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高中数学必修4人教A2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案)


2. 4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义, 理解定义之后便可引导学生推 导数量积的运算律, 然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点: 平面向量数量积的定义及几何意义; 平面向量数量积的 5 个重要性质; 平面向量数量积的运 算律. 二.教学目标 1.了解平面向量数量积的物理背

景,理解数量积的含义及其物理意义; 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能 运用性质和运算律进行相关的判断和运算; 3.体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、教学重点难点 重点: 1、平面向量数量积的含义与物理意义,2、性质与运算律及其应用。 难点:平面向量数量积的概念 四、学情分析 我们的学生属于平行分班,没有实验班,学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生 对于基本概念不清楚,所以讲解时需要详细 五、教学方法 1.实验法:多媒体、实物投影仪。 2.学案导学:见后面的学案。 3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备:预习学案。 2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展 学案。 。 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 (二)情景导入、展示目标。 创设问题情景,引出新课 1、提出问题 1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结 果是什么? 期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题 2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按 照怎样的顺序研究了这种运算的? 期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用 3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向
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量数量积的物理背景及其含义 (三)合作探究,精讲点拨 探究一:数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3: (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, 那么力 F 所做的功:W= |F| |S| cosα 。 (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 ②F(力)是 ③S(位移)是 ④α 是 量, 量, 量, 。 α S F

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 (1) 数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ︱ a ︱·︱ b b︱cos ? 叫做

a 与 b 的数量积(或内积) ,记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ?
(2)定义说明: ①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② “规定” :零向量与任何向量的数量积为零。 (3)提出问题 4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小 的因素有哪些? 期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不 仅和向量 a 与 b 的模有关,还和它们的夹角有关。 (4)学生讨论,并完成下表:

? 的范围
a · b 的符号

0°≤ ? <90°

? =90°

0°< ? ≤180°

例 1 :已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角 是 60°时,分别求 a · b .

2

解:①当 a ∥ b 时,若 a 与 b 同向,则它们的夹角 θ =0°, ∴ a · b =| a |·| b |cos0°=3×6×1=18; 若 a 与b反向,则它们的夹角 θ =180°, ∴ a · b =| a || b |cos180°=3×6×(-1)=-18; ②当 a ⊥ b 时,它们的夹角 θ =90°, ∴ a · b =0; ③当 a 与 b 的夹角是 60°时,有

a · b =| a || b |cos60°=3×6×
评述:

1 =9 2

两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°] ,因此,

当 a ∥ b 时,有 0°或 180°两种可能. 变式:对于两个非零向量 a 、 b ,求使| a +t b |最小时的 t 值,并求此时 b 与 a +t b 的 夹角。

探究二:研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念: 如图,我们把│ b │cos ? (│ a │cos ? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影, 记做:OB1=︱│ b │︱cos ? 2.提出问题 5:数量积的几何意义是什么? 期望学生回答:数量积 a · b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 a 的方向上的投影 ︱ b ︱cos ? 的乘积。
3

3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质:功是力与位移的数量积 。

探究三:探究数量积的运算性质 1、提出问题 6: 比较︱ a · b ︱与︱ a ︱×︱ b ︱的大小,你有什么结论? 2、明晰:数量积的性质 设 a 和 b 都是非零向量,则 1、 a ⊥ b

a · b =0

2、当 a 与 b 同向时,︱ a · b ︱=︱ a ︱︱ b ︱;当 a 与 b 反向时,
2 ︱ a · b ︱= -︱ a ︱︱ b ︱, 特别地, a · a =︱ a ︱ 或︱ a ︱= a ? a

3、︱ a · b ︱≤︱ a ︱×︱ b ︱

3.数量积的运算律 (1) 、提出问题 7:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适 用? 预测:学生可能会提出以下猜想: ① a ·b = b ·a ② (a ·b )c =a (b ·c ) ③( a + b ) c = a · c + b · c · (2) 、分析猜想: 猜想①的正确性是显而易见的。 关于猜想②的正确性, 请同学们先来讨论: 猜测②的左右两边的结果各是什么?它们一 定相等吗? 期望学生回答:左边是与向量 c 共线的向量,而右边则是与向量 a 共线的向量,显然在 向量 c 与向量 a 不共线的情况下猜测②是不正确的。 (3) 、明晰:数量积的运算律:

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已知向量 a 、 b 、 c 和实数λ,则: (1) a · b = b · a (2) (λ a ) b =λ( a · b )= a · · (λ b )

(3) a + b ) c = a · c + b · c ( ·
例 2 、 师 生 共 同 完 成 ) 已 知 ︱ a ︱ =6 , ︱ b ︱ =4, a 与 b 的 夹 角 为 60 ° , 求 ( ( a +2 b )( a -3 b ) · ,并思考此运算过程类似于实数哪种运算? 解: a +2 b )( a -3 b )= a . a -3 a . b +2 a . b -6 b . b ( · =36-3×4×6×0.5-6×4×4 = -72 评述:可以和实数做类比记忆数量积的运算律 变式: (1)( a + b ) = a +2 a · b + b
2 2 2 2

(2)( a + b )·( a - b )= a — b

2

(四)反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。 (课堂实录) (五)发导学案、布置预习。 我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义, 那么, 在下一节课我们一起来学习数量积 的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分,着重分析坐标的作用 设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓 展训练。 九、板书设计 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高 十、教学反思 概念: 1、 例 1: 本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课 2、 概念强调 (1)记法 例 2: (2) “规定” 三、数量积的运算律 堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等, 3、几何意义: 最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨

4、物理意义: 论影响数量积结果的因素并完成表格, 其次将数量积的几何意义提前, 这样使学生从代数和
几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习,一方面 使学生尝试计算数量积, 另一方面使学生理解数量积的物理意义, 同时也为数量积的性质埋 下伏笔。 数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸, 教材中这两方面的内容都是以探究的 形式出现,为了让学生很好的完成这两个探究活动,我始终按照先创设一定的情景,让学生 去发现结论,教师明晰后,再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试 练习的结论推广得到, 数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到, 这样不仅使学生感 到亲切自然,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。

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2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
课前预习学案 一、预习目标: 预习平面向量的数量积及其几何意义;平面向量数量积的重要性质及运算律; 二、预习内容: 1.平面向量数量积(内积)的定义:

2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

3. “投影”的概念:作图 4.向量的数量积的几何意义: 5.两个向量的数量积的性质: 设 a 、 b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e? b = b e =

2?

a ?b ?a ? b =

设 a 、 b 为两个非零向量,e 是 a 与同向的单位向量. e? a = a ?e =

a 3? 当 a 与 b 同向时, ? b =
| a |2 或 | a |?

a 当 a 与 b 反向时, ? b =

特别的 a ? a =

a?a

4? cos? = 5? | a ? b | ≤ | a || b |

三、提出疑惑:

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同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1 说出平面向量的数量积及其几何意义; 2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 学习重难点: 。平面向量的数量积及其几何意义 二、学习过程 创设问题情景,引出新课 1、提出问题 1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结 果是什么?

2、提出问题 2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按 照怎样的顺序研究了这种运算的?

3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向 量数量积的物理背景及其含义 探究一: 数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3: (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, 那么力 F 所做的功:W= (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 ②F(力)是 ③S(位移)是 ④α 是 量, 量, 量, 。 α S F

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义 (1)数量积的定义:

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已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ︱ a ︱·︱ b ︱cos ? 叫做

a 与 b 的数量积(或内积) ,记作: a · b ,即: a · b = ︱ a ︱·︱ b ︱cos ?
(2)定义说明: ①记法“ a · b ”中间的“· ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② “规定” :零向量与任何向量的数量积为零。 (3)提出问题 4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小 的因素有哪些?

(4)学生讨论,并完成下表:

? 的范围
a · b 的符号

0°≤ ? <90°

? =90°

0°< ? ≤180°

例 1 :已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角 是 60°时,分别求 a · b . 解:

变式: . 对于两个非零向量 a 、 b ,求使| a +t b |最小时的 t 值,并求此时 b 与 a +t b 的夹角.

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探究二:研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念: 如图,我们把│ b │cos ? (│ a │cos ? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影, 记做:OB1=︱│ b │︱cos ? 2.提出问题 5:数量积的几何意义是什么?

3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质:

探究三:探究数量积的运算性质 1、提出问题 6:比较︱ a · b ︱与︱ a ︱×︱ b ︱的大小,你有什么结论?

2、明晰:数量积的性质

设 a 和 b 都是非零向量,则 1、 a ⊥ b
a · b =0

2、当 a 与 b 同向时,︱ a · b ︱=︱ a ︱︱ b ︱;当 a 与 b 反向时, ︱ a · b ︱= -︱ a ︱︱ b ︱, 特别地, a · a =︱ a ︱2 或︱ a ︱= a ? a 3、︱ a · b ︱≤︱ a ︱×︱ b ︱
3.数量积的运算律 (1) 提出问题 7: 、 我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也用?

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(2) 、明晰:数量积的运算律:

已知向量 a 、 b 、 c 和实数λ,则: (1) a · b = b · a (2) (λ a ) b =λ( a · b )= a · · (λ b )

(3) a + b ) c = a · c + b · c ( ·
例 2、 (师 生共同 完成)已 知︱ a ︱ =6, ︱ b ︱ =4, a 与 b 的 夹角 为 60° , 求 ( a +2 b )( a -3 b ) · ,并思考此运算过程类似于实数哪种运算? 解:

2 2 2 变式: (1)( a + b ) = a +2 a · b + b 2 2

(2)( a + b )·( a - b )= a — b

(三)反思总结

(四)当堂检测

b 1 .已知| a |=5, | b |=4, a 与 b 的夹角 θ=120o,求 a · .

2. 已知| a |=6, | b |=4, a 与 b 的夹角为 60o 求( a +2 b )·a -3 b ) ( . 3 .已知| a |=3, | b |=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a +k b 与 a -k b 互相垂直.

4.已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角是 60° 时,分

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别求 a · . b

5.已知| a |=1,| b |= 2 ,(1)若 a ∥ b ,求 a · ;(2)若 a 、 b 的夹角为60° ,求| a + b |; b (3)若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角.

6.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a =2m+n 与 b =2n-3m 的夹角.

课后练习与提高 1.已知| a |=1,| b |= 2 ,且( a - b )与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135° D.45° )

2.已知| a |=2,| b |=1, a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m= a -4 b 的模为( 3
D.12 )



A.2

B.2 3

C.6

3.已知 a 、 b 是非零向量,则| a |=| b |是( a + b )与( a - b )垂直的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 4.已知向量 a 、 b 的夹角为 B.必要但不充分条件? D.既不充分也不必要条件

? ,| a |=2,| b |=1,则| a + b |·a - b |= | 3

.

5.已知 a + b =2i-8j, a - b =-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位

b 向量,那么 a · =

.


6.已知 a ⊥ b 、 与 a 、b 的夹角均为 60° 且| a |=1, b |=2, c , | |c|=3, a +2 b -c) =______. 则(

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