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初中数学分类讨论专题练习(学生)


分类讨论
有一类数学题,我们在解答时,需要根据研究对象性质的差异将它分为不同的情况加以分析考查.这 一类试题,我们称之为分类讨论题. 解决分类讨论题首先要弄清分类的方法和原则,分类时要考虑研究对象的相同点和差异点,将它划分 为不同种类加以分析和研究.分类时必须遵循以下原则: (1) 分类中的每个分支是相互独立的,不能有重复情况出现; (2) 分类时标准要统一,不能有遗漏

情况出现; (3) 分类讨论应逐级进行. 解决分类讨论题的基本方法和步骤是: (1) 确定研究对象的全体范围; (2) 确定分类标准,合理地进行分类; (3) 逐级对所分类别进行讨论,获取阶段性结果; (4) 综合各级结果,得出最终结论.

分类讨论的类型: 1、 概念分类讨论 ① a≥0 , |a|=a ⑴ 绝对值 ② a<0 , |a|=-a
【例 1】 (2009·孝感)若 m ? n ? n ? m ,且 m ? 4 , n ? 3 ,则 (m ? n) ?
2



等腰三角形的底角和顶角 等腰三角形的底边和腰 直角三角形的直角边和斜边 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的弧(① 优弧;②劣弧) ⑹ 点与弦的位置关系 2、 性质型分类
有一些数学定理、公式以及性质等等具有使用范围或者是分类给出的,这就要求我们在 运用它们时一定要分情况讨论 【例 2】 (2008·威海)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象过点 A(1,2) ,B(3,2) , C(5,7) .若点 M(-2,y1) ,N(-1,y2) ,K(8,y3)也在二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象 上,则下列结论正确的是 ( A.y1<y2<y3 ) C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2

⑵ ⑶ ⑷ ⑸

B.y2<y1<y3

【例 3】 (2008·株州)已知函数 y ? 当 x ? ?1 时, y 的取值范围是( A . y ? ?1 B . y ? ?1

1 的图象如下, x

) C . y ? ?1 或 -1 O -1
X

y ? 0 D. y ? ?1 或 y ? 0

3、 参数型分类讨论
解答含有字母系数(参数)的题目时,需要根据字母(参数)的不同取值范围进行讨论 y x y O B. x O C. y x O D. y x

O A.

【例 4】 (2009·凉山州)若 ab ? 0 ,则正比例函数 y ? ax 与反比例函数 y ? 坐标系中的大致图象可能是( )
2

b 在同一 x

【例 5】 (2008·贵阳)对任意实数 x ,点 P( x,x ? 2 x) 一定不在 ( ..



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【例 6】 (2009·荆门)关于 x 的方程 ax2-(a+2)x+2=0 只有一解(相同解算一解),则 a 的值为 ( (A)a=0. ) (B)a=2. (C)a=1. (D)a=0 或 a=2.

4、 解集型分类讨论
求一元二次不等式及分式不等式的解集时,可以利用有理的乘(除)法法则“两数相乘 (除) ,同号得正,异号得负”来分类,把它们转化为几个一元一次不等式组来求解 【例 7】 (2009·深圳)先阅读理解下面的例题,再按要求解答: 例题:解一元二次不等式 x 2 ? 9 ? 0 . 解:∵ x2 ? 9 ? ( x ? 3)( x ? 3) , ∴ ( x ? 3)( x ? 3) ? 0 . 由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正” ,有 x ? 3 ? 0 x ? 3 ? 0 ? ? (1) ? (2) ? x ? 3 ? 0 ? ?x ? 3 ? 0 解不等式组(1) ,得 x ? 3 , 解不等式组(2) ,得 x ? ?3 , 故 ( x ? 3)( x ? 3) ? 0 的解集为 x ? 3 或 x ? ?3 , 即一元二次不等式 x 2 ? 9 ? 0 的解集为 x ? 3 或 x ? ?3 . 5x ? 1 问题:求分式不等式 ? 0 的解集. 2x ? 3

5、 统计型分类讨论
有一类问题在求一组数据的平均数、众数或中位数时,由于题设的不确定性,往往需要分类 讨论才能获得完整的答案. 【例 8】 (2009·牡丹江)已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是 3,则这三个 数分别为 .

6、 方案设计型分类讨论
在日常生活中,针对同一问题,借助于分类讨论的思想往往可以得出不同的解决方案 【例 9】 (2009·绥化)一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住,某旅行 团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间,且每个房间都住满,租房方案有 ( )


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