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高一数学教案(2)


§1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(1) 第一课时 单调性
一、内容与解析

(一)内容:函数单调性的概念 (二)解析:函数单调性研究的是函数值随自变量的变化规律;其核心是从定

量的角度探讨自变量增大时,函数值的大小变化;理解它关键在于如何从图 象的变化趋势转换到式子的变化特征。在初中学习函数时,已经重点研究了 一些函数的

增减性,只是当时的研究较为粗略,未明确给出有关函数增减性 的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本小节内容, 正是初中有关内容的深化和提高。研究了函数的单调性后可以为继续研究函 数的最值奠定坚实的基础,有了用图象探究函数单调性的方法也可以为我们 继续探究函数的奇偶性、用导数研究函数的单调性提供方法依据,所以研究 函数的单调性在思想上、方法上都为我们继续学习提供了基础,是函数体系 中的核心内容。教学的重点是(函数单调性形式化定义的形成),解决重点的关 键是让学生经历从直观到抽象,以图识数的过程,让学生通过自主探究活动, 体验数学概念的形成过程。
二、教学目标及解析

(一)教学目标:

1. 初步了解从图象语言到符号语言的过程,体验数学概念的形成过程。 2.理解函数单调性的定义及其几何意义
(二)解析:
(1)就是指通过对函数单调性的研究,让学生经历从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让 学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。 (2)就是指能用三种语言描述特别是数学符号语言描述函数的单调性的意义。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是: (1)式子的大小是如何反映函数值随自变量的增大而增 大、增大而减小。 (2)单调区间是定义域的子集。产生这些问题的原因是学生从定性描述转换到定量 描述的理解不够, 从变到不变的相对性理解不够.要解决这一问题,就是要从不等关系中去理解变的特征. 四、教学过程

问题与题例?
(一)创设情景,揭示课题 1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数 的 哪些

变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 -1 -1 y 1 1 x y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ .

(2)f(x) = -x+2 -1 1 x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ -1 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ y 大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2 1 1 在区间 ____________ 上, ○ -1 1 x f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . -1 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . 3、从上面的观察分析,能得出什么结论? 学生回答后教师归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变 化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映, 这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题) 。 (二)研探新知 2 1、y = x 的图象在 y 轴右侧是上升的,如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢? 学生通过观察、思考、讨论,归纳得出: 2 函数 y = x 在(0,+∞)上图象是上升的,用函数解析式来描述就是:对于(0,+∞)上的任意 2 2 的 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 x1 <x2 . 即函数值随着自变量的增大而增大,具有这种性质的函数叫增 函数。 2.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 3、从函数图象上可以看到,y= x2 的图象在 y 轴左侧是下降的,类比增函数的定义,你能概括出减 函数的定义吗? 注意:
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . ○

4.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: (三)质疑答辩,发展思维。

根据函数图象说明函数的单调性. 例 1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单 调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

解:略 点评:从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。

变式训练 1
A.减函数

函数 f ( x) ? 2 x 在 x ? [?1,2] 上的单调性为
B.增函数. C.先增后减.





D.先减后增

五、目标检测

《优化设计》1.5.1《自我测评》
六、课堂小结

本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法. 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师提示、点拨,及时评价. 引导方法:从基本知识和基本技能两方面来总结.


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