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2008年湖南省高中数学竞赛试题(A卷)


⒛08年 湖 南省 高中数学竞赛试卷
巾 〓 铷
题 号
15 16 17 18

总成绩





合分人
岬 〓 邸 羽

考生注意Ⅱ. 本试卷共 三 大题 (18小 题 ),全卷 满分 50分 ;2. 用钢笔, 字 签 笔或田珠笔作

答 ;3. 题 书写不要超出装订线 艹. 解 不能使用计算器.
得分
1 . 定

评卷人
义 集 合 运

-,选择题 (本大题共 8个 小题 ,每小题 5分 ,满分 0o分 . 在每小迈 给出的四个选项 中,只有-项 是合乎题 目要求的 . )
算 :CB A)〓 {|〓 zz =, yε ∈ Ay ,∈ B. } 设 A{,}B =20,〓


邱 朴

{0,引,则 集合 扭 B的 所有元素之和为 ⑧
^. 16
2. 已 知 {ε "}是

B. 18
等 比 效 列 ,勿

C.20
〓 2,ε 5ˉ ,则

D. 22
c1ε 2+czca+… +ε mc〃 +1(m∈

艹 Ⅳ )的取值范围是
⌒囚 呻ˇ

^ . [,)B I1 . z6 [1 C 86 . ,)

÷

[号 8 , 尹

)D ·

[, 1号 f ; )

3.5名 志愿者随机进人 3个 不 同的突运场馆参加接待工作,则每个场馆至 少有一名志愿者的概率为 ( )

A· 号



:: i: !;

4.已 知 o, 非零的不共线的向量 ,设 D为

条 件 Ⅱ :D⊥ (cˉ D);

C. 号

D· {:丨 {i}

条件 N:对 一切 ε ∈R,不 等式h-FD|》 则 M是 Ⅳ 的 ^.必要而不充分条件 C. 充分而且必要条件 B. D.

|oˉ引恒成立.

充分而不必要条件 既不充分又不必要条件

亩中玫学竞女试奋 ▲n(共 6页 )

5. 设函数 r(i)定 义在 R上 ,给出下述三个命题 : ①满足条件 rfε +2)十 rf2ˉ J)=4的 函数图象关于点(2,2)对 称 ;②满足 ˉ 条件 rf£ +2)=rf2-ε )的 函数图象关于直线 J=2对 称 ;③函数 r(ε 2)与 其中,真命题的个数是 rt-ε +2)在 同一坐标系中,其图象关于直线 ε=2对 称 . (
A. o B. 1 C.2 D. 3

)

6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4的 球的两条弦 AB, ∞ 的 长度分别等于 2fT和 4fs,M, N分 别为 AB, ∞ 的中点 ,每两条弦的两端都在 球面上运动,有下面四个命题 : ①弦 AB,∞ 可能相交于点 M ② ③MN的 最大值为 5 B.
n盂 ( c3cd ,,,的



弦 AB,∞ 可能相交于点 N MN的 最小值为 1
( ) C. ①②④ D. ②③④
" ⒛ ⒑ 8,〓 9d ()

其中真命题为 A.①③④
7设 . osoO09则 o(o08, 盂 巴 =

①②③
93 " 田 ⒑ 8,〓

⒍ nono,cos盂 (oO8,=o( 大 小 关 系 是

A. c<D(c(d C. c(d(3(色
8设 . 函 数 rε ( ) 〓 J+ε 33 26 +ε

B. 3<ε (d<c D. J(c<ε
+4且 1, rc〓 ()

(3
1r3〓 ,() 1, 9贝 3 刂 ε +〓

(
A. 2 B. 1 C.o D. -2

)

锊分

二, 诂 垠空厄(本大赶 共 0个 小题 ,每 小题 8分 ,共 +g分 . 将正确的答案填在横线上. ) " " 9.在平面直角坐标系中,定义点 P(£1,y1), Q(=z,y2)之 间的 直角距离 为
评卷人
|〓 1ˉ 〓 2|+|y1ˉ yz卜 若 C(ε ,y)到 点 A(1,3), B(6,9)的 " 直 角 距

J(P,Q)〓

" 0《 (10,则 所有满足条件的点 C的 轨 , 离 相等,其中实效 〓 y满 是 0<J≤ 1O, 丿 迹的长度之和为
10.已 知 集 合 Ω 〓 K〓 ,y)|=z+yz《 2∞ 8丨 ,若 点 P(〓 ,y), 点 P′ (/,y′ )满

≤/且 y》 y′ 足ε ,则称点 P优 于/. 如果集合 Ω 中的点 Q满 足:不存在 Ω 中 的其它点优于 Q,则 所有这样的点 Q构 成的集合为 1m的 系效 11.多项式(1+£ +〓2+… +£ 1∞ '的 展开式在合并同类项后 ,ε
亩中效学竞艹试榜 ▲2(共 6页 冫



. (用效字作答 ) 一 1z. 个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面. 知该六棱柱的顶 已

点都在同一球面上 ,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,则 这个球的体积为 号 1s. 一个 4×4棋 盘 中的 8个 小方格染成黑色,使 将 得每行, 每列都恰有两个 黑色方格 ,则有 数字作答)不同的染法 . (用 ⒕. 某学校数学课外活动小组在坐标纸上 ,为某沙漠设计植树方案如下 :第 尼 屁 )2时 , 棵树种植在点 凡 (奶 ,此)处,其中 J1=1,yl=1,当 卢 卫 +丬 ∵ |亍 叫 ⒈

H∵
棵树种植点的坐标为 .



其中,[c]表示实效 ε的整效部分 ,例如[2. =2,[0.6]=0. 按此方案,第 2∞8 刨

三, 解答Ⅱ(本大题共 4小 题 ,共 m分 . 徉答有必要的过程 ) 要求 1s. (本小题满分 ⒕ 分) 得 分 评卷人 ∵ 设实数 己 ,3∈[α ,`],求证:

+子单 旁 便 f+嚣
其 中 等 号 当 且 仅 当 ε =α ,3=卩 或 己 =卩 ,3=α 足 灾 龆O 成 立 .巛 , F为

页 亩中Ι学竞女试击 ▲0(共 ' 冫

得分

评卷人

". (本小题满分 1+分 ) 乙 甲, 两人进行乒乓球单打比赛 ,采用五局三胜制(即先胜

三局者获冠军 ): 对于每局 比赛 ,甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 · 号 告 如果将 " " " 乙获得冠军 的事件称为 爆出冷门"试求此项赛事爆出冷门的概率 . .

高中效学竞赛试卷 A4(共

6页 )

得分

评卷人

1T. (本小题满分 ' 分) 已知函数 r(£)=J冗 (1+£ )-J在
· (屁 cⅣ ' 号劈⒈广 十 11 -.

区间[0,〃](m∈ Ⅳ艹 )

上 的最小值为 3〃 ,令
='9a(1+彳 Ω〃 〓 )-D刀 〓 =旦 ,彡l尼 1c3¨ cc¨ 24 2〃 a 艹 ),

求 证

:1p+ p+2…



√ p 饣 <

高中数学竞赛试卷 A5(共

6页 )



. (用数字作答) 一 已 1z. 个六棱柱的底面是正六边形 ,其侧棱垂直于底 面 . 知该六棱柱的顶

点都在同一球面上 ,且该六棱柱的体积为号,底面周长为 3,则 这个球的体积为
巾 〓 柙

每列都恰有两个 得每行 , 1s. 一个 4×4棋 盘中的 8个 小方格染成黑色,使 将 黑色方格 ,则有 (用数字作答)不同的染法 . 10. 卜 某学校数学课夕活动小组在坐标纸上 ,为某沙漠设计植树方案如下 :第 )2时 , 尼 棵树种植在点 凡 (奶 ,yI)处 ,其中 £ 1,yl=1,当 尼 1〓

岬 〓 邸 赳

卢 |勹 +丬 ∵ 乇



一 叱 [∵⒈
其中,[ε 示实效 ε的整数部分 ,例如[2.6]=2,[0.6]=0.按此方案,第 2∞8 ]表 棵树种植点的坐标为 要求解答有必要的过程 ) 三, 佴答Ⅱ(本大题共 4小 题 ,共 m分 . 1s. (本小题满分 ⒕ 分) 得 分 评卷人 ,卩 设实效 ε ,D∈[α ],求证: 立 旦 旦 + + 卩 3 ε 当 己 〓 α 3 〓 ` 或 ε 〓 α 成 立 ·巛 'F为 肚 咬 拯 ) 其中等号当且仅


邱 朴

酬 陟

凶个 呻ˇ





t中 止学竞女试击 ▲3(共 6页 冫

得分

评卷人

1s. (本小题满分 1s分 ) 过直线 J:5J-7y-70=0上 的点 P作 椭圆姜 +苫 =1的



线

P M ,

P切 N ,









M ,

N , 联



M N .

N恒 过定点 Q; (1)当点 P在 直线 J上 运动时,证明 :直线 此 (2)当 MN‖ J时 ,定点 Q平 分线段 MN.

高中数学竞赛试卷 A6(共

6页 )

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