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2011年新课标版高考题库考点8 函数与方程、函数模型及其应用


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考点 8
一、选择题

函数与方程、函数模型及其应用
2

1. (2011·福建卷文科·T6)若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值

范围 是( )

(A)(-1,1) (B)(-2,2) (C)(-∞,-2) ∪(2,+∞) (D) (-∞,-1)∪(1,+∞) 【思路点拨】 方程 x +mx+1=0 若有两个不相等的实数根, 需满足其判别式 ? ? m ? 4 ? 0 , 由此即可解得 m
2

2

的取值范围. 【精讲精析】 选 C. ?方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根, 需判别式 ? ? m ? 4 ? 0 , 解得 m ? 2
2 2

或 m ? ?2 . 2. (2011·新课标全国高考文科·T10) 在下列区间中, 函数 f ( x) ? e ? 4 x ? 3 的零点所在的区间为 (
x



(A) ? ?

? 1 ? ,0? ? 4 ?

(B) ? 0, ?

? ?

1? 4?

(C) ? , ?

?1 1? ?4 2?

(D) ? , ?

?1 3? ?2 4?

【思路点拨】结合函数 f ( x) 的单调性,将 4 个选项中涉及的端点值代入函数 f ( x) 的解析式,零点必在使 得端点函数值异号的区间内. 【精讲精析】选 C.? f ( x) 是 R 上的增函数且图象是连续的,又
1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? 4 4 2 f ( ) ? e +4 ? ? 3 ? e ? 2 ? 0 , f ( ) ? e ? 4 ? ? 3 ? e 2 ? 1 ? 0, ? f ( x) 定在 ? , ? 内存在零点. 4 4 2 2 ?4 2?

3.(2011·山东高考理科·T10)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x) =x -x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为( (A)6 (B)7 (C)8 (D)9
3



【思路点拨】本题可以先求当 0≤x<2 时函数的零点,即函数与 x 轴交点的个数,然后根据周期性确定零 点的个数.
-1-

【精讲精析】选 B.令 f(x)=x -x=0,即 x(x+1)(x-1)=0,所以 x=0,1,-1,因为 0≤x<2,所以此时函数的 零点有两个,即与 x 轴的交点个数为 2,因为 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,所以 2≤x<4,4 ≤x<6 也分别有两个零点,由 f(6)= f(4)=f(2)=f(0) ,所以 f(6)也是函数的零点,所以函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7 个. 4. (2011·陕西高考理科·T6)函数 f ( x) ? (A)没有零点 (C)有且仅有两个零点

3

x ? cos x 在 [0, ??) 内( )
(B)有且仅有一个零点 (D)有无穷多个零点

【思路点拨】利用数形结合法进行直观判断,或根据函数的性质(值域、单调性等)进行判断. 【精讲精析】选 B.(方法一)数形结合法,令 f ( x) ?

x ? cos x ? 0 ,则 x ? cos x ,设函数 y ? x 和

y ? cos x ,它们在 [0, ??) 的图象如图所示,显然两函数的图象的交点有且只有一个,所以函数
f ( x) ? x ? cos x 在 [0, ??) 内有且仅有一个零点;

(方法二)在 x ? [ 在 x ? (0,

?
2

, ??) 上, x ? 1 , cos x ? 1 ,所以 f ( x) ? x ? cos x ? 0 ;
1 2 x ? sin x ? 0 ,所以函数 f ( x) ? x ? cos x 是增函数,又因为 f (0) ? ?1 ,

?
2

] 上, f ?( x) ?

f( )? 2

?

?
2

? 0 ,所以 f ( x) ? x ? cos x 在 x ?[0, ??)内 有且只有一个零点.
?? x, x ? 0,
2 ? x , x ? 0.

5.(2011·浙江高考理科·T1)设函数 f ( x) ? ? (A) —4 或—2 (B) —4 或 2

若 f ? a ? ? 4 ,则实数 a ? ( ) (D)—2 或 2

(C)—2 或 4

【思路点拨】分段函数的给值求解需要逐段来求. 【精讲精析】选 B.
-2-

当 a ? 0 时, f (a) ? ?a ? 4, a ? ?4 ; 当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 4, a ? 2 .综上, a ? ?4或2.
2

6. (2011·陕西高考文科·T6)方程 x ? cos x 在 ? ??, ?? ? 内( ) (A)没有根 (C)有且仅有两个根 (B)有且仅有一个根 (D)有无穷多个根

【思路点拨】数形结合法,构造函数并画出函数的图象,直观判断. 【精讲精析】选 C.构造两个函数 y ?| x | 和 y ? cos x ,在同一个坐标系内画出它们的图象,如图所示,观 察图象知有两个公共点,所以已知方程有且仅有两个根.

二、填空题 7.(2011·浙江高考文科·T11)设函数 f ( x) ? 【思路点拨】代入求解即可. 【精讲精析】 f (a) ? 【答案】 ?1 8. (2011·福建卷文科·T16)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低 销售限价 a,最高销售限价 b(b>a)以及常数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a) ,这里,x 被 称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得, 最佳乐观系数 x 的值等于_____________. 【思路点拨】 (c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项 ? (c ? a) ? (b ? c)(b ? a) ,将 c ? a ? x(b ? a) 代
2

4 ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a =__________. 1? x

4 ? 2 ,解得 a ? ?1 . 1? a

入上式,化简整理可得关于 x 的方程,解方程即可.

(c ? a) ? (b ? c)(b ? a) , 【精讲精析】 由题意得: 将其代入上式, 得 ? a ? x (b ? a ) ? a ? ? c ? a ? x(b ? a) ,
2

2

-3-

= ?b ? a ? x(b ? a ) ? (b ? a )

? x 2 (b ? a)2 ? (b ? a)2 (1 ? x),? b ? a,?b ? a ? 0 ? x 2 ? 1 ? x,即x 2 +x-1=0 ,解得

x1 ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ,又? 0 ? x ? 1 ,? x ? , x2 ? . 2 2 2 ?1 ? 5 2

【答案】

9.(2011·山东高考理科·T16)已知函数 f(x) = log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= .

【思路点拨】由条件易知函数 f(x)在(0,+∞)内为增函数,然后利用函数的零点存在定理求出函数的零 点所在区间. 【精讲精析】因为函数 f ( x) ? log a x ? x ? b(2 ? a ? 3) 在(0, ?? ) 上是增函数,

f (2) ? log a 2 ? 2 ? b ? log a a ? 2 ? b ? 3 ? b ? 0, f (3) ? log a 3 ? 3 ? b ? log a a ? 3 ? b ? 4 ? b ? 0 , ? x0 ? (2,3) 即 n ? 2 .
【答案】2 10.(2011·山东高考文科·T16)已知函数 f(x) = log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时, 函数 f(x) 的零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= .

【思路点拨】由条件易知函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,然后利用函数的零点存在定理求出函数的零 点所在区间. 【精讲精析】因为函数 f ( x) ? log a x ? x ? b(2 ? a ? 3) 在(0, ?? ) 上是增函数,

f (2) ? log a 2 ? 2 ? b ? log a a ? 2 ? b ? 3 ? b ? 0, f (3) ? log a 3 ? 3 ? b ? log a a ? 3 ? b ? 4 ? b ? 0 , ? x0 ? (2,3) 即 n ? 2 .
【答案】2

?2 ? ,x ? 2 11.(2011·北京高考理科·T13)已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围

y 1 x

0 -1
-4-

1

2



.

【思路点拨】把方程根的问题,转化为函数图象的交点问题. 【精讲精析】(0,1).方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则 y=f(x)与 y=k 有两个不同交点.作出 y=f(x)的图 象,可知 k ? (0,1) . 【答案】 (0,1)

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