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2012高三概率专练(二项分布、超几何分布)

时间:2014-12-20


高三概率专题练习 1、二十世纪 50 年代,日本熊本县水俣市的许多居民都患了运动失调、四肢麻木等症
状,人们把它称为水俣病.经调查发现一家工厂排出的废水中含有甲基汞,使鱼类受到污 染.人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类引起汞中毒. 引起世人对食品安全的关注. 《中 华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 1.00ppm. 罗非鱼是体型较大,生命周期长的食肉鱼,其

体内汞含量比其他鱼偏高.现从一批罗 非鱼中随机地抽出 15 条作样本,经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图(以小数点前一位数 字为茎,小数点后一位数字为叶)如下:
罗非鱼的汞含量 (ppm)

0 1 3 2 1 5 9 8 7 3 2 1 1 2 3 5 4
(Ⅰ)若某检查人员从这 15 条鱼中,随机地抽出 3 条,求恰有 1 条鱼汞含量超标的概率; (Ⅱ)以此 15 条鱼的样本数据来估计这批鱼的总体数据.若从这批数量很大的鱼中任选 3 条鱼,记 ξ 表示抽到的鱼汞含量超标的条数,求 ξ 的分布列及 Eξ.

2、某大学研究生入学复试有 50 人参加,其中英语与政治成绩采用 5 分制,设政治成 绩为 x,英语成绩为 y,结果如下表: y 人数 x 1分 政 治 2分 3分 4分 5分 1分 1 1 2 1 0 英 2分 3 0 1 b 0 3分 1 7 0 6 1 语 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3 a 3

(1)求政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分的概率; (2)若“考生的政治成绩为 4 分” 与“英语成绩为 2 分”是相互独立事件,求 a、b 的值; (3)若英语的数学期望为

167 ,求 a、b 的值. 50

1

3、甲、乙两人参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩 中随机抽取 8 次,画出茎叶图如下:
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甲 9 8 4 2 5 8 1 3 7 8 9 5 0 0 0 2



3 5

5

(Ⅰ )指出学生乙成绩的中位数,并说明它在乙组数据中的含义; (II)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均成绩和方差的角度考虑,你认为派哪 位学生参加合适?请说明理由; (Ⅲ )若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次 成绩中高于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? 。
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4、上海世博会举办时间为 2010 年 5 月 1 日~10 月 31 日。福建馆以“海西”为参博核心
元素,主题为“潮涌海西,魅力福建” 。福建馆招募了 60 名志愿者,某高校有 l3 人入选, 其中 5 人为中英文讲解员,8 人为迎宾礼仪,它们来自该校的 5 所所学院(这 5 所学院编 号为 1~5 号) ,人员分布如图所示。 若从这 13 名入选者中随机抽取 3 人。 (Ⅰ)求这 3 人所在学院的编号恰好成等比数列的概率; (Ⅱ)求这 3 人中中英文讲解员人数的分布列及数学期望。

2

5、某市在每年的春节后,市政府都会发动公务员参与植树活动.林管部门在植树前,为保
证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的 高度,量出的高度如下(单位:厘米) 甲: 37, 21,31, 20, 29,19,32, 23, 25,33 乙: 10,30, 47, 27, 46,14, 26,10, 44, 46 (Ⅰ)用茎叶图表示图中数据,并根据茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写 出两个统计结论; (Ⅱ)从乙种树苗中选出 2 株,求树苗高度落在 ?10,20? 的株数 ? 的概率分布及期望.

6 某公司科研部研发了甲﹑乙两种产品的新一代产品, 在投产上市前, 每种新一代产品
都要经过第一和第二两项技术指标检测,两项技术指标的检测结果相互独立,每项技 术指标的检测结果都均有 A ,B 两个等级,对每种新一代产品,当两项技术指标的检 测结果均为 A 级时,才允许投产上市,否则不能投产上市. (Ⅰ)已知甲﹑乙两种新一代产品的每一项技术指标的检测结果为 A 级的概率如下表所 示,分别求出甲﹑乙两种新一代产品能投产上市的概率 P 甲﹑P 乙; 第一项技术指标 甲 乙 0.8 0.75 第二项技术指标 0.85 0.8

(Ⅱ)若甲﹑乙两种新一代产品能投产上市,可分别给公司创造 100 万元﹑150 万元的 利润;否则将分别给公司造成 10 万元﹑20 万元的损失,在(Ⅰ)的条件下,用 ? ﹑

? 分别表示甲﹑乙两种新一代产品的研发给公司创造的利润, 求 ? ﹑? 的分布列及
E ? ﹑E? .
3

7 从某高校新生中随机抽取 100 名学生,测得身高情况如下表所示. (I)请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据,并在所给的坐标系中补全频率 分布直方图,再根据频率分布直方图估计众数的值; (II)按身高分层抽样,现已抽取 20 人参加厦门国际马拉松志愿者活动,其中有 3 名 学生担任迎宾工作,记这 3 名学生中“身高低于 170cm”的人数为 ξ,求 ξ 的分布列及 期望. 频率 分组 频数 5 ① 35 30 10 100 频率 0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00
组距

?160,165?

?165,170? ?170,175? ?175,180?
[180,185]
合计

160

165

170

175

180

185

身高 cm

8、 如图,某足球爱好者对比赛实战中的点球进行了统计,得到以下结果:100 个射向 A 区域的点球大约被守门员扑出 15 个,100 个射向 B 区域的点球大约被扑出 5 个,而实 战中的点球射向 A、B 区域的球数大约各占一半。如果把频率视为概率(并假定每个点 球都能射向球门的 A 或 B 区域) ,试求: (Ⅰ)一个点球被扑出的概率; (Ⅱ)如果在一轮 5 个点球中,守门员能扑出 2 个或两个以上,则防守一方必然获胜, 求防守方获胜的概率; (精确到 0.01) (Ⅲ)在 3 个点球中,求守门员扑出的球数的分布列和数学期望。 B A

第 18 题图

4

9、 在全球金融风暴的背景下,某政府机构调查了某地工薪阶层 10000 人的月工资收入, 并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图,请将频率当作概率解答以下问题。 (I)为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度,要用分层抽样方法从所调查的 1000 人中抽出 100 人作电话询访,则在 ?2000 ?(元)月工资收入段应抽出多少人? ,3500 (II)为刺激消费,政府计划给该地所有工薪阶层的人无偿发放购物消费券,方法如下 月工资不多于 2000 元的每人可领取 5000 元的消费券,月工资在 ?2000 ? (元) ,3500 间的每人可领取 2000 元的消费券, 月工资多于 3500 元的每人可领取 1000 元的消费券。 用随机变量ξ 表示该地某一工薪阶层的人可领取的消费券金额,求ξ 的分布列与期望 值。

10、从某自动包装机包袋的食盐中,随机抽取 20 袋作为样本,按各袋的质量(单位:g) 分成四组, [490,495), ?495,500? , ?500,505? ,[505,510] ,相应的样本频率分布直方 图如图所示。 (I)估计样本中的位数是多少?落入 ?500,505? 的频数是多少? (II)现从这台自动包装机包袋的大批量食盐中,随机抽取 3 袋,记 ? 表示食盐质量 属于 ?500,505? 的袋数,依样本估计总体的统计思想,求 ? 的分布列及期望

5

这个题目好在哪里呢?我们不难看到有一问是超几何分布, 而另一问是二项 分布,引导学生认真、仔细分析;
1、 17.本题主要考查茎叶图、随机变量的分布列及数学期望等概率与统计的基础知识,考查 运算求解能力、分析与解决问题能力及必然与或然的数学思想、应用意识等.满分 13 分. 解: (I)记“15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标”为事件 A 则 P(A) ?
1 2 C5 ? C10 45 . ? 3 C15 91

45 ??????5 分 91 5 1 ? ,??7 分 (II)解法一:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P= 15 3
∴15 条鱼中任选 3 条恰好有 1 条鱼汞含量超标的概率为 所有 ξ 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下: ξ 0 1 2 P( ξ )
0 1 0 2 3 C3 ( ) ( ) 3 3

3

1 1 2 2 C1 ) 3( ) ( 3 3

2 1 2 2 1 C3 ( ) ( ) 3 3

1 3 2 0 C3 3( ) ( ) 3 3

? ? ? ? 11 分

所以 ξ ~ B(3, ) , 所以 Eξ =1.

1 3

???????????????12 分 ????????????????13 分

解法二:依题意可知,这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 P= 所有 ξ 的取值为 0,1,2,3,其分布列如下: ξ 0 1 2 P( ξ )

5 1 ? , 15 3

??7 分

3

8 27

4 9

2 9

1 27

? ? ? 11 分

所以 Eξ = 0 ?

8 4 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 27 9 9 27

????????????13 分

2、18. 解:∵入学复试共有 50 人参加 ∴ a ? b ? 3 ?????(※)????2 分 (1)从表中可以看出, “政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分”的考生人数为 6 人 ∴政治成绩为 4 分且英语成绩为 3 分的概率为

6 ? 0.12 ??????????????5 50

分 (2)∵“考生的政治成绩为 4 分”与“英语成绩为 2 分”是相互独立事件
6

∴ P( x ? 4, y ? 2) = P( x ? 4) ? P( y ? 2)



b a?b?7 b?4 ? ? ???7 分 50 50 50

与(※)式联立可解得: a ? 2 , b ? 1 ????????????????8 分 (3)由表易知英语成绩 x 有 1 分、2 分、3 分、4 分、5 分五个等级,且每个等级分别有 5 人, b ? 4 人,15 人,15 人, a ? 8 人. ∴英语成绩的分布列为:

x


1

2

3

4

5

15 15 a ? 8 50 50 50 167 又∵英语的数学期望为 50 5 b?4 15 15 a ? 8 167 ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? ∴ 1? ?????????12 分 50 50 50 50 50 50 与(※)式联立可解得: a ? 1 , b ? 2 ????????????????13 分 5 50
3、 17.解: (Ⅰ )学生乙成绩的中位数是 84,它是这组数据中最中间位置的一个数或最中间位 置两个数的平均数,中位数可能在所给的数据中,也可能不在所给数据中。???4 分 (Ⅱ )派甲参加比较合适,理由如下:

b?4 50

1 x甲 ? ( 7 0? 2? 8 0 ? 4 ? 9? 0 ? 2 ? 9 ? 8 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 5 3 ?) 8 5 8 1 x乙 ? ( 7 0? 1? 8 0 ? 4 ? 9? 0 ? 3 ? 5 ? 3 ? 5 ? 2 5 ?) 8 5 8 2 2 ???????????????????8 分 ? 41 , S甲 ?35., 5 S乙
2 2 。 ? S乙 ? x甲 ? x乙 ,且 S甲 ?甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适。????????????9 分 (Ⅲ )记“甲在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A , 6 3 则 P( A) ? ? 。???????????????????????10 分 8 4 3 3 k 3 k 依题意,得 ? ~ B(3, ) 。? P(? ? k ) ? C3 ( ) (1 ? )3?k , k ? 0,1, 2,3 。 4 4 4 ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

1 9 27 27 64 64 64 64 1 9 27 27 9 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 。????????????13 分 64 64 64 64 4 3 9 (或利用 E? ? 3 ? ? ) 4 4

P

7

4、17.解: (I) “这 3 人所在学院的编号正好成等比数列”记为事件 A, “这 3 人来自 1 号学院”记为事件 A1, “这 3 人都来自 2 号学院”记为事件 A2, “这 3 人都来自 1 号、2 号、4 号学院”主为事件 A3,

? P( A1 ) ? P( A2 ) ?
P( A3 ) ?

3 C4 1 ? , 3 C13 143

??2 分

4? 4? 2 8 ? , 3 143 C13
10 ; 143

??5 分

? P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ?

??6 分

(II)设这 3 人中英文讲解员的人数为 ? ,则 ? ? 0,1,2,3

P(? ? 0) ?

3 1 2 C8 C5 C8 28 70 ? , P ( ? ? 1 ) ? , 3 3 143 C13 143 C13

??8 分

1 3 C52 C8 C3 40 5 P(? ? 2) ? ? , P(? ? 3) ? 3 ? 3 143 C13 C13 143

????10 分

? 的分布列为 ?
P 0 1 2 3

70 40 5 143 143 143 2 70 40 5 165 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ????13 分 ? ? 的数学期望 E? ? 0 ? 143 143 143 143 143

28 143

甲 5、16.(1) (Ⅰ)茎叶图如右



9 95 31 0 1 23 7

1 2 3 4

0 4 0 6 7 0 4 6 6 7

????????3 分
8

统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗的中位数为 27 ,乙种树苗的中位数为 28.5 ; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近, 乙种树苗的高度分布较为分散. ??????????6 分 (给分说明:写出的结论中,1 个正确得 2 分) (2)从乙种树苗中任选 1 株,树苗高度落在 ?10,20? 的概率为 可得 ? 分布列为

3 3 故 ? ~B(2, ) 10 10

???????????9 分

?
p

0

1

2

49 100

42 100

9 100
????????????11 分 ???????????13 分

3 3 E? ? 2 ? ? . 10 5
6\ 17.解:(Ⅰ)由题意有:

P 甲 = 0.8×0.85= 0.68 ;

???3 分 ???6 分

P 乙 = 0.75×0.8= 0.6 。 (Ⅱ)随机变量 ? ﹑ ? 的分布列分别是: E ? P 100 0.68 -10 0.32

?
P

150 0.6

-20 0.4

? = 100×0.68+(-10)×0.32 = 64.8 ;
E? = 150×0.6+(-20)×0.4 = 82

???13 分

7\ 16.本题主要考查频率分布表、直方图、众数、分层抽样、分布列、期望等统计 概率知识, 考查学生运用所学知识解 频率 决实际应用问题的能力。 满分 13 分. 组距 解: (I)①处填 20,②处填 0.35; 众数为 172.5cm?????3 分 补全频率分布直方图如图所 示。???6 分
9

160

165

170

175

180

185

身高 cm

(Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取 20 人,则其中“身高低于 170cm”的有 5 人, “身高不 低于 170cm”的有 15 人。 ??7 分 故 ξ 的可能取值为 0,1,2,3;
P(? ? 0) ?
P(? ? 3) ?
3 C15

C20
3 3

3

?

91 228

P(? ? 1) ?

2 C15 C51

C20

3

?

35 76

P(? ? 2) ?

1 C15 C52

C20

3

?

5 38

C5

C20

?

1 114

???????10 分

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

91 228

105 228

30 228

2 228
??11 分 ??13 分

所以: E? ? 0 ?

91 105 30 2 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 228 228 228 228 4

8、18. 解:(Ⅰ )用 A、B 分别表示点球射向 A、B 区域而且被扑出的事件,用 C 表示一个 点球被扑出的事件,显然 A、B 是互斥事件,则 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=

1 15 1 5 ? ? ? ? 0.1 ???????4 分 2 100 2 100

(Ⅱ )用ξ 表示一轮 5 个点球中,被守门员扑出的球数,则ξ ~B(5,0.1) 防守方获胜的概率是
0 1 P(ξ ≥2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)= 1 ? C5 0.10 ? 0.95 ? C5 0.1? 0.94 ? 0.08 ??8 分

(Ⅲ ) 用η 表示在 3 个点球中,守门员扑出的球数,则η 的分布列如下:
0 1 P(η =0)= C3 ? 0.10 ? 0.93 ? 0.729, P(η =1)= C3 ? 0.1? 0.9 2 ? 0.243, 2 P(η =2)= C3 ? 0.12 ? 0.91 ? 0.027,P(η =3)= C3 ? 0.1 ? 0.9 ? 0.001, 3 3 0

η 的数学期望是: Eη =0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3 (或 Eη =3×0.1=0.3).?13 分

? (元)月收入段共有 ,3500 9、18.解: (1)由直方图可得 ?2000
10000 (0.0005? 0.0005? 0.0003 ) ? 500 ? 6500人, ??????13 分
按分层抽样应抽出 6500 ?

100 ? 65 人 10000

??????5 分

,2000 ,1000,对应 (II)根据图表,某一工薪阶层的人可领取的消费券金额 ? ? 5000
的概率分别是 0.3,0.65,0.05,其分布列如下: ξ 5000 2000 1000
10

P

0.3

0.65

0.05

????????10 分 10、17. (本小题满分 13 分) 解: (I)由已知可得直线 x ?

500 ? 505 ? 502.5 ,把频率分布直方图分为左右两侧 2
????2 分

等面积,故估计样本的中位数是 502.5(直接写出答案不扣分) 样本落入 ?490,495?的频数是:(0.01? 5)? 20=1

?495,500?的频数是:(0.02 ? 5)? 20=2 ?505,510?的频数是:(0.03 ? 5)? 20=3
??????4 分

故落入 ?500,505?的频数是:20-(1+2+3)=14 ??????6 分 另解:样本落入 ?490,495?的频数是:0.01? 5=0.05

?495,500?的频数是:0.02 ? 5=0.10 ?505,510?的频数是:0.03 ? 5=0.15
故样本落入 ?500,505?的频数是:1-(0.05+0.10+0.15)=0.7 所以样本落入 ?500,505?的频数是:0.7 ? 20=14 (II) ? ? 0,1, 2,3, 依样本的频率代替概率,可得
i 7 i 3 3? i P(? ? i ) ? C3 ( ) ( ) (i ? 0,1, 2,3) 10 10

??????6 分

??????8 分

故 ? 的分布列为

?
P
[来源:Z&xx&k.Com]

0 0.027

1 0.189

2 0.441

3 0.343

??????11 分 从而 E? ? 0 ? 0.027 ? 1? 0.189 ? 2 ? 0.441 ? 3 ? 0.343 ? 2.1 或 E? ? np ? 3 ? 0.7 ? 2.1 ??? ???13 分

11


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