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人教A版数学必修1课件:1.3.1(1)函数的单调性


§1.3.1 单调性与最大(小)值
第一课时
学习目标

1. 通过观察函数的图象以及函数值随自变量变化 而变化的规律得出增(减)函数的定义.
2. 会根据函数的图象写出函数的单调性.(例1) 3. 掌握用单调性的定义证明函数单调性的基本方法 与步骤.(例2)

引入课题
观察下列各个函数的图象,并

说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律:
y y y

1

1

1

-1

1 -1

x

-1

1 -1

x

-1

1 -1

x

问:随x的增大,y的值有什么变化?

引入课题
由下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x 2.f(x) = x
2

y

y? x

2

如何描述函 数图象的 “上 升”“下 降”?

f ( x1 ) ff (x (1 x) )
1

f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x1 )
Ox x
1 1

x1xx 11

x1x1

x

1. 函数单调性的定义
y

设f(x)的定义域为I:
y

y ? f (x)
f (x1 ) f (x 2 )

f (x1 )
O

f (x 2 )
x2
x
O

x1

x1

x2

x

? 如果对于定义域I内某个区 ? 如果对于定义域I内某个 间D上的任意两个自变量 区间D上的任意两个自变 的值x1, x2, 当x1<x2时, 量的值x1,x2,当x1<x2时, 都有f(x1 )<f(x2 ),那么就 都f(x1 )>f(x2 ),那么就说 说在这个区间上是增函数 在这个区间上是减函数

1. 函数单调性的定义
如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数 或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间D 具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的 单调(递增或递减)区间.

思考?
函数y=x2在定义域 上具有单调性吗?

y

y? x

2

x
O

提示:函数的单调性是在定义域内的某个区间上 的性质,是函数的局部性质.

例题分析
例1.如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调 区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x) 是增函数还是减函数.
y

f ( x)
-2 -5 x

1 图6

3

5

2.几点注意(请记下)
(1)函数的单调性是对某个区间而言的
(2)多个区间请用“ ,”或者用“ 和 ”

(3) 基本初等函数的单调性

k 反比例函数 y ? , ( k ? 0) 的单调性,单调区间: x 2 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
的单调性,单调区间:

一次函数

y ? kx ? b(k ? 0) 的单调性,单调区间:

例题分析
补例1.作出函数

y = x - 4| x|+ 3

2

的图象并指出它的的单调区间.
k 例2.物理学中的玻意定律 p = V (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体, 当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的 单调性证明之.

3. 证明函数单调性的方法
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: (请记下) ① 取值---任取x1,x2∈D,且x1<x2; ② 作差---f(x1)-f(x2) ③ 变形---通常是因式分解、配方、通分等 ④ 定号---即判断差f(x1)-f(x2)的正负 ⑤ 定论---即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.

3. 证明函数单调性的方法
1 探究:P30 画出反比例函数 y ? x 的图象. ①这个函数的定义域是什么? ②它在定义域I上的单调性怎样?证明 你的结论.

k 结论3:反比例函数 y ? ( k ? 0) x 的单调性,单调区间:

例题分析
补例2.证明函数

在(1,+∞)上为增函数.(板书)

1 y? x? x
2

补例3.讨论函数

f(x) ? x ? 2ax ? 3

在(-2,2)内的单调性.(口述)

归纳小结
1、函数的单调性的判定、证明和单调区间 的确定:函数的单调性一般是先根据图象 判断,再利用定义证明.画函数图象通常 借助计算机,求函数的单调区间时必须要 注意函数的定义域,单调性的证明一般分 五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 定论 2、直接利用初等函数的单调区间。

请同学们认真完成相关的课后强化作业!!


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