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , ∴? ?
?1 ? 5 ?1 ? 5 . ,? ? 2 2
1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 2 4 4 ? an ? ? an ? 2an ? 1 2an ? 1

(2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1

5 1 1 5 ?1 5 ?1 = (2an ? 1) ? 4 ? ,∵ a1 ? 1 ,∴由基本不等式可知 a2 ? ? 0 (当且仅当 a1 ? 4 2an ? 1 2 2 2

时取等号) ,∴ a2 ?

5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,??, an ? . ? 0 同,样 a3 ? ? ? (n=1,2,??) 2 2 2 (a ? ? )(an ? ? ) an ? ? ? (an ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ? ? , (3) an ?1 ? ? ? an ? ? ? n 2an ? 1 2an ? 1
(an ? ? ) 2 (a ? ? )2 1? ? 3? 5 3 ?5 ?ln ? 2ln ,同理 an ?1 ? ? ? n , bn ?1 ? 2bn ,又 b1 ? ln 2an ? 1 2an ? 1 1?? 2 3? 5

an ?1 ? ? ?

3? 5 . 2 数列学习建议: Sn ? 2(2n ? 1)ln

1. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树 立“目标意识”“需要什么,就求什么” , ,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目 标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 2.归纳——猜想——证明体现由具体到抽象,由特殊到一般,由有限到无限的辩证思想.学 习这部分知识,对培养学生的逻辑思维能力,计算能力,熟悉归纳、演绎的论证方法,提高 分析、综合、抽象、概括等思维能力,都有重大意义. 3.解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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及特例分析法,一般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题. 4.数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分,先利用解析几 何的知识以及数形结合得到数列的通项公式,然后再利用数列知识和方法求解.


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