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第二章基本初等函数复习课


第二章基本初等函数 复习课

整数指数幂

定义

有理指数幂
无理指数幂

指数

对数
运算性质

定义

定义

指数函数
图象与性质

对数函数
图象与

性质

幂函数

1.整数指数幂的运算性质 (1)am·n=am+n? a (m,n∈Z) (2)am÷an=am-n? (a≠0,m,n∈Z) (3)(am) n =amn? (m,n∈Z) (4)(ab)n=anbn (n∈Z) 2.根式

知识要点

一般地,如果一个数的n次方等于a(n>1, 且n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.也就 是,若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1, 且n∈N*式子na叫做根式,这里n叫做根指数, a叫做被开方数.

3.根式的性质 (1)当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次 方根是一个负数,这时,a的n次方根用符号n a 表示. (2)当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反 数,这时,正数的正的n次方根用符号 n a 表示,负的n次 方根用符号? n a 表示.正负两个n次方根可以合写为 ? n a (a>0) (3)
n

( a) = a
n

(4)当n为奇数时, 当n为偶数时, n

n

? a (a ? 0 ) a =| a | = ? ?? a (a < 0 )
n

a = a;
n

(5)负数没有偶次方根

(6)零的任何次方根都是零

(1)a =
(2)a
m ? n

4.分数指数幂的意义 m n m n

a (a > 0, m, n ? Z , n > 1) 1 1 * = m = (a > 0, m, n ? Z , n > 1) n m a n a
*

5.有理数指数幂的运算性质

(1)ar·s=ar+s? (a>0,r,s∈Q); a (2)ar÷as=ar-s? (a>0,r,s∈Q); (3)(ar)s=ars? (a>0,r,s∈Q); (4)(ab) r=arbr? (a>0,b>0,r∈Q)
*一般地,当a>0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上 运算律对实数指数幂同样适用.

6.指数函数 一般地,函数y= ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数, 其中x是自变量,函数的定义域是R 7.指数函数的图象和性质

a>1 图 象

0<a<1

性 质

(1)定义域:R (2)值域(0,+∞) (3)过点(0,1),即x=0时,y=1 (4)在R上是增函数 在R上是减函数

底数互为 倒数的两个 指数函数

1 x y=a ,y=( ) a
x

的函数图像 关于y轴对称。

当a>1时,a值 x 越大,y = a 的图 像越靠近y轴; 当0<a<1时,a x 值越大,y = a 的 图像越远离y轴。

8.对数 一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是 ab=N, 那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对 数的底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式 常用对数:通常将log10N的对数叫做常用对数,为了简 便,N的常用对数记作lgN 自然对数:通常将使用以无理数e=2.71828…为底的对 数叫做自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.

a loga N = N (a > 0且a ? 1,N > 0) 叫做对数恒等式
10.对数的性质 (1)负数和零没有对数; (2)1的对数是零,即loga1=0; (3)底数的对数等于1,即logaa=1

9.对数恒等式

11.对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

12 换底公式

log a N log b N = log a b

注意换底公式在对数运算中的作用:

log a N ①公式 log b N = 顺用和逆用; log a b
②由公式和运算性质推得的结论

n log a m b = log a b m
n

的作用.

13.对数函数 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其定义域为 (0,+∞),值域为(-∞,+∞).因为对数函数y=logax与指数函 数y= ax互为反函数,所以y=logax的图象与y= ax的图象关 于直线y=x对称. 14.对数函数的图象和性质 对数函数y=logax的图象和性质分a>1及0<a<1两种情况. 注意作图时先作y= ax的图象,再作y= ax的图象关于直线 y=x的对称曲线,就可以得到y=logax的图象,其图象和性 质见下表

14.对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1

图 象

性 质

(1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0),即x=1时,y=0 (4)在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

底数互为倒数的两个 对数函数

y = loga x, y = log 1
a

x

的函数图像关于x轴对称。

当a>1时,a值越大, y=logax的图像越靠近x轴;

当0<a<1时,a值越大, y=logax的图像越远离x轴。

15、函数y=xα 叫做幂函数, 其中x是自变 量,α是常数.

y

O

x

幂函数的性质
函数 性质

y=x
R R 奇

y=x2
R [0,+∞) 偶

y=x3
R R 奇 增 (1,1)

y=x
[0,+∞) [0,+∞)

1 2

y=x-1
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (0,+∞)减
(-∞,0)减

定义域 值域

奇偶性

非奇非偶 增

[0,+∞)增 单调性 增 (-∞,0]减
公共点

1、计算

( 2a b )(?6a b ) ? (?3a b )

2 1 3 2

1 1 2 3

1 5 6 6

4a
2、已知 x
?3

? 2ax ?3 + x ?6 的值 + 1 = a ,求 a
2

1
3 设0 ? x ? 2, 则函数y = 4
x? 1 2

+ 3? 2 + 5
x

17 25 最小值_________ 的最大值________, . 2

5.如图中曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=ax,y=bx, y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(D ) (A)a<b<1<c<d (B)a<b<1<d<c (C)b<a<1<c<d (D)b<a<1<d<c
a x ?1 6.已知函数 f ( x) = a x + 1 (a>1).

(1)判断函数f (x)的奇偶性; (2)证明f (x)在(-∞,+∞)上是增函数.

2 log5 2 + log5 3 1 计算 =1 1 1 log5 10 + log5 0.36 + log5 8 2 3

2 求函数y = logx?1 (3 ? x)的定义域

{x | 1 < x < 2或2 < x < 3}
3.(lg 2) lg 250 + (lg 5) lg 40 =
2 2

1

B 4.若loga2<logb2<0,则( ) (A)0<a<b<1 (B)0<b<a<1 (C)1<b<a (D)0<b<1<a

5.方程loga(x+1)+x2 = 2(0<a<1)的解的个 数是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无法确定

1.比较下列各组中两个值的大小,并说明 理由. 1 1
? 4 ?2 ? 9 ?3 (1)? ? , ? ? ? 5 ? ? 10 ? (2) log 1.1 0.7, 1.2 0.7 log
2

2.设函数. f ( x) = lg( x + x + 1) (1)确定函数f (x)的定义域; (2)判断函数f (x)的奇偶性; (3)证明函数f (x)在其定义域上是单调 增函数;

3.设函数f(x)=lg(1-x),g(x)=lg(1+x), 在f(x)和g(x)的公共定义域内比较 f(x) 与 g(x) 的大小.

特别注意 1.研究指数、对数问题时尽量要为同底, 另外,对数问题中要重视定义域的限制.

2.要充分利用指数函数和对数函数的概念、 图象、性质讨论一些复合函数的性质,并 进行总结回顾.


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