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常州市2014届高三上学期期末考试数学试题(Word版、含答案)


常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ试题
参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,… , x n 的方差 s ?
2

2014 年 1 月

1 n 1 n ( xi ? x) 2 ,其中 x = ? xi . ? n i ?1 n i ?1

一、填空题:本大题共 14 小题,每

小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
2 1. 设集合 A ? x x ? 1 ,x ? R , B ? x 0 ≤ x ≤ 2 ,则 A

?

?

?

?

B=


▲ .



2. 若

1 ? mi ,则 mn 的值为 ? 1 ? ni ( m,n ? R ,i 为虚数单位) i

3. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为 a2 4





4. 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一,高二年级分别有 80 名,50 名.现用分层抽样的方法在这 130 名 学生中抽取一个样本, 已知在高一年级学生中抽取了 24 名, 则在高二年级学生中应抽取的人数为
3





5. 某市连续 5 天测得空气中 PM2.5(直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物)的数据(单位: mg / m )分别为 115,125,132,128,125,则该组数据的方差为 6. 函数 y ? 2sin x ? 3cos x ? 4 的最小正周期为
2 2

▲ ▲

. .

7. 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料.从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取 2 瓶中至少有一瓶是果 汁类饮料的概率为 ▲ .

? x ? y ≥3, ? 2 2 8. 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≤ 3, 则 z ? 5 ? x ? y 的最大值为 ? x ≤ 3, ?
4 3 2 x





9. 若曲线 C1 :y ? 3x ? ax ? 6 x 与曲线 C2 :y ? e 在 x ? 1 处的切线互相垂直, 则实数 a 的值为 10. 给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号为 11. 已知 q ? ? ? 则 q 的值为 ▲ .





3 ? p p? tan 3 3q ,若数列 ?an ? 的前 2014 项的和为 0, , ? ,等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a4 ? 9 6 6 ? ?
▲ .

?? 1 ? x ?? ? , x ? 0, 12. 已知函数 f(x)= ?? 2 ? 若 f ( f (?2)) ? f (k ) ,则实数 k 的取值范围为 ▲ . ? 2 ?( x ? 1) , x ≥ 0,

第 1 页 共 15 页

13. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 tan A ? 7 tan B ,
2 2

a 2 ? b2 ? 3 ,则 c ? c





14. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x ? y ? 16 ,点 P(1, 2) ,M,N 为圆 O 上不同的两点,且满足

PM ? PN ? 0 .若 PQ ? PM ? PN ,则 PQ 的最小值为





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 ....... 演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设向量 m ? (a, c) , n ? (cos C,cos A) . (1)若 m ∥ n , c ?

3a ,求角 A;

(2)若 m ? n ? 3b sin B , cos A ?

4 ,求 cos C 的值. 5

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,AB⊥BC,E,F 分别是 A1 B , AC1 的中点. (1)求证:EF∥ 平面 ABC; (2)求证:平面 AEF ⊥平面 AA1 B1 B ;

F ? ABC 的体积. (3)若 A 1 A ? 2 AB ? 2 BC ? 2a ,求三棱锥

A?1

A E

F
B?1

B

C?1

C
(第 16 题)

第 2 页 共 15 页

17. (本小题满分 14 分) 设等差数列 {an } 的公差为 d,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? a5 , S5 ? 25 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若

p , q 为互不相等的正整数,且等差数列 {bn } 满足 bap ? p , baq ? q ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

第 3 页 共 15 页

18. (本小题满分 16 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右 准 线 为 直 线 l , 动 直 线 a 2 b2

(k ? 0 ,m ? 0交椭圆于 ) y? kx ? m A, B 两点, 线段 AB 的中点为 M, 射线 OM 分别交椭圆及直线 l 于 P,
Q 两点,如图.若 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,点 Q 的纵坐标为 心率) ,且 OQ ? 5OM . (1)求椭圆 E 的标准方程;

1 (其中 e 为椭圆的离 e

y
l

m (2) 如果 OP 是 OM, OQ 的等比中项, 那么 是否为常数? k
若是,求出该常数;若不是,请说明理由.

B

M
O

P

Q

A

x

(第 18 题)

第 4 页 共 15 页

19. (本小题满分 16 分) 几名大学毕业生合作开设 3 D 打印店,生产并销售某种 3 D 产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售 完,每件产品的生产成本为 34 元,该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第 二部分是其它固定支出 20000 元.假设该产品的月销售量 t ( x) (件)与销售价格 x (元/件) ( x?N ) 之间满足如下关系:①当 34 ≤ x ≤ 60 时, t ( x) ? ?a( x ? 5)
2
?

? 10050 ;②当 60 ≤ x ≤ 70 时,

t ( x) ? ?100x ? 7600 .设该店月利润为 M
(1)求 M 关于销售价格 x 的函数关系式;

(元) ,月利润=月销售总额-月总成本.

(2)求该打印店月利润 M 的最大值及此时产品的销售价格.

第 5 页 共 15 页

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? (1)当 a

a a?R , . x

? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值;

(2)求函数

f ( x) 的单调区间;
a ,若实数 b 满足: b ? a 且 ? b ? g? ? ? g (a) , x ?1 ? b ?1 ?

( 3 )当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1?

? a ? b ? ,求证: 4 ? b ? 5 . g (b) ? 2 g ? ? ? 2 ?

第 6 页 共 15 页

常州市教育学会学生学业水平监测
数学Ⅱ(附加题)
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,等腰梯形 ABCD 内接于⊙ O ,AB∥CD.过点 A 作⊙ O 的切线交 CD 的延长线于点 E. 求证:∠DAE=∠BAC.

2014 年 1 月

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答, ...... .......

B

A

O C

D
(第 21-A 题)

E

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知直线 l : ax ? y ? 0 在矩阵

?0 1 ? ,求实数 a A ?? ? 对应的变换作用下得到直线 l ? ,若直线 l ? 过点(1,1) ?1 2 ?

的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知点 P(2 3, ) ,直线 l : r cos(q ?

p 6

p ) ? 2 2 ,求点 P 到直线 l 的距离. 4

D.选修 4—5:不等式选讲
2 2 2 2 已知 x ≥1 , y ≥ 1 ,求证: x y ? xy ? 1 ≤ x y ? x ? y .

第 7 页 共 15 页

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,已知平面 PAB⊥平面 ABC,AC⊥ BC,AC=BC=2a,点 O,D 分别是 AB,PB 的中点, PO⊥ AB,连结 CD. (1)若 PA ? 2a ,求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小; (2)若二面角 A-PB-C 的余弦值的大小为

5 ,求 PA. 5

P

D
A
O

B

C
(第 22 题)

23. (本小题满分 10 分) 设集合 A,B 是非空集合 M 的两个不同子集,满足:A 不是 B 的子集,且 B 也不是 A 的子集. (1)若 M= {a1 , a2 , a3 , a4 } ,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2)若 M= {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.

第 8 页 共 15 页

常州市教育学会学生学业水平监测
高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1. ?0,1? 8. 2. ?1 9. 3.

1

4.

15 11. ?

5.31.6(写成

158 也对) 6. p 5
13.4

7.

7 10

1 2

1 3e

10. (1) (2)

p 9

12. (log 1 9, 4)
2

14. 3 3 ? 5

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1)∵ m ∥ n ,∴ a cos A ? c cos C .由正弦定理,得 sin A cos A ? sin C cos C . 化简,得 sin 2 A ? sin 2C . ………………………………………………2 分

∵ A, C ? (0, p ) ,∴ 2 A ? 2C 或 2 A ? 2C ? p , 从而 A ? C (舍)或 A ? C ?

p p .∴ B ? . 2 2

………………………………4 分

在 Rt△ABC 中, tan A ?

a 3 p ? ,A? . c 3 6

…………………………………6 分

(2)∵ m ? n ? 3b cos B ,∴ a cos C ? c cos A ? 3b sin B .
2 由正弦定理,得 sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin B ,从而 sin( A ? C) ? 3sin B .
2

∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin( A ? C ) ? sin B . 从而 sin B ? ∵ cos A ?

1 . 3

……………8 分

4 p 3 ? 0 , A ? (0, p ) ,∴ A ? (0, ) , sin A ? . 5 2 5

……………………10 分

∵ sin A ? sin B ,∴ a ? b ,从而 A ? B ,B 为锐角, cos B ? ∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B =?

2 2 . 3

………12 分

4 2 2 3 1 3?8 2 ? ? ? ? . 5 3 5 3 15

…………………………………14 分

16.证明: (1)连结 A1C . ∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AA1C1C 是矩形, ∴点 F 在 A1C 上,且为 A1C 的中点. 在△ A1 BC 中,∵E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点, ∴EF∥BC. ……………2 分

又∵BC ? 平面 ABC, EF ? 平面 ABC,所以 EF∥ 平面 ABC.

………………4 分

(2)∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC,∴ B1 B ? BC. ∵EF∥BC,AB⊥BC,∴AB⊥EF, B1 B ? EF. ………………………………6 分

第 9 页 共 15 页

∵ B1 B

AB ? B ,∴EF⊥平面 ABB1 A1 .

………………………………8 分 ………………………………10 分 ………………………………12 分 ………………………………14 分

∵EF ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1 . (3) VF ? ABC ? =

1 1 1 VA1 ? ABC ? ? ? S?ABC ? AA1 2 2 3

1 1 1 2 a3 ? ? a ? 2a ? . 2 3 2 6

17.解: (1)由已知,得 ?

?3a1 ? 3d ? a1 ? 4d, ? a1 ? 1, 解得 ? ? d ? 2. ?5a1 ? 10d ? 25,

…………………4 分

∴ an ? 2n ? 1 . (2)

……………………………………………………………6 分

p , q 为正整数, 由(1)得 a p ? 2 p ? 1 , aq ? 2q ? 1 . …………………8 分
………………………………………10 分

进一步由已知,得 b2 p ?1 ? p , b2q ?1 ? q .

∵ {bn } 是等差数列, p ? q ,∴ {bn } 的公差 d ? ? 由 b2b ?1 ? b1 ? (2 p ? 2)d ? ? p ,得 b1 ? 1 . ∴ Tn ? nb1 ?

q? p 1 ? . ………………12 分 2q ? 2 p 2

n(n ? 1) n2 ? 3n . d? ? 2 4

…………………………………………14 分

18. 解:当 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时,则 A(a,0) , B(0, b) , M ( , ) .

a b 2 2

1 b a2 1 ∵ Q( , ) ,∴由 O,M,Q 三点共线,得 ? e2 ,化简,得 b ? 1 .………2 分 a a c e c
a2 ∵ OQ ? 5OM ,∴ c ? 5 ,化简,得 2a ? 5c . a 2
?a 2 ? b2 ? c 2, 由 ?b ? 1, ? ? ?2a ? 5c,

? a 2 ? 5, 解得 ? ? 2 ? ?c ? 4.

…………………………………………4 分

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………6 分 5 x2 (2)把 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ,代入 ? y 2 ? 1 ,得 5
(1)椭圆 E 的标准方程为

(5k 2 ? 1) x2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .
2 2 当△ ? 0 , 5k ? m ? 1 ? 0 时, xM ? ?

……………………………………………8 分

5mk m , yM ? , 5k 2 ? 1 5k 2 ? 1
……………………………………………10 分

从而点 M (?

5mk m , 2 ). 2 5k ? 1 5k ? 1

第 10 页 共 15 页

所以直线 OM 的方程 y ? ?

1 x. 5k
25k 2 . ……………………………………………12 分 5k 2 ? 1

1 ? y ? ? x, ? ? 5 k 由? 2 ? x ? y 2 ? 1, ? ?5

得 xP 2 ?

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP ? OM ? OQ ,
2

从而 xP ? xM xQ ? ?
2

25mk . 2(5k 2 ? 1)

……………………………………………14 分



25k 2 25mk m ?? ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 . ……………15 分 2 2 5k ? 1 2(5k ? 1) k
………………………………………………………………16 分
2



m 为常数 ?2 . k

19.解: (1)当 x ? 60 时, t (60) ? 1600 ,代入 t ( x) ? ?a( x ? 5) ? 10050 , 解得 a ? 2 . ∴ M ( x) ? ? ………………………………………………………………2 分

2 ? ? ?(?2 x ? 20 x ? 10000)( x ? 34) ? 20000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν , ? ? ?(?100 x ? 7600)( x ? 34) ? 20000,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .

即 M ( x) ? ?

??2 x3 ? 48x2 ? 10680 x ? 360000,34 ≤ x ? 60, x ? Ν? , ? 2 ? ? ??100 x ? 1100 x ? 278400,60 ≤ x ≤ 70, x ? Ν .

……………4 分

(注:写到上一步,不扣分. )
2 (2)设 g (u) ? (?2u ? 20u ? 10000)(u ? 34) ? 20000 , 34 ≤ u ? 60 , u ? R ,则

g ?(u) ? ?6(u 2 ? 16u ? 1780) .
令 g ?(u ) ? 0 ,解得 u1 ? 8 ? 2 461 (舍去) , u2 ? 8 ? 2 461 ? (50,51) .……………7 分 当 34 ? u ? 50 时, g ?(u ) ? 0 , g (u ) 单调递增; 当 51 ? u ? 60 时, g ?(u ) ? 0 , g (u ) 单调递减.
?

… ………………………………10 分

∵ x ? Ν , M (50) ? 44000 , M (51) ? 44226 ,∴ M ( x ) 的最大值为 44226 .………12 分 当 60 ≤ x ≤ 70 时, M ( x) ? 100(? x ? 110x ? 2584) ? 20000 单调递减,
2

故此时 M ( x ) 的最大值为 M (60) ? 216000 .

… ………………………………14 分 ……………………15 分 ……16 分

综上所述,当 x ? 51 时,月利润 M ( x ) 有最大值 44226 元.

答:该打印店店月利润最大为 44226 元,此时产品的销售价格为 51 元/件.

第 11 页 共 15 页

20.解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x , f ?( x) ? 列表: x

1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . x

………1 分

(0,1)
+

1
0 极大值

(1, ??)
?


f ?( x)

↗ f ( x) 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?1 . (2) f ?( x) ?

…………………………………………3 分

1 a ?x ? x ? a . ?1 ? 2 ? x x x2
2

2 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? x ? a ? 0 ,记 ? ? 1 ? 4 a .

(ⅰ)当 a ≤ ? (ⅱ)当 a ? ? ①若 ?

1 时, f ?( x) ≤ 0 ,所以 f ( x) 单调减区间为 (0, ??) ; …………5 分 4

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 , x2 ? 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , 2 2 4

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , 4

由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x2 , x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x2 ? x ? x1 . 所以, f ( x) 的单调减区间为 (0, 单调增区间为 (

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ?? ) , ) ,( 2 2

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ) ;………………………………7 分 2 2 ②若 a ? 0 ,由(1)知 f ( x) 单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1, ??) ;
③若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 ? x2 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x1 .

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ?? ) ,单调增区间为 (0, ) . ……9 分 f ( x) 的单调减区间为 ( 2 2
综上所述:当 a ≤ ?

1 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, ??) ; 4
1 ? 1 ? 4a 单调增区间为 (1 ? 1 ? 4a , 1 ? 1 ? 4a ) ; ) ,(1 ? 1 ? 4a , ??) , 2 2 2 2

当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, 4 当 a ≥ 0 时, f ( x) 单调减区间为 (

1 ? 1 ? 4a , ??) ,单调增区间为 (0, 1 ? 1 ? 4a ) .………………10 分 2 2

(3) g ( x) ? ln( x ? 1) ( x ? 1 ) .由 g ( ∵1 ? a ? b ,

1 b ? ln(a ? 1) . ) ? g (a) 得 ln b ?1 b ?1 ∴ b ? 1 ? a ? 1 (舍),或 (a ? 1)(b ? 1) ? 1 .
2

∵ 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? (b ? 1) ,∴ b ? 2 . 由 g (b) ? 2 g ( 因为

…………………………………12 分

a?b 1 a?b ? 1) ? 2 ln [( a ? 1) ? (b ? 1)] , ? ? ? (*) ) 得, ln(b ? 1) ? 2 ln( 2 2 2

a ?1 ? b ?1 ≥ (a ? 1)(b ? 1)=1 , 2
第 12 页 共 15 页

所以(*)式可化为 ln(b ? 1) ? 2ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] , 即 b ?1 ? [ (

1 2

1 1 ? b ?1 ) ]2 . 2 b ?1 1 2 1 t

………………………………………………14 分
4 3 2

令 b ? 1 ? t (t ? 1) ,则 t ? [ (t ? )]2 ,整理,得 t ? 4t ? 2t ? 1 ? 0 ,
3 2 从而 (t ? 1)(t ? 3t ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? 3t ? t ? 1 ? 0 .
3 2

3 2 2 记 h(t ) ? t ? 3t ? t ? 1, t ? 1 . h?(t ) ? 3t ? 6t ? 1 ,令 h?(t ) ? 0 得 t ? 1 ?

2 3 2 3 (舍) , t ?1? , 3 3

列表:

t
h?(t )

(1,1 ?
?

2 3 ) 3

(1 ?

2 3 , ?? ) 3
+ ↗

h (t )
所以,h (t ) 在 (1,1 ? 从而 4 ? b ? 5 .



2 3 2 3 ) 单调减, , ?? ) 单调增, 在 (1 ? 又因为 h(3) ? 0, h(4) ? 0 , 所以 3 ? t ? 4 , 3 3
………………………………………………16 分

第 13 页 共 15 页

常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅱ(附加题) 参考答案
21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:∵ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC. ∴ AD=BC. 从而 AD ? BC .

……………………………………………………4 分 …………………………………8 分

∵AE 为圆的切线,∴∠EAD=∠ACD. ∴∠DAE=∠BAC. B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设 P( x, y ) 为直线 l 上任意一点,在矩阵

……………………………………………………10 分

A 对应的变换下变为直线 l ? 上点 P?( x?, y?) ,
……………………………4 分

则?

? x? ? ?0 1 ? ? x ? ? x ? ?2 x? ? y?, ?? ,化简,得 ? ? ? ? ? ? y ? x?. ? y ? ? ?1 2 ? ? y ?

代入 ax ? y ? 0 ,整理,得 ?(2a ? 1) x? ? ay ? ? 0 . 将点(1,1)代入上述方程,解得 a=-1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:点 P 的直角坐标为 (3, 3) ,

……………………………8 分

……………………………10 分

…………………………………………………4 分 ………………………………………8 分

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,

从而点 P 到直线 l 的距离为 D.选修 4—5:不等式选讲

3? 3 ? 4 2

?

2? 6 . …………………………10 分 2

证明:左边-右边= ( y ? y ) x ? ( y ? 1) x ? y ? 1 ? (1 ? y)[ yx ? (1 ? y) x ? 1] ………4 分
2 2 2 2

= (1 ? y )( xy ? 1)( x ? 1) , ∵ x ≥1 , y ≥ 1 ,

………………………………………………………6 分

1 ? y ≤ 0, xy ? 1≥ 0, x ? 1≥ 0 . ∴
从而左边-右边≤0, ∴ x y ? xy ? 1 ≤ x y ? x ? y .
2 2 2 2

………………………………………………8 分

………………………………………………10 分

第 14 页 共 15 页

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解:连结 OC. ∵平面 PAB⊥平面 ABC,PO⊥ AB,∴PO⊥平面 ABC.从而 PO⊥ AB,PO⊥ OC. ∵AC=BC,点 O 是 AB 的中点,∴OC⊥ AB.且 OA ? OB ? OC ? 如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) PA ? 2a , PO ?

2a . ……………2 分
z P D A O B y C x

2a .

A(0, ? 2a,0) , B(0, 2a,0) , C ( 2a,0,0) , P(0,0, 2a) , D (0,
2a 2a , ) . …………4 分 2 2

从而 PA ? (0, ? 2a, ? 2a) , CD ? (? 2a,

2 2 a, a) . 2 2

3 ∵ cos ? PA, CD ?? , ? ?? 3 PA CD 2a ? 3a
∴异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小为

PA ? CD

?2a2

3 . ……………………………6 分 3

(2)设 PO ? h ,则 P(0,0, h) .∵ PO⊥ OC,OC⊥ AB,∴OC⊥平面 PAB. 从而 OC ? ( 2a,0,0) 是平面 PAB 的一个法向量. 不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , ∵ PB ? (0,2a, ?h) , BC ? ( 2a, ? 2a,0) , ?

? ?n ? PB ? 0, ? ?n ? BC ? 0.

∴?

? 2ay ? hz, ? ? ? x ? y.

不妨令 x=1,则 y=1, z ?

2a 2a ). ,则 n ? (1,1, h h
2a 2a 2 ? 2a 2 h2
,化简,得 h ?
2

………………………8 分

OC ? n 由已知,得 5 ? ? 5 OC n

2 2 a . 3

∴ PA ? PO 2 ? OA2 ? 23.解: (1)110;

2 2 2 6 a ? 2a 2 ? a. 3 3

…………………………………10 分

………………………………………………………………3 分
n

(2)集合 M 有 2 个子集,不同的有序集合对(A,B)有 2 若

n

(2n ?1) 个.
(A,B)

* A? ? B ,并设 B 中含有 k (1≤ k ≤ n, k ? N ) 个元素,则满足 A ? ? B 的有序集合对



? Cnk (2k ?1) ? ? Cnk 2k ? ? Cnk ? 3n ? 2n 个
k ?1 k ?0 k ?0
n n ? ? A 的有序集合对(A,B)有 3 ? 2 个.

n

n

n



…………………6 分

同理,满足 B

…………………8 分 ………10 分

故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 2

n

(2n ?1) ? 2(3n ? 2n ) ? 4n ? 2n ? 2 ? 3n

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