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高中数学选择题的解题技巧


讲座1、选择题的解题技巧

数学选择题具有概括性强,知识覆盖面广,小巧

灵活,且具有一定的综合性和深度等特点。考生能否
迅速、准确、全面、简捷地解好选择题,是高考成功 的关键.

解答选择题的基本策略是准确、迅速.准确是解答
选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造 成错选,全题无分。所

以应仔细审题、深入分析、正确 推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分 的必要条件,对于选择题的答题时间,应该控制在40分

钟以内,速度越快越好,高考要求每道选择题在1~3分
钟内解完,要避免“超时隐性失分”现象的发生.

高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题 属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速 选择.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思 想,又应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择项

中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个
“选”字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选 择项两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧 妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的基 本策略.

一、直接法:

理论阐释
直接法是指直接从题设条件出发,运用有关概念、
性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和准 确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出 的选择项“对号入座”作出相应的选择.涉及概念、性 质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.

典例导悟
例 1、在集合 ? a ,b ,c ,d ? 上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

那么d ? a ? c) ( ? A.a B.b C.c D.d

解析:选A .由运算可知 a ? c ? c, 所以 d ? a ? c) d ? c ? a .故选A . ( ?

例 2、设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x), 当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于( (A) 0.5 (B) -0.5 ) (C) 1.5 (D) -1.5

解析:选 B.由 f(x+2)=-f(x) 得 f(7.5)=-f(5.5)=f(3.5)=-f(1.5) =f(-0.5),由 f(x)是奇函数, 得 f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,所以选 B. 也可由 f(x+2)=-f(x),得到周期 T=4, 所以 f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 故选 B.

例3、数列 ?a n ? 1 A. 5 2 B. 5

? 1 2a n , 0 ? a n ? , ? 2 3 满足 a n ?1 ? ? 若 a1 ? ,则 a 2012 ? ( ? 5 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1. ? n 2 n ?

)

3 C. 5

4 D. 5

解析:选 D.由数列的通项公式知: 3 1 2 4 a1 ? ,a 2 ? ,a 3 ? ,a 4 ? 5 5 5 5 3 1 2 4 a 5 ? ,a 6 ? ,a 7 ? ,a 8 ? ?是一个循环数列 5 5 5 5 4 故a 2012 ? a 4 ? , 所以选 D 5

二、数形结合法:

理论阐释
数形结合思想就是利用函数图像或数学结果的几何 意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求 取值范围等)与某些图形结合起来,利用几何直观性, 再辅以简单计算,确定正确答案的方法.这种解法贯穿 数形结合思想,每年高考均有很多选择题可以用数形结 合思想解决,既简捷又迅速.

典例导悟 n 是( 最小的
(A)4

例 1、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn ) (B)5 (C)6 (D)7

例 1、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是( (A)4 ) (B)5 (C)6 (D)7

Sn
3 5 7 O n

Sn
解析:选 B.等差数列的前 n 项和 Sn=

d 2 d n +(a1- )n 3 5 7 2 2O

n

可表示为过原点的抛物线,又本题中 a1=-9<0, S3=S7, 可表示如图,由图可知,n=

3?7 ? 5 ,是抛物线的对称轴, 2

所以 n=5 是抛物线的对称轴,所以 n=5 时 Sn 最小,故选 B

?2? x ? 1 x ? 0 ? 例 2、设函数 f (x) ? ,若 f (x ) ? 1 ,则 x 的取值范围是( 0 0 ? 1 x?0 ?x 2 ?

?1,1) (C) ?? , ?2 ) ? (0, ?? ) (
(A) (

(B) (

?1, ?? ) (D) ?? , ?1) ? (1, ?? ) (
y 1

解析:选 D.在同一直角坐标系中,作出函数

y ? f ( x) 的图象和直线 y ? 1 ,它们相交于(-1,1)
和(1,1)两点,由 f ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? ?1 或 x0 ? 1 .
-1

O

1

x

例 3、 若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4x ? x 2 有公共点, 则实数 b 的取值范围是 A. ? 1 - 2 2 , 1 ? 2 2 ? ? ? C. ?-1, ? 2 2 ? ? 1 ? ( ) B. ? 1 - 2 ,3 ? ? ? D. ?1 - 2 2 ,3 ? ? ?

解析:选C。分别作出曲线与直线 的图像,如图示:由图像可知: 满足题意的 b 的取值范围为 ?1 ? 2 2,? ; 3? ? 故选C

三、特例法:

理论阐释
特例法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位

置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择
项进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它 在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法.用 特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊愈好.

典例导悟
例 1、若 a 则( ) (B)P ? Q ? R (D)P ? R ? Q

? b ? 1,P= lg a ? lg b ,Q= 1 ? lg a ? lg b ? ,R= lg ? a ? b ? ,
2

? ? ? 2 ?

(A)R ? P ? Q (C)Q ? P ? R

解析:选 B.取 a=100,b=10,此时 P=

2 ,Q= 3 =lg 1000 , 2

R=lg55=lg 3025 ,则有 P<Q<R,故选 B.

例 2、过 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 P、Q 两点, 若 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ,则 (A) 2 a (B)

1 1 ? ? p q

( (D)



1 2a

(C) 4 a

4 a

解析:选 C.考虑特殊位置 PQ⊥OP 时, | PF |?| FQ |?

1 ,所以 2a

1 1 ? ? 2a ? 2a ? 4a ,故选 C. p q

例 3、等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的 前 3m 项和为( (A)130 ) (B)170 (C)210 (D)260

解析:选 C.取 m=1,依题意 a1 =30, a1 + a2 =100,则 a2 =70, 又{an}是等差数列,进而 a3=110,故 S3=210,选 C.

四、验证法(也叫代入法):

理论阐释
验证法就是将选择项中给出的答案或其特殊值,代入
题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条 件的选择项的一种方法.在运用验证法解题时,若能据题 意确定代入顺序,则能较大幅度的提高解题速度.

典例导悟
例 1、函数 y=sin(2x+ 5 ? )的图象的一条对称轴的方程是( )

2
(A)x=-

解析:选 A.方法一: (验证法)把选择支逐次代入,当 x=- ? 时,

? 2

(B)x=-

? 4

(C)x= ?

(D)x= 5 ?

8

4

2
y=-1,可见 x=- ? 是对称轴,又因为统一前提规定“只有一项是符合要

2
求的” ,故选 A. 方法二: (直接法) ∵函数 y=sin(2x+

5? )的图象的对称轴方程为 2
2

2x+ 5 ? =kπ+ ? ,即 x= k ? -π,当 k=1 时,x=- ? ,选 A.

2

2

2

例 2、已知 a,b 是任意实数,记|a+b|,|a–b|,|b–1|中的最大值为 M, 则 ( ) (B)0≤M≤

(A)M≥0

1 2

(C)M≥1

(D)M≥

1 2

1 解析:选 C.把 M=0 代入,排除 A、B;再把 M= 代入检验满足条件, 2
排除 D.

五、排除法(也叫筛选法、淘汰法):

理论阐释
排除法就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只 有一个正确选择项这一信息,从选择项入手,根据题设条件 与各选择项的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择 项进行排除,将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除,从而

获得正确结论的方法.使用排除法的前提是“答案唯一”,
即四个选项中有且只有一个答案是正确的.

典例导悟
例 1、已知 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D) [2,+∞ ) )

解析:选 B.∵ 2-ax 是在[0,1]上是减函数,所以 a>1, 排除答案 A、C;若 a=2,由 2-ax>0 得 x<1,这与 x∈[0,1] 不符合,排除答案 D 所以选 B.

例 2、过抛物线 y2=4x 的焦点,作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q, 那么线段 PQ 中点的轨迹方程是( (A) y2=2x-1 (C) y2=-2x+1 ) (B) y2=2x-2 (D) y2=-2x+2

解析:选 B.方法一: (排除法)由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0), 开口向右,由此排除答案 A、C、D,所以选 B;

? y ? k ? x ? 1? ? 方法二: (直接法)设过焦点的直线 y=k(x-1),则 ? ,消 y 得: 2 ? y ? 4x ?

? x1 ? x 2 k 2 ? 2 2 2 2 2 ? 2 , K x -2(k +2)x+k =0,中点坐标有 ? x ? ? 2 k ? k2 ? 2 2 ? y ? k( ? 1) ? 2 ? k k ?
消 k 得 y =2x-2,选 B.
2

例 3、 若圆C的半径是1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0、x轴都相切,则该圆的标准方程是( ) 7 2 2 A. (x-3) ? (y- ) ? 1 B. (x-2) 2 ? (y-1) 2 ? 1 3 3 C. (x-1) 2 ? (y-3) 2 ? 1 D. (x- ) 2 ? (y-1) 2 ? 1 2

解析:选B. 由已知的圆心的纵坐标为1,可排除AC 由圆心到直线的距离为1,可得答案B(或排除D) 故选B

六、估算法:

理论阐释
由于选择题提供了唯一正确的选择项,解答又无需过程. 因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少 运算量,当然自然加强了思维的层次.把复杂问题转化为较 简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,

从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出
判断的方法.

典例导悟
例 1、如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF 多面体的体积为( (A) 9 ) (B)5 (C)6 (D) 15
A

3 ? ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该 2
D

E

F

C

2

2

B

解析:选 D.由已知条件可知,EF∥平面 ABCD,则 F 到平面

ABCD 的距离为 2,∴VF-ABCD= 1 ·32·2=6,而该多面体的体积

3
必大于 6,故选 D.

例 2、已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( ) (A) 16 π (B) 8 π (C)4π
9

(D) 64 π
9

3

解析:选 D.∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r= 2

3, 3

则 S 球 =4? R 2 ? 4? r 2 =

16 π>5π. 3

七、极限法:

理论阐释
从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应 用极限思想解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,

降低解题难度,优化解题过程.

典例导悟
例 1、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ( (A) n ? 2 π ,π ) ( (B) ( )

n
(C) (0, ? )

2

n ? 1 π ,π ) n n?2 (D) ( π , n ?1π ) n n

解析:选 A.当正 n 棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时,则底面正 多边形便为极限状态,此时棱锥相邻两侧面所成二面角α→π,且小于π;当 棱锥高无限大时,正 n 棱柱便又是另一极限状态,此时α→ n ? 2 π,且大于

n

n ? 2 π,故选 A. n

?x ? 0 例2、不等式组 ? ?3 ? x 2 ? x ?3 ? x ? 2 ? x ?
(A) (0,2) (B) (0,2.5)

的解集是





(C) (0,

6)

(D) (0,3)

解析:选C.不等式的“极限”即方程

3 ? x 2 ? x 的根,则只需验证x=2,2.5, ? 3? x 2? x

3 ? x 2 ? x 的根,逐一代入,选C. 6 和3哪个为方程 ? 3? x 2? x

例 3、对任意θ ∈(0, ? )都有(

) (B) sin(sinθ )>cosθ >cos(cosθ ) (D) sin(cosθ )<cosθ <cos(sinθ )

2
(A)sin(cosθ )<sinθ <cos(cosθ ) (C)sin(cosθ )<cos(sinθ )<cosθ

解析:选 D.当θ→0 时,sin(sinθ) →0,cosθ→1,cos(cosθ) →cos1, 故排除 A,B 当θ→ ? 时,cos(sinθ) →cos1,cosθ→0,故排除 C,因此选 D.

2

总之,解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的
方法,这里由于限于篇幅,其它方法不再一一举例.需要指 出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合

起来进行解题,会使题目求解过程简单化.解答选择题既要
看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答, 但更应该充分挖掘题目的“个性”,寻求简便解法,充分利

用选择项的暗示作用,迅速地作出正确的选择.这样不但可以
迅速、准确地获取正确答案,还可以提高解题速度,为后续 解题节省时间.对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切

忌小题大做.“不择手段,多快好省”是解选择题的基本宗
旨.


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