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重庆一中高二(上)期半期数学考试卷2013年(理科)


秘密★启用前

重庆一中高二上期半期考试

数 学 试 题 卷(理科)
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号

。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一、选择题: (每题 5 分,共计 50 分) 1、抛物线 y 2 ? A.

1 8

1 x 的焦点到准线的距离为( 2 1 B. C. 4



1 2

D. 1 )

2、l1、l2 是两条异面直线,直线 m1、m2 与 l1、l2 都相交,则 m1、m2 的位置关系是( A.异面或平行 B.异面 C.相交 D.相交或异面 3、 " x ? 1" 是 "

1 ? 1" 成立的( x

) B.必要不充分条件 D.充要条件

A. 不充分不必要条件 C. 充分不必要条件 4、对任意的实数 t ,直线 ty ? x ?

1 2 2 与圆 x ? y ? 1 的位置关系一定是( 2



A.相切 B. 相交且直线不过圆心 C.相交且直线不一定过圆心 D. 相离 5、 (原创)已知高为 2,底面边长为 1 的正四棱柱的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正 四棱的正视图的面积不可能 等于( ) ... A.

2 ?1

B.2

C.

2 ?1

D. 2 2

6、给出以下命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)两条异面直线在同一个平面上的射影不可能平行; (3)两个不重合的平面 ?与? ,若 ? 内有不共线的三个点到 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (4)不重合的两直线 a, b 和平面 ? ,若 a // b , b ? ? ,则 a // ? 。 其中正确命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7、 (原创)三棱锥 D-ABC 中, DA ? 平面 ABC , DA ? 4 , AB ? AC ? 2, AB ? AC ,E 为 BC 中点,F 为 CD 中点,则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为( )

-1-

A.

34 6

B.

2 6

C. ?
2

34 6

D. ?

2 6

8、定长为 6 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y ? ?4 x 上移动,则 AB 的中点到 y 轴的距离的 最小值为( A.6 ) B.5 C.3 D.2
D1

C1 A1
P

9、如图,长方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 中, AB ? 3, BC ? 2,

B1

BB1 ? 4, E 为 AD 的中点,点 P 在线段 C1 E 上,则点 P 到直
D

C
E A B

线 BB 1 的距离的最小值为( B. 10



A.2

C.

3 10 5

D.

2 5 5

x2 y2 10.如图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的四个 a b
顶点为

A1 , A2 ,B1 , B2 ,两焦点为 F1 , F2 ,若以 F1F2
为直径 的 圆 内 切 于 菱 形 A1 B1 A2 B2 , 切 点 分 别 为

A, B, C , D ,
则菱形 A1 B1 A2 B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S 2 的比值

S1 ?( S2 5 ?1 2



A.

B. 2 5 ? 2

C.

5?2 2

D.

5 ?1 2

二、填空题: (每题 5 分,共计 25 分) 11、已知 sin ? ?

4 ? ,则 cos( ? ? ) ? 5 2

12、双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点 F 的距离为 8,则 P 到右准线的距离为 4 12

13、边长为 4 的正四面体 P ? ABC 中, E 为 PA 的中点,则平面 EBC 与平面 ABC 所成锐二 面角的余弦值为

-2-

14、已知正三棱锥 P ? ABC 底面的三个顶点 A、B、C 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上, 如果 VP ? ABC ?

3 ,则球 O 的表面积是 4

15、 (原创)设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若在双曲线的右支 a2 b2

上 存 在 一 点 P 满 足 : ① ?PF1 F2 是 以 PF1 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ; ② 直 线 PF1 与 圆

x2 ? y2 ?

1 2 a 相切,则此双曲线的离心率为 4

三、解答题: (共计 75 分)
? (13 分) (原创) 已知双曲线的左右焦点 F1 ,F2 的坐标为 (-4,0) 与 (4,0) , 离心率 e ? 2 。 (1)求双曲线的方程; ( 2 )已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,点 P 是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点,求 36 20

|PF1|?|PF2|的值。
D

17、 (13 分)如图, DA ? 平面ABC , BC ? AC ,E、F 分别 为 BD 与 CD 的中点,DA=AC=BC=2。 (1)证明: EF // 平面 ABC; (2)证明: EF ? 平面 DAC; (3)求三棱锥 D-AEF 的体积。
B

F E
A

C

18、 (13 分) (原创)已知等差数列 {a n } 满足: a1

? a3 ? 4 , a 2 ? a3 ? 6 ;等比数列 {bn } 满足:

b1b3 b5 ? 64 , b3 ? b4 ? 16 .
(1)求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (2)设 c n ?

1 bn ? x ? 2 an ,若数列 {c n } 是递增数列,求实数 x 的取值范围. 4

19、 (12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 中,H

是 正方形 AA1 B1 B 的中心, AA1 ? 2 ,

CH ? 平面AA1 B1 B ,且 CH ? 3 .
-3-

(1)求 A1C 与平面 ABC 所成角的正弦值; (2) 在线段 A1 B1 上是否存在一点 P , 使得平面 PBC ? 平面ABC ?若存在, 求出 B1 P 的长; 若不存在,说明理由.
20、 (12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,F 是抛物线 C :

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,圆 Q 过 O

点与 F 点,且圆心 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程;

3 . 2

(2)过 F 作倾斜角为 60 0 的直线 L,交曲线 C 于 A,B 两点,求 ?OAB 的面积; (3)已知抛物线上一点 M (4,4) ,过点 M 作抛物线的两条弦 MD和ME ,且 MD ? ME ,判 断:直线 DE 是否过定点?说明理由。

21、(12 分)设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2,垂直于 x 轴的直线 a 与 2

双曲线 C 交于不同的两点 S、T。 (1)求直线 A1S 与直线 A2T 的交点 H 的轨迹 E 的方程; (2) 设 A, B 是曲线 E 上的两个动点, 线段 AB 的中垂线与曲线 E 交于 P, Q 两点, 直线 l : x ? 线段 AB 的中点 M 在直线 l 上,若 F (1,0) , 求 FP ? FQ 的取值范围.

1 , 2

-4-

2013 年重庆一中高 2015 级高二上期半期考试

数 学 答 案(理科)2013.11
一、选择题: BDCBA ABDCC 二、填空题: 11、 ?

4 5

12、4

13、

6 3

14、 4?

15、

1? 7 3

三、解答题: 16、 (1)? c ? 4,2 ? e ?

c a

? a ? 2, 则b 2 ? c 2 ? a 2 ? 12

x2 y2 ? 轨迹方程为: ? ?1 4 12
(2) ?

?| PF1 | ? | PF2 |? 12 ?| PF1 | ? | PF2 |? 4

则 | PF1 |? 8, | PF2 |? 4

?| PF1 | ? | PF2 |? 32
17、 (1)证明:? E , F为中点

? EF // BC
? EF // 平面ABC

D

? EF ? 平面ABC , BC ? 平面ABC
(2)? DA ? 面ABC ? DA ? BC

F E

? BC ? AC
又? EF // BC

? BC ? 平面DAC ? EF ? 平面DAC

A

C

B

(3) VD ? AEF ? VE ? ADF ?

1 1 1 1 ? S ?ADF ? EF ? ? ( ? 2 ?1) ?1 = 3 3 2 3

18、 (1)? a1 ? a3 ? 2a 2 ? 4

? a2 ? 2

又? a 2 a3 ? 6

? a3 ? 3

? d ? 1, 则 an ? n
? 64 ? b1b3 b5 ? b3
3

? b3 ? 4
? q ? 3 ,则 bn ? 4 ? 3 n ?3

?16 ? b3 ? b4 ? b3 (1 ? q )

-5-

(2)由(1)知: c n ? 3 n ?3 ? x ? 2 n

? 数列{c n } 是递增数列

? c n ?1 ? c n 对任意的 n ? N * 恒成立

? 3 n ? 2 ? x ? 2 n ?1 ? 3 n ?3 ? x ? 2 n 恒成立
即: 2 ? 3
n ?3

? x ? 2 恒成立,
n

1 ?3? 也即 x ? ? ? ? 4 ?2?

n ?3

恒成立

?3? ?y?? ? ?2?
?x ? 1 9

n ?3

是增函数

?2 ? 1 ? 3 ? n ?3 ? 1 ?3? 1 4 1 ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 4 9 9 ? ?4 ? 2 ? ? ? min 4 ? 2 ?

19、如图,以点 B1 为坐标在原点建立空间直角坐标系 则 B1 (0,0,0), A1 (2,0,0), A(2,2,0), B (0,2,0), C (1,1,3) (1)? AB ? (?2,0,0), AC ? (?1,?1,3) 设平面 ABC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) 则?

z
C1
C

P

B1
H
A

B y

? ?n ? AB ? 0 ? ?n ? AC ? 0

即?

?? 2 x ? 0 ?? x ? y ? 3 z ? 0

令 z ? 1 得 n ? (0,3,1)

x

A1

设所求角为 ? ,? A1C ? (?1,1,3)

? sin ? ?

A1C ? n | A1C | ? | n |

?

3 110 55

法 2、传统方法(体积法求出 A1 到平面 ABC 的距离) (2)假设存在点 P,则 P (? ,0,0), 且? ? [0,2] 设平面 PBC 的法向量 m ? ( x, y, z ) 则?

? PB ? (?? ,2,0) , BC ? (1,?1,3)

? ?m ? PB ? 0 ? ?m ? BC ? 0

,即 ?

?? ? x ? 2 y ? 0 ? x ? y ? 3z ? 0

令 x ? 1 得 m ? (1,

? ?
,

1 ? ) 2 6 3

1 3 ? 1 ? ? ? ,得 ? ? ? [0,2] 5 2 6 3 1 1 ? 存在这样的点 P ( ,0,0) 使得平面 PBC ? 平面ABC ,且 B1 P ? . 5 5 p p 20、 (1)? F ( ,0) ,?圆心Q在线段OF的垂直平分线x ? 上 2 4
? 平面PBC ? 平面ABC

? m ? n ,即 0 ? m ? n ?

-6-

又? 准线方程为:x ? ?

p 2

?

p p 3 ? (? ) ? ,得 p ? 2 4 2 2
得: y 2 ?

? 抛物线C : y 2 ? 4 x
4 3y ? 4 ? 0 3

2 ? ? y ? 4x (2)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由 ? ? ? y ? 3 ( x ? 1)

? y1 ? y2 ?

4 3 , y1 y2 ? ?4 3

1 16 1 1 4 ? 16 = ? S ? ? ? | OF | ? | y 2 ? y1 | ? ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? ? 3 2 3 2 2 3
(3)设直线 DE : ?

? x ? my ? t ? y ? 4x
2

? y 2 ? 4my ? 4t ? 0 , 则 ? ? 16m 2 ? 16t ? 0

(*)

设 D ( x1 , y1 ), E ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 4m, y1 y 2 ? ?4t

? 0 ? MD ? ME ? ( x1 ? 4, y1 ? 4) ? ( x 2 ? 4, y 2 ? 4)

? x1 x 2 ? 4( x1 ? x 2 ) ? 16 ? y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16
y y y y ? 1 ? 2 ? 4( 1 ? 2 ) ? 16 ? y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 4 4 4 4
2 2 2 2

?

( y1 y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 3 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 32 16

? t 2 ? 16m 2 ? 12t ? 32 ? 16m
即 t 2 ? 12t ? 32 ? 16m 2 ? 16m 得: (t ? 6) ? 4(2m ? 1)
2 2

? t ? 6 ? ?2(2m ? 1)

即: t ? 4m ? 8 或 t ? ?4m ? 4

带入(*)式检验均满足 ? ? 0

? 直线 DE 的方程为: x ? my ? 4m ? 8 ? m( y ? 4) ? 8

或: x ? m( y ? 4) ? 4

? 直线过定点(8,-4).(定点(4,4)不满足题意,故舍去)
21、(1)设直线 A1S 与直线 A2T 的交点 H 的坐标为(x,y) , S ( x0 , y0 ) , T ( x0 ,? y0 ) 由 A1、H、S 三点共线,得: ( x 0 ?

2 ) y ? y0 ( x ? 2 )

……③ ……④

由 A2、H、T 三点共线,得 : ( x 0 ? 2 ) y ? ? y 0 ( x ? 2 ) 联立③、④,解得 x 0 ?

2 , y0 ? x

2y . x

-7-

2 ( )2 ∵ S ( x0 , y0 ) 在双曲线上,∴ x ? ( 2 y ) 2 ? 1. 2 x

∴轨迹 E 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0, y ? 0). 2
1 ,m) (m≠0), 2

(2) 由(1)知直线 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的斜率为 k,M( A(x1,y1),B(x2,y2).

? x12 ? y12 ? 1, ? ? 2 由 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? ? 2

得(x1+x2)+2(y1+y2) ?

y1 ? y2 =0, x1 ? x2

则 1+4mk=0,得: k=–

1 . 4m

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? 4m ,PQ 的直线方程为: y ? m ? 4m( x ? ) . 即: y ? 4mx ? m .

1 2

? y ? 4mx ? m ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 消去 y,整理得 (32m ? 1) x ? 16m x ? 2m ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2
又设 P( x3 , y3 ), Q ( x4 , y4 ) ,则: x3 ? x4 ?

16m 2 2m 2 ? 2 , . x x ? 3 4 32m 2 ? 1 32m 2 ? 1

? FP ? FQ ? ( x3 ? 1)( x4 ? 1) ? y3 y4

? x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? 1 ? (4mx3 ? m)(4mx4 ? m)
? (1 ? 16m 2 ) x3 x4 ? (4m 2 ? 1)( x3 ? x4 ) ? m 2 ? 1

? (1 ? 16m 2 ) ? 13m 2 ? 1 32m 2 ? 1

2m 2 ? 2 16m 2 2 ? ( 4 m ? 1 ) ? m2 ? 1 2 2 32m ? 1 32m ? 1

?

令 t=1+32m2,

1 ? 点 M ( , m) 在椭圆内 2
又? m ? 0 ? 0 ? m 2 ?

1 ( )2 ? 2 ? m2 ? 1, 2
7 8

-8-

? 1<t<29,则 FP ? FQ ? ?

13 19 99 ? ? (?1,? ). 32 32t 232 99 所以, FP ? FQ 的取值范围为 (?1,? ) 232

-9-


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