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2014年下学期高二数学(理科)期中考试试卷


长沙市

中学 2014 年下学期期中考试试卷

高二年级数学(理科)
考生注意:本试卷共三道大题,21 小题,满分 150 分,时量 120 分钟
一.选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求的。 )

x2 y 2 ? =1 的

离心率为 1.椭圆 16 8
A.

(

)

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2
( )

2.设函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ,则 f ( x) 在 x ? 0 处的切线斜率为 A.0 3.“φ= B.-1 C.3 D.-6

? ”是“函数 y=sin(x+φ)为偶函数的” 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

(

)

A.充分不必要条件 C. 充要条件 4.下列命题错误 的是 ..





A. " x ? 2"是" x ? 3x ? 2 ? 0" 的充分不必要条件;
2

B. 命题“ 若x2 ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“ 若x ? 1, 则x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”;
2 C.对命题: “对 " k ? 0, 方程 x ? x ? k ? 0 有实根”的否定是:“ ? k > 0 ,方程

x 2 ? x ? k ? 0 无实根”;
D. 若 p : x ? A ? B, 则?p 是 x ? A且x ? B ; 5.函数 y=(3-x2)ex 的单调递增区是 A.(-∞,0) ( )

B. (0,+∞) C. (-3,1) D. (-∞,-3)和(1,+∞) x2 y2 6. 抛物线 y =-12x 的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线围成的三角形面积等于( 9 3 A.3 3 B.2 3 C.2 D. 3
2

)

7.正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, DD1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为





A.

2 3

B.

2 3
1

C.

3 3

D.

6 3

8. 设函数 y ? f ( x) 在 ( a, b) 上的导函数为 f ?( x ) , f ?( x ) 在 ( a, b) 上的导函数为 f ??( x ) ,若 在 ( a, b) 上 , f ??( x )? 0恒 成 立 , 则 称 函 数 f ( x) 在 ( a, b) 上 为 “ 凸 函 数 ” .已知

1 4 1 3 3 2 x ? mx ? x .若当实数 m 满足 | m |? 2 时,函数 f ( x) 在 ( a, b) 上总为“凸函 12 6 2 数” ,则 b ? a 的最大值为 ( ) f ( x) ?
A.1 B.2 C.3 D. 7 二. 填空题: (本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答 题卡中对应题号的横线上。 ) 9.曲线 y ? x3 ? x ? 3 在点 ?1,3? 处的切线方程为 .

10 .已知向量 a = ( - 1,3 ,- 2) , b = (2,0 ,- 2) , c = (0, 2,1) , γ = 2a - 3b + c ,则 γ 的模 为 . 11. 以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为
2

.

y2 → → 12. 设 F1、F2 分别是双曲线 x2- =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且PF1· PF2=0, 9 → → 则|PF1+PF2|等于 .

13.已知椭圆中心在原点,左、右焦点 F1 、 F2 在 x 轴上, A 、 B 是椭圆的长、短轴端点, P 是 椭圆上一点,且 PF1 ? x 轴, PF2 // AB ,则此椭圆的离心率是 14.四面体 ABCD 中,AB⊥ 平面 BCD,BD=AB=BC=4,∠ CBD=60° ,则 AC 与 BD 所成 角的余弦值为 . 15.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ?1( x ? R) 的图象为曲线 C .以曲线 C 上的两个不同的动点
3 2

A, B 为切点分别作 C 的切线 l1 , l2 .若 l1 l2 恒成立,则求
(i)直线 AB 过定点的坐标为 (ii)直线 AB 斜率的取值范围为 ; .

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16.(本小题满分 12 分)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a≠0, q:实数 x 满足
?x2-x-6≤0, ? ? 2 ? ?x +2x-8>0.

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

x2 y2 17.(本小题满分 12 分)已知抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b
2

3 的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为( , 6),求抛物线 2 与双曲线方程.

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在实数 a,使函数 f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不 存在,说明理由.

19.(本小题满分 13 分)如图,已知多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F 为 CD 的中点. (Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小.

x2 20.(本小题满分 13 分)已知 F1、F2 是椭圆 +y2=1 的两个焦点,O 为坐标原点,⊙O 是 2 以 F 1F2 为直径的圆,一直线 l:y=kx+b 与⊙O 相切并与椭圆交于不同的两点 A、B.
3

(1)求 b 和 k 的关系式. → → 2 (2)若OA · OB= ,求直线 l 的方程. 3 2 3 → → (3)当OA· OB=m,且满足 ≤m≤ 时,求△AOB 面积的取值范围. 3 4

21. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ln x (I)求 f ( x ) 的最小值; (II)讨论关于 x 的方 程 f ( x) ? m ? 0(m ? R) 的解的个数; (III)当 a ? 0, b ? 0时, 求证 : f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b)ln 2.

4

2014 年下学期高二年级期中考试理科数学答案
一.选择题: DDAB CACB 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. 2 x ? y ? 1 ? 0 10. 137 11. x +y -2x=0
2 2

12. 2 10 15. (?1,1)

13.

e?

5 5

14.

2 4

(?3, ??)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)由 x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0, 当 a=1 时,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3.------2 分
2 ? ?x -x-6≤0 ? 由 2 ,得 2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3.------4 分 ?x +2x-8>0 ?

若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2<x<3.---------6 分 (2)p 是 q 的必要不充分条件,即 q?p 且 p q,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 A B,

又 B=(2,3],当 a>0 时,A=(a,3a);a<0 时,A=(3a,a).----------8 分
?a≤2, ? 所以当 a>0 时,有? 解得 1<a≤2;-----------------10 分 ? ?3<3a,

当 a<0 时,显然 A∩B=?,不合题意.--------11 分 综上所述,实数 a 的取值范围是 1<a≤2.----------------------------12 分 17.(本小题满分 12 分) 解:由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点, ∴p=2c.设抛物线方程为 y2=4c· x,----------3 分 3 3 ∵抛物线过点( , 6),∴6=4c·. 2 2 ∴c=1,故抛物线方程为 y2=4x.-----------6 分 x2 y2 3 又双曲线 2- 2=1 过点( , 6), a b 2 9 6 ∴ 2- 2=1.又 a2+b2=c2=1, 4a b 9 6 ∴ 2- =1,----------------9 分 4a 1-a2 1 ∴a2= 或 a2=9(舍). 4 4y2 2 3 ∴b = ,故双曲线方程为 4x2- =1.----------------12 分 4 3

5

18. (本小题满分 12 分) 解 f′(x)=ex-a,----------2 分 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f ′(x)=ex-a. 若 a≤0,则 f ′(x)>0,所以 f(x)在(-∞,+∞)单调递增.----------4 分 若 a>0,当 x∈(lna,+∞)时,f ′(x)=ex-a>0, 所以,f(x)在(lna,+∞)单调递增.-------------------------6 分 (2)由 f′(x)=ex-a≤0 在(-2,3)上恒成立. ∴a≥ex 在 x∈(-2,3)上恒成立.-----------------8 分 又∵-2<x<3,∴e 2<ex<e3,只需 a≥e3.


当 a=e3 时 f′(x)=ex-e3 在 x∈(-2,3)上,f′(x)<0, 即 f(x)在(-2,3)上为减函数,----------------------10 分 ∴a≥e3.故存在实数 a≥e3,使 f(x)在(-2,3)上单调递减.--------------12 分 19.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD,∴DE⊥AF. 又∵AC=AD,F 为 CD 中点,∴AF⊥CD, 因 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. ……………… 5 分

(Ⅱ)取 CE 的中点 Q,连接 FQ,因为 F 为 CD 的中点,则 FQ∥DE,故 DE⊥平面 ACD ∴FQ ⊥ 平面 ACD,又由(Ⅰ)可知 FD,FQ,FA 两两垂直,以 O 为坐标原点, 建立如图坐标系,则 F(0,0,0) ,C( ?1 ,0,0) ,A(0,0, 3 ) , B(0,1, 3 ) ,E(1,2,0) .

CB ? (1,1, 3), CE ? (2,2,0) …………………………7 分

? n ? CB ? 0 ? 设面 BCE 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ? , ? ? n ? CE ? 0
即?

? x ? y ? 3z ? 0 ? ,取 n ? (1, ?1,0) .…………10 分 ? ?2 x ? 2 y ? 0

又平面 ACD 的一个法向量为 FQ ? (0,1,0) ,则

6

cos ? FQ, n ? ?

FQ ? n 0 ?1 ? 0 2 ? ? 2 | FQ || n | 2

∴面 ACD 和面 BCE 所成锐二面角的大小为 45°.………………13 分

20.(本小题满分 13 分)

7

----------------------------------------13 分 21. (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??) f ?( x) ? ln x ? 1, 令f ?( x) ? 0, 得 : x ?

1 , ……1 分 e

当x ? (0, ??)时, f ?( x), f ( x) 的变化的情况如 下:
1 (0, ) e


x

1 e
0 极小值

1 ( , ??) [来 e
源:Zxxk.Com] +

f ?( x )
f ( x)

………………3 分 所以, f ( x)在(0, ??)最小值是f ( ) ? ? .

1 e

1 e

………………4 分

(II)当 x ? (0, ), f ( x) 单调递减且 f ( x ) 的取值范围是 (? , 0) ;

1 1 e e 1 1 当 x ? ( , ?? )时, f ( x ) 单调递增且 f ( x)的取值范围是(? , ??) e e
下面讨论 f ( x) ? m ? 0 的解; 所以,当 m ? ? 时,原方程无解;……6 分 当 m ? ? 或m ? 0 时,原方程有唯一解;

1 e

1 e

8

当?

1 ? m ? 0 时,原方程有两解。……8 分 e

(III)原不等式可化为:

f (a) ? f [(a ? b) ? a] ? f (a ? b) ? (a ? b) ln 2

设函数g ( x) ? f ( x) ? f (k ? x)(k ? 0) 则g ( x) ? x ln x ? (k ? x) ln( k ? x)(0 ? x ? k ) x g ?( x) ? ln x ? 1 ? ln( k ? x) ? 1 ? ln k?x x x 2x ? k 令g ?( x) ? 0, 则 ln ? 0,? ? 1,? ? 0, k?x k?x k?x k 解得 : ? x ? k , 2
令 g ?( x) ? 0, 解得 : 0 ? x ?

k 2

………………10 分

k k ? 函数g ( x )在(0, ) 上单调递减,在 ( , k ) 上单调递增, 2 2 k ? g ( x)在(0, k )上的最小值为g ( ) ………………11 分 2

k ?当x ? (0, k )时, 总有g ( x) ? g ( ), 2 k k k 即 : f ( x) ? f ( k ? x) ? f ( ) ? f ( k ? ) ? 2 f ( ) 2 2 2 k ? k ln ? k ln k ? k ln 2 ? f (k ) ? k ln 2 12分 2
令 x ? a, k ? x ? b, 则有 : f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? (a ? b)ln 2. …………13 分

9


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