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高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语


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常用逻辑用语 一、命题及其关系考点:
要点 1.命题:一般地,把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的 语句叫

做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 要点 2.四种命题: (1)一般地,用 p 和 q 分别表示命题的条件和结论,用¬ p 和¬ q 分别表示 p 和 q 的否定,于是四种命题的 形式就是: 原命题:若 p ,则 q ; 逆命题:若 q ,则 p ; 否命题:若¬ p ,则¬ q ; 逆否命题:若¬ q ,则¬ p . 要点 3.四种命题的关系:

互为逆否的两个命题同真假. 考点 1. 命题及其真假判断: 例 1、判断下列语句是否是命题?若是,判断其真假并说明理由。 1)x>1 或 x=1; 2)如果 x=1,那么 x=3 3)x -5x+6=0;
2

4)当 x=4 时,2x<0; 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? 7)矩形是平行四边形吗?;

6)矩形难道不是平行四边形吗?
2

8)求证:若 x∈R,方程 x -x+1=0 无实根. 解析:1)不是,x 值不确定。 2)是,假命题 3)不是命题.因为语句中含有变量 x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x> 0”也不是命题. 4)是命题.它是作出判断的语言,它是一个假命题. 5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断,疑问句不是命题. 6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了判断,它是真命题. 7)不是.不是陈述句 8)不是命题.它是祈使句,没有作出判断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.
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练一练: 1. 判断下列语句是不是命题。 (1)2+2 2 是有理数; (2)1+1>2; (3)2 是个大数; (4)986 能被 11 整除; (5)非典型性肺炎是怎样传播的? (6)(6)x≤3。 2. 判断下列语句是不是命题。 (1)矩形难道不是平行四边形吗? (2)垂直于同一条直线的两条直线平行吗? (3)一个数不是合数就是质数。 (4)大角所对的边大于小角所对的边; (5)y+x 是有理数,则 x、y 也是有理数。 (6)求证:x∈R,方程 x ? x ? 1 ? 0 无实根。
2
100

总结:判断一个语句是否是命题,根据有两条:①是否是陈述句,②是否可以判断真假 参考答案: 1. (1) (2) (4) (6)均是命题 提示: (3)中“大数”是一个模糊的概念,故无法判断真假, 不是命题; (5)不是陈述句,故不是命题。 2. (1) (3) (4) (5)是命题 提示: (1)是通过反问表态对矩 形是平行四边形的判断,是命题; (2)是疑问句,没有作出判断,不是命题; (6)是祈使句,不是命题。 考点 2. 有关命题的结构 例 2、把下列命题改写成若 P,则 q 的形式, (1)负数的立方是负数; (2)相切两圆的连心线经过切点; (3)全等三角形一定是相似三角形; (4)有三边对应相等的两个三角形全等 练一练 : 1、把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式。 (1)末位是0的整数,可以被5整除; (2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等; (3)等式两边都乘同一个数,所得结果仍是等式; (4)到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线。 2、把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假。 (1)负数的平方是正数; (2)平行于同一平面的两条直线平行。 3、把下列命题写成“若 p,则 q”的形式,并判断真假。 (1)ac>bc? a>b; (2)已知 x、y 为正整数,当 y=1+x 时,y=3,x=2; (3)当 m>

1 时,mx2? x+1=0无实根; 4
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(4)当 abc=0时,a=0或 b=0或 c=0。
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参考答案: 2、(1)若一实数是负数,则它的平方是正数,真命题; (2)若两直线平行于同一平面,则它们互相平行,假命题。提示:因为还有可能相交或异面。 3、(1)假命题; (2)假命题; (3)真命题; (4)真命题 考点三、四种命题及其关系 题型一:四种命题的概念及表示形式 一般的, p 和 q 分别表示原命题的条件和结论, 用 用┐p 和┐q 分别表示 p 和 q 的否定, 于是四种命题的形式是: 原命题:若 p,则 q(p? q) ; 否命题:若┐p,则┐q(┐p? ┐q) ; 逆命题:若 q,则 p(q? p) ; 逆否命题:若┐q,则┐p(┐q? ┐p) 。

1. 命题 “若 A∪B=B, A? B” 则 的否命题是________________________, 逆否命题是________________________。 2. 下列说法中,不正确的是 A. “若 p,则 q”与“若 q,则 p”是互逆的命题 B. “若非 p,则非 q”与“若 q,则 p”是互否的命题 C.“若非 p,则非 q”与“若 p,则 q”是互否的命题 D. “若非 p,则非 q”与“若 q,则 p”是互为逆否的命题 3. 命题“若 a ? 0 ,则

3a 3 ? ”的相关命题如下,在题后括号内注明它是这一命题的什么命题。 4a 4 3a 3 (1)若 a ? 0 ,则 ( ? ; ) 4a 4 3a 3 (2)若 ( ? ,则 a ? 0 ; ) 4a 4 3a 3 (3)若 ( ? ,则 a ? 0 。 ) 4a 4

题型二:四种命题的相互转化 1. 命题“a,b 都是偶数,则 a ? b 是偶数”的逆否命题是 A. a,b 都不是偶数,则 a ? b 不是偶数 B. a,b 不都是偶数,则 a ? b 不是偶数 C. a ? b 不是偶数,则 a,b 都不是偶数 D. a ? b 不是偶数,则 a ,b 不都是偶数 2. 命题“若 a ? 0 ,则 a 2 ? 0 ”的否命题是 A. 若 a 2 ? 0 ,则 a ? 0 C. 若 a ? 0 ,则 a 2 ? 0 B. 若 a ? 0 ,则 a 2 ? 0 D. 若 a ? 0 ,则 a 2 ? 0

3. 命题“若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 ”的逆命题是 A. 若 ac 2 ? bc 2 ,则 a ? b C. 若 ac 2 ? bc 2 ,则 a ? b B. 若 ac 2 ? bc 2 ,则 a ? b D. 若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2

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4. 分别写出命题“若 x 2 ? y 2 ? 0,则 x、y 全为零”的逆命题、否命题与逆否命题。

5. 命题“若 A ? B ? A ,则 A ? B ? B ”的否命题是 A. 若 A ? B ? A ,则 A ? B ? B B. 若 A ? B ? B ,则 A ? B ? A C. 若 A ? B ? B ,则 A ? B ? A D. 若 A ? B ? A ,则 A ? B ? B 6. 命题“若 a ? 1 ,则 a ? 0 ”的逆命题是

,逆否命题是



7. 命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 ”的否命题为________________。 8. 给出命题: “已知 a、b、c、d 是实数,若 a≠b 且 c≠d,则 a+c≠c+d.”对原命题、逆命题、逆否命题而言, 其中的真命题有( )个 A、0 B、1 C、2 D、4 题型三、互为逆否命题的等价性的应用(假、真) 例 1、判断命题“若 a ?

?
4

,则 tan a ? 1 ”的真假

练一练:1、判断命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题的真假.

2、判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 2 ? 0 的解集非空,则 a≥1” 的逆否命题的真假。

参考答案: 题型一: 1. 若 A ? B ? B ,则 A ? B ;若 A ? B,则 A ? B ? B 。 3. (1)否命题 (2)逆命题(3)逆否命题 题型二:1. D 2. C 3. A

2. B

4. 逆命题:若 x、y 全为零,则 x 2 ? y 2 ? 0 ;否命题:若 x 2 ? y 2 ? 0,则 x、y 不全为零; 逆否命题:若 x、y 不全为零,则 x 2 ? y 2 ? 0 。 5. A 6. 若 a ? 0 ,则 a ? 1 ;若 a ? 0 ,则 a ? 1 7. 若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 8. A
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二、充要条件:
①从逻辑观点上,关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在 于区分命题的条件 p 与结论 q 之间的关系. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 必要条件; 若 p ? q 且 q ?? p ,则 p 是 q 成立的充分不必要条件; 若 q ? p 且 p ?? q ,则 p 是 q 成立的必要不充分条件; 若 p ? q 且 q ? p ,即 p ? q ,则 p 是 q 成立的充要条件; 若 p ?? q 且 q ?? p ,则 p 是 q 成立的既不充分也不必要条件. ②从集合的观点上,关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定 在于判断 p 、 q 相应的集合关系. 建立与 p 、 q 相应的集合,即 p : A ? x p ? x ? 成立 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分条件,若 A 若 B ? A ,则 p 是 q 的必要条件,若 B 若 A ? B ,则 p 是 q 成立的充要条件; 若 A ? B 且 B ? A,则 p 是 q 成立的既不充分也不必要条件. ? ? 考点一、充要条件的判定 1、充分条件、必要条件的判定 2 2 例 1、若 a、b 为实数,则 a>b>0 是 a >b 的( ) A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要条件 例 2、m=

?

? , q : B ? ? x q ? x ? 成立 ? .

B ,则 p 是 q 成立的充分不必要条件; A ,则 p 是 q 成立的必要不充分条件;

D、既不充分也不必要条件 )

1 是直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直的( 2

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 例 3、已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 B 是 A 的 条件。 练一练: 1、 “x<5”是“-2<x<4” 条件。 2、已知条件 p:a>

1 1 且 b> ,q:a+b>1,则 p 是 q 的 2 2
2

。 。

3、已知 a∈R,则“a>2”是“a >2a”的

? 1 4、 = ”是“sinα = ”的 “α 6 2
5、数列{an}是等比数列是数列{an2}是等比数列的 6、“x>2”是“x≥2”的 条件.

条件。 条件。

7、已知命题 A,B,如果? 是? 的充分而不必要条件,那么 B 是 A 的 A B 8、已知 p:x2-x<0,那么命题 p 的一个必要不充分条件是( A.0<x<1 B.-1<x<1 ) D.

条件.

9、已知 a、b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么?a 是?b 的

1 2 C. <x< 2 3

1 <x<2 2

条件 )

10、已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分但不必要条件,那么?A 是?B 的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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11、已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么¬A 是¬B 的( A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 )



D.既不充分也不必要条件

12、设 x∈R,则“x=1”是“x3=x”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

13、 “a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

14、 “k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

15、设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2



16、已知命题 p:|2x-3|>1,命题 q: log1 (x +x-5)<0,则 p 是 q 的
2
2

条件.

17、函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上为单调函数的充分条件是 。 18、已知 p:{x|x+2≥0 且 x-10≤0},q:{x|-m≤x≤1+m,m>0},若 q 是 p 的必要非充分条件,则实数 m 的取值 范围是 。 19、设 a,b∈R,已知命题 p:a=b;命题 q: (

a ? b 2 a 2 ? b2 ) ≤ ,则 p 是 q 成立的 2 2

条件。

20、Y 已知 p:|1的取值范围.

x ?1 2 2 |≤2,q:x -2x+1-m ≤0(m>0) .若“非 p”是“非 q”的必要而不充分条件,求实数 m 3

21、已知 p:-2≤x≤10;q:x2-2x+1-m2≤0(m>0) ,若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

12、A 13、A 14、A 20、m>9 21、0<m≤3

15、B

16、必要不充分

17、a≤1 或 a≥2. 18、[9,+∞) 19、充分不必要

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三、简单的逻辑联结词 1.简单的逻辑联结词:“或”、“且”、“非”这些词叫逻辑联结词. ①,记作 p ? q ,含义是: p 、 q 两个命题中至少有一个成立; ② p 且 q ,记作 p ? q ,含义是: p 、 q 两个命题同时成立; ③非 p ,记作¬ p ,含义是:对命题 p 的否定. (注:命题的否定与否命题是两个不同概念) 2.真值表:

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p?q
真 真 真 假

p?q
真 假 假 假

¬p 假 真

考点一:含有逻辑联结词的命题的构成形式及真假判断 例:1、4 或 3 是 15 的约数; 2、10≤10; 3、矩形的对角线互相垂直平分; 4、有两个角为 450 的三角形是等腰直角三角形; 5、平行线不相交; 6、方程 x ? 6 x ? 1 ? 0 没有实数根
2

考点二:利用逻辑连接词构造新命题 例:分别写出由下列构成的“p 或 q” 且 q” “p “非 p”形式的命题,并判断其真假。 (1)p: ? 是有理数,q: ? 是无理数; (2)P:方程 x ? x ? 1 ? 0 的两实根符号相同,q:方程 x ? x ? 1 ? 0 的两实根绝对值相等;
2 2

2、用“或” “且” “非”非填空,使命题成为真命题 (1) x ? A ? B ,则 x ? A (2) x ? A ? B ,则 x ? A (3)若 ab=0,则 a=0 (4)a、b ? R ,a>0

x? B; x? B;
b=0; b>0,则 ab>0.
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考点三、命题的否定与否命题 “命题的否定”与“否命题”的区别: 命题的否定,一般只否定结论 否命题:既否定条件又否定结论 例:写出下列命题的否定和否命题: (1)菱形的对角线互相垂直; (2)若 a ? b ? 0 ,则 a=0,b=0;
2 2

(3)若一个三角形是锐角三角形,则它的三个内角都是锐角。

考点四、 或 q” 且 q”的否定 “p “p 提示:求命题的否定需注意将命题中的关键词语改成它的否定词语,下面把常用的一些词语和它的否定词语对照 如下:

例: (1) x ? (0,2) ,函数 y ? x ? x ?1 的最小值是 ?
2

5 且最大值是 1; 4

(2)相似三角形的三个内角对应相等或三条对应边相等; (3)100 是 10 或 20 的倍数; (4)任何集合都是空集的子集。

考点五、利用复合命题的真假求参数的范围
2 例:已知 P:方程 x ? m x ? 1 ? 0 有两个不等的负实根;q:方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,若 p 或 q 为真,
2

p 且 q 为假,求 m 的取值范围。

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练一练: 1.命题“12 既是 4 的倍数,又是 3 的倍数”的形式是( q A.p∨ B.p∧q C.¬p 2.“a +b ≠0”的含义为( A. 和 b 都不为 0 a C. 和 b 至少有一个不为 0 a
2 2

) D.简单命题

) B.a 和 b 至少有一个为 0 D.a 不为 0 且 b 为 0,或 b 不为 0 且 a 为 0

3.命题“方程|x|=1 的解是 x=±1”中,使用逻辑词的情况是( ) A. 没有使用逻辑连接词 B.使用了逻辑连接词“或” C. 使用了逻辑连接词“且”
2

D. 使用了逻辑连接词“或”与“且”
2 2

4.设命题 p:x>2 是 x >4 的充要条件,命题 q:若 a>b,则 ac >bc ,则( A.p∨ 为真 q
2



B.p∧q 为真

C.p∨ 为假 q

D.?p∧q 为真 )

5.命题:“方程 X ﹣2=0 的解是 X= A.没有使用逻辑连接词 C.使用了逻辑连接词“或”

”中使用逻辑联系词的情况是( B. 使用了逻辑连接词“且” D. 使用了逻辑连接词“非” )

6.如果命题“p 且 q”是假命题,“非 p”是真命题,那么( A.命题 p 一定是真命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 可以是真命题也可以是假命题

D.命题 q 一定是假命题 7.已知命题 p:x∈A∪ B,则非 p 是( ) A.x 不属于 A∩B B.x 不属于 A 或 x 不属于 B C.x 不属于 A 且 x 不属于 B x∈A∩B D.

8.分别用“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”填空: ① “菱形的对角线互相垂直平分”是 _________ 形式;

② “负数没有平方根”是 _________ 形式; ③ “3≥3”是 _________ 形式; ④ “△ABC 是等腰直角三角形”是 _________ 形式 9.在“¬p”,“p∧q”,“p∨ q”形式的命题中,“p∨ q”为真,“p∧q”为假,“¬p”为真,那么 p,q 的真假为 p _________ ,q _________ . 10.已知集合 A={x|x ﹣4x+3<0},集合 B={x|x ﹣ax+a﹣1<0},p:x∈A,q:X∈B,若¬q 是¬p 的必要不充分 条件,则实数 a 的取值范围是 _________ . ,q:1﹣m≤x≤1+m,若非 P 是非 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.
2 2

11.已知

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参考答案:1-5、BCBCC

6-7、CC

8、① p 且 q ② 非 p

③ p或q

④ p且q

9、p 假 ,q 真 . 10、 (2, ] 11、实数 m 的取值范围是{m|m≥9}.

四、全称量词与存在量词
题型一、全称命题与特称命题真假的判断 1、 下列全称命题中真命题的个数是( )

① 末位是 0 的整数,可以被 2 整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相 等 A 1 B 2 C 3 D 4 )

2、 下列特称命题中假命题的个数是(

① 有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形 A 0 B 1 C 2 D 3 )
2

3、 下列特称命题中真命题的个数是(

{ x ① ?x ? R, x ? 0 ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数③ ?x ? x│x是无理数}, 是无理数
A 0 B 1 C 2 D 3 ) 4、 下列全称命题中假命题的个数是(

① 2x+1 是整数(x∈R)②对所有的 x∈R ,x>3③对任意一个 x∈z,2x2+1 为奇数 A 0 B 1 C 2 D 3 ) B 正四棱柱都是平行六面体 D 存在实数大于等于 3

5、 下列命题为特称命题的是( A 偶函数的图象关于 y 轴对称 C 不相交的两条直线是平行直线

题型二、命题的否定 6、命题“原函数与反函数的图象关于 y=x 对称”的否定是() A 原函数与反函数的图象关于 y=-x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于 y=x 对称 C 存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x 对称 D 存在原函数与反函数的图象关于 y=x 对称 7、命题“ ?x ? R, x 2 - x ? 3 ? 0 ”的否定是______________ 8、命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是______________
2

9、命题“ ?x ? N, x ? x ”的否定是______________
3 2

10、命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ 13、写出下列命题的否定: (1)所有自然数的平方是正数 (2)任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根 (3)对于任意实数 x,存在实数 y,使 x+y>0 (4)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等
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参考答案: 1-6、C A D C D C 9、 ?x ? N, x 3 ? x 2 7、 ?x ? R, x 2 - x ? 3 ? 0 10、任意一个三角形都有外接圆 8、 ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

13、 (1)有些自然数的平方不是正数 (3)至少存在一个实数 x,对于任意实数 y,使 x+y≤0 ? 题型三、利用命题求参数的取值范围 1.若命题“? x∈R,x +ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 _________ . 2.写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:? x∈R,方程 x +x﹣m=0 必有实根; (2)q:? x∈R,使得 x +x+1≤0.
2 2 2

3.命题“存在 x∈R,x +2x+2≤0”的否定是 _________ . 4.知集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},且 B≠?. (1)若“命题 p:? x∈B,x∈A”是真命题,求 m 的取值范围. (2) “命题 q:? x∈A,x∈B”是真命题,求 m 的取值范围.
2

2

5.已知命题“? x∈[1,2],使 x +2x+a≥0”为真命题,求 a 的取值范围.

2

6.命题“? x∈R,2x ﹣3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为 _________ .

2

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1.

a<﹣2 或 a>2
2

2. (1)? p:?m∈R.方程 x +x﹣m=0 无实数根;真命题 2 (2)? q:?x∈R,使得 x +x+1>0; 真命题 2 3.任意 x∈R,x +2x+2>0 4. (1)2≤m≤3 (2)2≤m≤4 常用逻辑用语综合练习: 一、选择题 1.下列语句中是命题的是(

5.[﹣8,+∞)

6.[﹣2

,2

]

) B. sin 45 ? 1
0

A.周期函数的和是周期函数吗? C. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

D.梯形是不是平面图形呢?

2 2.在命题“若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的开口向下,则 x | ax ? bx ? c ? 0 ? ? ”的逆命题、否命题、

?

?

逆否命题中结论成立的是( ) A.都真 B.都假 C.否命题真 3.有下述说法:

D.逆否命题真

① a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件. ② a ? b ? 0 是
2 2

1 1 ? 的充要条件. a b


③ a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件.则其中正确的说法有(
3 3

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

4.下列说法中正确的是( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价 C. a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ” “
2 2 2 2

D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 5.若 A : a ? R, a ? 1 , B : x 的二次方程 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根大于零, 另一根小于零,则 A 是 B 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

6.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



二、填空题
1.命题: “若 a ? b 不为零,则 a , b 都不为零”的逆否命题是
2 2. A : x1 , x2 是方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实数根; B : x1 ? x2 ? ?



b , a

则 A 是B 的 条件。 3.用“充分、必要、充要”填空: ① p ? q 为真命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件; ② ? p 为假命题是 p ? q 为真命题的_____________________条件;
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2 ③ A : x ? 2 ? 3 , B : x ? 4 x ? 15 ? 0 , 则 A 是 B 的___________条件。

4.命题“ ax ? 2ax ? 3 ? 0 不成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是_______。
2

5. a ? ? “ b Z

”是“ x ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解”的__________条件。
2

三、解答题
1.对于下述命题 p ,写出“ ? p ”形式的命题,并判断“ p ”与“ ? p ”的真假:
* (1) p : 91? ( A ? B) (其中全集 U ? N , A ? x | x是质数 , B ? x | x是正奇数 ).

?

?

?

?

(2) p : 有一个素数是偶数;. (3) p : 任意正整数都是质数或合数; (4) p : 三角形有且仅有一个外接圆.

2.已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x 2 ? 2x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围。

3.若 a ? b ? c ,求证: a, b, c 不可能都是奇数。
2 2 2

4.求证:关于 x 的一元二次不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对于一切实数 x 都成立的充要条件是 0 ? a ? 4
2

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参考答案 一、选择题 1.B 可以判断真假的陈述句 2.D 原命题是真命题,所以逆否命题也为真命题 3.A ① a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件
2 2

②a ? b ? 0?

1 1 3 3 ? ,仅仅是充分条件;③ a ? b ? 0 ? a ? b ,仅仅是充分条件 a b

4.D 否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性 5.A 6.A

A : a ? R, a ? 1 ? a ? 2 ? 0 ,充分,反之不行 ?p : x ?1 ? 2, ?3 ? x ? 1 , ?q : 5x ? 6 ? x2 , x2 ? 5x ? 6 ? 0, x ? 3, 或x ? 2
?p ? ?q ,充分不必要条件

二、填空题 1.若 a , b 至少有一个为零,则 a ? b 为零 2.充分条件

A? B

3.必要条件;充分条件;充分条件, A : ?1 ? x ? 5, B : 2 ? 19 ? x ? 2 ? 19, A ? B 4. [?3, 0]

ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立,当 a ? 0 时, ?3 ? 0 成立;当 a ? 0 时,

?a ? 0 得 ?3 ? a ? 0 ;??3 ? a ? 0 ? 2 ?? ? 4a ? 12a ? 0
5.必要条件 左到右来看: “过不去” ,但是“回得来” 三、解答题 1.解: (1) ?p : 91? A, 或91? B ; p 真, ? p 假; (2) ?p : 每一个素数都不是偶数; p 真, ? p 假; (3) ?p : 存在一个正整数不是质数且不是合数; p 假, ? p 真; (4) ?p : 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。 2.解: ?p : 4 ? x ? 6, x ? 10, 或x ? ?2, A ? x | x ? 10, 或x ? ?2

?

?

q : x2 ? 2x ?1? a2 ? 0,x ? 1? a, 或x ? 1? a, 记B ? ?x | x ? 1? a, 或x ? 1? a?
而 ?p ? q,? A

?1 ? a ? ?2 ? B ,即 ?1 ? a ? 10 ,? 0 ? a ? 3 。 ?a ? 0 ?
2 2 2

3.证明:假设 a, b, c 都是奇数,则 a , b , c 都是奇数 得 a ? b 为偶数,而 c 为奇数,即 a ? b ? c ,与 a ? b ? c 矛盾
2 2 2 2 2 2 2 2 2

所以假设不成立,原命题成立 4.证明: ax ? ax ? 1 ? 0(a ? 0) 恒成立 ? ?
2

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a ? 0

?0?a?4
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