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§3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域doc

时间:2013-10-18


§3.3.1

二元一次不等式(组)与平面区域

学习目标:1、了解二元一次不等式组的相关概念,并能画出二元一次不等式(组)表示的 平面区域. 2、 重、难点:灵活运用二元一次不等式(组)来表示平面区域(重点) ; 如何确定不等式 Ax ? By ? C ? 0 (? 0) 或 Ax ? By ? C ≥ 0 (≤ 0 )表示直线

>
Ax ? By ? C ? 0 的哪一侧区域(难点)
学习过程: 一、课前准备 (预习课本 P82------P86,找出疑惑之处) ,并填写下列知识要点 (1)二元一次不等式的定义: 含有 , 并且未知数的最高次数是 次的不等式称为 二元一次不等式. (2)二元一次不等式组: 由 组成的不等式组称为二元一次不 等式组. (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序 数对( x , y )所有这样的有序数对( x , y )构成的集合称为二元一次不等式(组)的解 集. (4)有序数对可以看成 . 于是,二元一次不等式(组)的解集就可 以看成 构成的集合. (5)一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的 . (6)一般地,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 (? 0) 的解集可以表示为相应直线 ,要把直线画成 表示区域不包括边界. 边界,把边界画成 二元一次不等式 Ax ? By ? C ≥ 0 (≤ 0 )的解集表示的平面区域

. (7)对于直线 Ax ? By ? C ? 0 同侧的所有点,把它的坐标( x , y )代人 Ax ? By ? C , 所得的符号 , 因此只需在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧取某个 作为测试 点, 由 符号就可以判定 Ax ? By ? C ? 0 (? 0) 表示的是直线 Ax ? By ? C ? 0 哪 一侧的平面区域. (8)判 定 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 的 常 用 方 法 是 : 看 y 前 面 的 系 数 符 号 与 Ax ? By ? C 的符号,若同号,就在直线上方;若异号,就在直线下方.(即同号在上,异号 在下). (9)二元一次不等式组表示的平面区域是:不等式组中,各个不等式所表示的平面区域的 . 二、新课导学 学习探究一、 二元一次不等式表示的平面区域 一般地,二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 (? 0) 所表示的平面区域为在平面直角坐标系 中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 的某一侧所有的点组成的平面区域. 【注意】确定方法 ① 取特殊点判断; ② “同号在上,异号在下”口诀法判断 ③ 线定界,点定域,边界虚实要牢记 例 1、画出下列不等式表示的平面区域 ① 2 x ? y ? 6 ? 0 ;②

x ? 2 y ? 1 ? 0 ;③

2 x ? 3 y ? 8 ≥ 0 ;④

x ? y ? 3≤ 0

1

例 2、如何确定 m 的范围使点(1, 2)和点(1, 1)在直线 y ? 3x ? m ? 0 的异侧?

【规律总结】 与不等式 Ax ? By ? C ? 0 (? 0) 对应的函数为 f ( x、y) ? Ax ? By ? C , “同 根据 侧同号, 异侧异号” 这个法则, 即在直线 Ax ? By ? C ? 0 外任取两点 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) , 有: ( Ax1 ? By1 ? C )( Ax2 ? By2 ? C ) ? 0 或 ( Ax1 ? By1 ? C )( Ax2 ? By2 ? C ) ? 0 . 【跟踪训练】已知点 A(2, 1) 和 B(0, 在直线 2 x ? ay ? 3 ? 0 的同侧,求 a 的取值范围. 2) ?

学习探究二、 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是不等式组中各个不等式所表示平面区域的公共 部分,画图时只用阴影表示出来即可,同时还要注意边界的虚实. 步骤为:① 画线(注意虚实) ② 定侧; ③ 求“交” ④ 表示. ; ;

例 3、画出不等式组 ?

? x ? y ? 5, 表示的平面区域. ?x ? 2 y ? 3

? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? 【跟踪训练】 (1)画出不等式组 ?2 x ? y ? 5 ? 0, ,所表示的平面区域并求出其面积. ?y ? x ? 2 ?

(2)求由不等式 y ≤ 2 及 | x | ≤ y ≤ | x | ?1 所表示的平面区域的面积的大小.

2

(3)由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界)

? ? 用不等式组表示为 ? . ? ?
.

? x ? y ? 11 ? 0 ? x (4)设不等式组 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域为 D ,若指数函数 y ? a 的图象上存在 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?
区域 D 上的点,求实数 a 的取值范围.

学习探究三、 含绝对值的不等式表示的平面区域 含绝对值的不等式,在画图时,应按照绝对值的意义去掉绝对值符号,或用函数的奇偶 性对称做. 例 4、画出不等式 | x | ? | y | ≤ 2 所表示的平面区域.

【跟踪训练】已知集合 M ? {( x, y) | | x | ? | y | ≤ 1 }, P ? {( x, y) | | x | ≤1 , | y | ≤ 1} ,那 么集合 M与P 的关系是 ( )

A. M ? P
三、当堂检测

B. M ? P ?
?

C. P ? M

D. P ? M ?
?

1、不等式 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 3) ≤ 0 表示的平面区域是
y
3


y
3 3



y
3 3 3

y

?1 O

x

?1
?1 O
3

?1

x

O

x

3 O

x

A

B

C

D

2、不等式 | 3x ? 2 y ? k | ≤ 8 表示的平面区域必包含(0, 0)及(1, 1)两点,则 k 的取

3

值范围是

. .

3、已知点(3, 1)和(-4, 6)在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是

? x ? 0, ? 4、若 A 为不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 ?y ? x ? 2 ?

x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为

.

?| x | ?2 ? 0, ? 5、设不等式组 ? y ? 3 ? 0, 所表示的平面区域为 S,若 A、B 为 S 内的两点,则 | AB | 的最 ?x ? 2 y ? 2 ?
大值是 .

6、在坐标平面上,不等式组 ?

? y ? x ? 1, 所表示的平面区域的面积是 ? y ? ?3 | x | ? 1

.

7、要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截成三种规格小钢 板块数如下表: 种 类 类

A

B

C

块 数 数 规 格 格 第一种钢板 第二种钢板 1 1 2 1 1 3

每块钢板面积第一种 1 平方单位,第二种 2 平方单位,第三种 1 平方单位. 今需要 A、B、 C 三种规格的成品各 12, 15, 27 块,问各截这两种钢板多少张,可得到所需三种规格 的成品,请列出满足条件的数学关系式,并在直角坐标系中,画出相应的平面区域.

8、某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包,生产高档蛋糕 1 千克分别需要面粉 100 克、糖 200 克、鸡蛋 300 克,生产普通面包分别需要面粉 300 克、糖 200 克、鸡蛋 100 克. 现已知 库存量面粉 15 千克,糖 12 千克,鸡蛋 15 千克,若在此基础上进行生产,请列出满足生 产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域.

4


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