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湖北省黄冈中学2015届高三4月理科数学测试试题


湖北省黄冈中学 2015 届高三 4 月理科数学训练题
2015-4-22

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
2 1.集合 A ? ? x ? N x ≤ 6? , B ? x ? R x ? 3x ? 0 ,则 A I B ? (

>
?

?

) D. ?x 3 ≤ x ? 6? )

A. ?3,4,5?

B. ?4,5,6?

C. ?x 3 ? x ≤ 6?

2.已知 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“复数 z ? (a 2 ? a ? 2) ? (a ? 1)i(i 为虚数单位)为纯虚数”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.关于统计数据的分析,有以下几个结论,其中正确的个数为( ) ①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,期望与方差均没有变化; ②在线性回归分析中,相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱;

? ? ? 6 )? ③ 已 知 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (5,1) , 且 P( 4 P(? ? 6) ? 0.1587;

0 . 6则 826,

④某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人.为 了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 15 人. A.1 B.2 C.3 D.4 4.对任意非零实数 a 、 b ,若 a ? b 的运算原理如图
?1 所示,则 log 2 4 ? ( ) 的值为(

A. 1

1 3 1 B. 3

) D. 2

C.

4 3

5.









?, ?





: )

1 sin ? ? cos ? ? , tan ? ? tan ? ? 3 tan ? ? tan ? ? 3 ,则 ? , ? 的大小关系是( 6
A. ? ? ? B. ? ? ? C.

?

4

?? ? ?

D.

?

4

? ? ??

6.圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为 60? 的扇形, 则该几何体的侧面积为 ( )

10 ? 3 10 B. 6 ? ? 3 C. 12 ? 2? D. 6 ? 4?
A. 12 ?
第 10 题图

7.设 k 是一个正整数, ? 1 ?

? ?

1 x? 2 ? 的展开式中第四项的系数为 ,记函数 y ? x 与 16 k?

k

y ? kx 的图像所围成的阴影部分为 S ,任取 x ? [0,4], y ? [0,16] ,则点 ( x, y ) 恰好
落在阴影区域内的概率为( A. ) C.
2

17 96

B.

5 32
1 e

1 6

D.

7 48

8. 已知函数 g ( x ) ? a ? x ( ? x ? e, e 为自然对数的底数 ) 与 h( x ) ? 2ln x 的图象上存在关 于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( ) A. [1,

1 ? 2] e2

B. [1, e2 ? 2]

C. [

1 ? 2, e 2 ? 2] 2 e

D. [e2 ? 2, ??)
y

x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 A, O 为坐标 a 2 b2 原 点 , 以 A 为 圆 心 的 圆 与 双 曲 线 C 的 某 渐 近 线 交 于 两 点 P, Q . 若 ???? ??? ? ) ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP ,则双曲线 C 的离心率为(
9.如图,已知双曲线 C :
O

Q P A x

2 3 A. 3

7 B. 2

39 C. 6

D. 3

10.由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪,直到 1872 年,德国数 学家戴德金提出了“戴德金分割” ,才结束了持续 2000 多年的数学史上的 ( 第 10 题 图)

第一次大危机,所谓戴德金分割,是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N,且满足 M ? N=Q,M ? N= ? ,M 中的每一个元素都小于 N 中的每一个元素,则称 ? M , N ? 为戴德金分割, 试判断,对于任一戴德金分割 ? M , N ? ,下列选项不可能成立的是( A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 )

B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素

C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素

二、填空题:本大题共 5 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. .......

? y?x ? 11.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为___________ ? y ? ?1 ?
12.已知点 P( x, y)到A(0,4)和B(?2,0) 的距离相等,则 2 ? 4 的最小值为_______ ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 13.如图,已知 | OA |? 3,| OB |? 1 , OA ? OB ? 0 , ?AOP ? P B 6 ??? ? ??? ? ??? ? 若 OP ? tOA ? OB ,则实数 t 等于____________
x y

O

A

14.用 g (n) 表示自然数 n 的所有因数中最大的那个奇数,例如:9 的因数有 1,3,9 , g (9) ? 9 , 10 的因数有 1, 2,5,10 , g (10) ? 5 ,那么 g (1) ? g (2) ? g (3) ? ? ? g (2 2015 ? 1) =__________ (二)选做题:请考生在下面两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分. 15. 如图,AB 与圆 O 相切于点 A, 又点 D 在圆内, DB 与圆相交于点 C , 若 BC ? DC ? 3, OD ? 2, AB ? 6, 那么该圆的半径的长为________

16.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ?x ? t (t 为参数),在以原 y ? 2 t ? ?

点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 .则 l 与 C 的交点直角坐标为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知 ?ABC 的三内角分别为 A, B, C, B ?

?
3

,向量 m ? (1 ? cos2 A, ?2sin C) ,

??

? ?? ? n ? (tan A,cos C) ,记函数 f ( A) ? m ? n .
(Ⅰ)若 f ( A) ? 0, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若关于 A 的方程 f ( A) ? k 有两个不同的实数解,求实数 k 的取值范围.

18.近年来,随着地方经济的发展,劳务输出大省四川、河南、湖北、安徽等地的部分劳务 人员选择了回乡就业,因而使得沿海地区出现了一定程度的用工荒.今年春节过后,沿海某公 司对来自上述四省的务工人员进行了统计(见下表) : 省份 人数 四川 45 河南 60 湖北 30 安徽 15

为了更进一步了解员工的来源情况,该公司采用分层抽样的分法从上述四省工人员工中 随机抽 50 名参加问卷调查. (Ⅰ)从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名,求这两名来自同一个省份的概 率; (Ⅱ)在参加问卷调查的 50 名务工人员中,从来自四川、湖北两省的人员中随机抽取两 名,用ξ 表示抽得四川省务工人员的人数,求ξ 的分布列和数学期望.

19. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 A B C D , AD // BC , AD ? CD , 且

AD ? CD ? 2 2, BC ? 4 2, PA ? 2 ,点 M 在 PD 上.
(Ⅰ)求证: AB ? PC ; (Ⅱ)若二面角 M ? AC ? D 的大小为 45? ,求 BM 与平面 PAC 所成角的正弦值.
B

P M A D C

20.已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ? an ? (

1 n ?1 ) ? 2( n ? N * ) ,数列{ bn }满足 bn = 2n an . 2

(I)求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? log 2 大值。

2 n 25 ( n ? N * ) 的 n 的最 }的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn ? ,数列{ cn cn ? 2 an 21

21.已知 F1 , F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1? a ? ?? 的左、右焦点,A,B 分别为椭圆的上、下顶点, 2 a

F2 到直线 AF1 的距离为 2 .
(I)求椭圆的方程; (II)过 F2 的直线交椭圆于 M,N 两点,求 F2 M ? F2 N 的取值范围; (III)过椭圆的右顶点 C 的直线 l 与椭圆交于点 D(点 D 异于点 C) ,与 y 轴交于点 P(点 P uu u r uuu r 异于坐标原点 O) ,直线 AD 与 BC 交于点 Q.证明: OP ? OQ 为定值.

uuuu r uuur

22.已知函数 f ( x) ?

( x ? a) 2 (其中 a 为常数). ln x

(I)当 a ? 0 时,求函数的单调区间; (II)当 a ? 1 时,对于任意大于 1 的实数 x ,恒有 f ( x) ? k 成立,求实数 k 的取值范围; (III)当 0 ? a ? 1 时,设函数 f ( x) 的 3 个极值点为 x1,x 2,x3 ,且 x1 ? x 2 ? x3 . 求证: x1 ? x 3 >

2 e

参考答案
1-5 BCBAB 11. 5 12. 4 2 6-10 13.

CCBBC

3 3

14.

4 2015 ? 1 3

15.

22

16. (1, 2)

17. (Ⅰ)由 f ( A) ? m ? n ? (1 ? cos 2 A) tan A ? 2sin C cos C, 即 f ( A) ? 2cos2 A ? tan A ? 2sin C ? cos C ? sin 2 A ? sin 2C , 又因为 A ? C ?

2? 2? ,所以 C ? ? A 代入上式得, 3 3 4? 1 f ( A)? s i n A 2 ? s iC n ?2 s ? A i n 2 ?s i n ? ( A 3 2

2 ? )A

3 s i n 2? A 2

c ?o s A2 3

?

sin(2

)

由 f ( A) ? 0 ,得 sin(2 A ? 又0? A?

?
3

) ? 0,

2? ? ? ? 5? ? 4? ,且 2 A ? ? ?????????5 分 , 且A ? ,所以 ? 2 A ? ? 3 2 3 3 3 3 3

3 3 3 2 b ? 3 ??????????????????????????8 分 所以 S ?ABC ? 4 ? ? ? ? 4? 4? 5? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( A) ? sin(2 A ? ) ,令 x ? 2 A ? , x ? 2 A ? , x ? ( , ) ? ( , ) 3 3 3 3 3 3 3 ? 4? 4? 5? 则方程 f ( A) ? k 有两个不同的实数解等价于 k ? sin x 在 x ? ( , ) ? ( , ) 上有两上不 3 3 3 3 ? 4? 4? 5? 同实根,作出 y ? sin x, x ?( , ) ? ( , ) 草图如右, y 3 3 3 3 3 y? 5? 2 3 2? 3 3 ? ? k ? 1 或 ?1 ? k ? ? 可知当 时,直线 y ? k 与曲线 ? x O 2 2 3 3 y?? y ?s i n x 有两个交点,符合题意,故实数 k 的取值范围为 2
3 3 ) ? ( ,1) .?????????????????????????12 分 2 2 18.解: (1)易得问卷调查中,从上述四省抽取的人数分别为 15, 20,10,5 . ????? 2 分 设“从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名,这两名人员来自同一个省份” 为事件 M , 2 从参加问卷调查的 50 名务工人员中随机抽取两名的取法共有 C 50 ? 1225 种, k ? (?1, ?
2 2 2 这两名人员来自同一省份的取法共有 C 15 ?C2 20 ? C 10 ? C 5 ? 350 .

也所以 2 A ?

?

? ? ,即 A ?

?

,从而 ?ABC 为正三角形,

350 2 ? .???? 5 分 1225 7 (2)由(1)知,在参加问卷调查的 50 名务工人员中,来自四川、湖北两省的人员人数分别 为 15,10 . ???? 7 分 ? 的可能取值为 0,1, 2 ,
∴ P?M ? ?

2 2 1 C15 C10 C1 3 1 7 15C10 P ?? ? 0 ? ? 2 ? , P ?? ? 1? ? . ?? ? , P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 C25 20 2 C25 C25 20

10 分

∴ ? 的分布列为:

?
P

0 3 20

1 1 2

2 7 20

3 1 7 +1? +2 ? =1.2 ????? 12 分 20 2 20 BC 19. (Ⅰ)如图,设 E 为 的中点,连结 AE , E? =0 ?
则 AD ? EC , AD // EC ,所以四边形 AECD 为平行四边形, 故 AE ? BC ,又 AE ? BE ? EC ? 2 2 , 所以 ?ABC ? ?ACB ? 45? ,故 AB ? AC , 又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AB ? PA , 且 PA ? AC ? A ,所以 AB ? 平面 PAC ,故有 AB ? PC ?????????????5 分 (Ⅱ)如图,以 A 为原点,分别以射线 AE , AD, AP 为 x, y, z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A(0,0,0), E(2 2,0,0), B(2 2, ?2 2,0), C(2 2,2 2,0), D(0, 2 2,0), P(0,0,2) , 设 PM ? ? PD ? (0,2 2?, ?2?)(0 ? ? ? 1) ,易得 M (0,2 2?,2 ? 2?) ,

???? ?

??? ?

???? ? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? ???? , ? ? ?n1 ? AM ? 2 2? y ? (2 ? 2? ) z ? 0
z

2t 2t 令 y ? 2, 得 x ? ? 2, z ? ,即 n1 ? (? 2, 2, ). t ?1 t ?1
又平面 ACD 的一个法向量为 n 2 ? (0,0,1) ,

P M A D y

C B E 2? x | | n1 ? n 2 | 1 ? ?1 ? ? cos 45? ,解得 ? ? , 由题知 | cos ? n1 , n 2 ?|? | n1 | ? | n 2 | 2 2? 2 4?( ) ? ?1 ???? ? ??? ? 即 M (0, 2,1), BM ? (?2 2,3 2,1) ,而 AB ? (2 2, ?2 2,0) 是平面 PAC 的一个法向量,

|

???? ? ??? ? | ?8 ? 12 | 5 3 ? 设平面 BM 与平面 PAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? BM , AB ?|? . 9 4?3 3
故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 20、解: (Ⅰ)在 S n ? ? a n ? ( )

5 3 .?????????????12 分 9

1 2

n ?1

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?a n ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?

1 . 2

当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? a n ?1 ? ( ) ∴ 2a n ? a n ?1 ? ( )

1 2

n?2

1 ? 2 ∴ a n ? S n ? S n ?1 ? ?a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 , … 2
n ?1

1 2

n ?1

,即 2 a n ? 2
n

a n ?1 ? 1 .∵ bn ? 2 n a n ,∴ bn ? bn ?1 ? 1 ,即当 n ? 2

时, bn ? bn ?1 ? 1 .又 b1 ? 2a1 ? 1 ,∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 a n ,∴ a n ?
n

n . 2n

…………………………6 分

(Ⅱ)∵ cn ? log2

2 2 1 1 n = = ? log2 2n ? n ,∴ ,………………8 分 an cn cn+2 n(n+ 2) n n+ 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? )?( ? ) =1? ? ∴ Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( .10 分 2 n ?1 n ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2

由 Tn ?
f ( n) ?

25 25 1 1 1 1 1 13 ? ? ? ? ,得 1 ? ? ,即 , 21 2 n ? 1 n ? 2 21 n ? 1 n ? 2 42

11 13 1 1 ? , f (5) ? 单调递减,∵ f (4) ? ,∴ n 的最大值为 4. n ?1 n ? 2 30 42

21.

解析:解:(1) f ' ( x) ? x

x(2 ln x ? 1) 令 f ? ? x ? ? 0, x ? e 列表如下: ln 2 x
(1, e ) 减 0 极小值

(0,1) 减

e

( e , ?? ) + 增

f ? ? x?

f ? x?

单调减区间为 ? 0,1? , 1, e ,增区间为
2

?

?

?

e , ??

?
k 2 x2 ? 2 x ? k ? 因为 x ? 1 x x

(2)当 x ? 1 时 f ( x) ? k 可得 ? x ? 1? ? k ln x则g ? x ?? ? 2 ? x ? 1? ?

2 所以 2x ? 2x ? 2x ? x ?1? ? 0 ①当 k ? 0 时 g? ? x ? ? 0 恒成立,所以 g ? x ? 在x ? ?1, ??? 上是

增函数,所以当 x ? 1 时, g ? x ? ? g ?1? ? 0 ,满足题意,所以 k ? 0 ,②当k>0时令

g? ? x ? ? 0 x1 ?

1 ? 1 ? 2k 1 ? 1 ? 2k ? 0, x2 ? ? 1 所以当 x ? ?1, x2 ?时,g? ? x ? ? 0? g ? x ? 2 2

在此区间上为减函数,所以当 x ? ?1, x2 ?时,g ? x ? ? g ?1? ? 0 不合题意,舍去.综上可得,k 的取值范围是 k ? 0

(3) f ? ? x ? ?

? x ? a?? ? 2 ln x ?
? ln x
2

a ? ? 1? x ?

对 于 函 数 h ? x? ? 2 ln x?

a 2 x? a ?? x ? 1, 有h ? ? 2 所以函 x x

数 h ? x ? 在 ? 0,

? ?

a? ?a ? ? 上 单 调 递 减 , 在 ? , ?? ? 上 单 调 递 增 . 又 因 为 f ? x ? 有 3 个 极 值 点 2? ?2 ? ? ?i x ? n ? h? a? a 2 n ? 所以 1 a0 ? ??2 l ? 2 e ?2?


x1 ? x2 ? x3 从 而 hm

0 ? a ?1 时 ,

h(a ) ? 2 ln a ? 0 , h(1) ? a ? 1 ? 0 ,
∴ 函数 f ( x) 的递增区间有 ( x1 , a ) 和 ( x3 ,??) ,递减区间有 (0, x1 ) , (a,1) , (1, x3 ) , 此时,函数 f ( x) 有 3 个极值点,且 x 2 ? a ;

? ? 2 ln x1 ? a ? ∴当 0 ? a ? 1 时,x1 , x3 是函数 h( x) ? 2 ln x ? ? 1 的两个零点,? x ?2 ln x ? 3 ? ?

a ?1 ? 0 x1 a ?1 ? 0 x3

消去a

有 2 x1 ln x1 ? x1 ? 2ln x3 ? x3 令 g ? x ? ? 2x ln x ? x , g? ? x ? ? 2ln x ?1 有零点

x?

1 1 ? 1 ? ? 1 ? , 且x1 ? ? x3 所以函数 g ? x ? ? 2x ln x ? x 在 ? 0, , ?? ? 上递 ? 上递减,在 ? e e e? ? ? e ?

增,要证明 x1 ? x3 ?

2 2 ? 2 ? ? x3 ? ? x1 ? g ? x3 ? ? g ? ? x1 ? 因为 e e ? e ?

? 2 ? ? 2 ? g ? x1 ? ? g ? x3 ?即证g ? x1 ? ? g ? ? x1 ? 也就是证 g ? x1 ? ? g ? ? x1 ? ? 0 构造函数 ? e ? ? e ? ? 2 ? ? 1 ? F ? x ? ? g ? x1 ? ? g ? ? x1 ? 只需要证明它在 x ? ? 0, ? 上单调递减即可,而 e? ? e ? ?
? 2 ? 2? ? 2x ? ? 2 ? e ? ? 0 所以 F ? x 在 (0, 1 ] 上单 F ? ? x ? ? 2ln x ? 2ln ? ? x ? ? 2 , F ?? ? x ? ? ? ? ? ? 2 ? e ? e ? x? ? x? ? e ?
调递增, ? F ?? x ? ? F ? ?

? 1 ? ? ??0 ? e?

∴当 0 ? a ? 1 时, x1 ? x3 ?

2 e

.


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