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2015高考理科数学《平面向量基本定理及坐标表示》练习题


2015 高考理科数学《平面向量基本定理及坐标表示》练习题
[A 组 一、选择题 1.(2014 年福州质检)已知向量 a=(m2,4),b=(1,1),则“m=-2”是“a∥b”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) 基础演练?能力提升]

解析:依题意,当 m=-2 时,a=(4,4),b=(

1,1),所以 a=4b,a∥b,即由 m=-2 可以推出

a∥b;当 a∥b 时,m2=4,得 m=±2,所以不能推得 m=-2,即“m=-2”是“a∥b”的充分而不
必要条件. 答案:A → → → 2.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 边的中点,且AB=a,AD=b,则BE=( )

1 A.b- a 2

1 B.b+ a 2

1 C.a+ b 2

1 D.a- b 2

→ → → → 1 1 解析:BE=BA+AD+DE=-a+b+ a=b- a. 2 2 答案:A 3.(2014 年大同模拟)已知向量 a=(1,2),b=(-2,m),若 a∥b,则|2a+3b|=( A. 70 C.3 5 B.4 5 D.2 5 )

m -2 解析:依题意得, = ,故 m=-4,2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故|2a+3b| 2 1
= -
2





2

=4 5,选 B.

答案:B 4.在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,设向量 p=(b-c,a-c),q=(c+a,

b),若 p∥q,则角 A 的大小是(
A.30° C.60°

) B.45° D.90°
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b2+c2-a2 解析:∵p∥q,∴b?(b-c)=(a-c)?(a+c),整理得 b +c -a =bc,故 cos A= = 2bc
2 2 2

1 ,故 A=60°. 2 答案:C 5.(2014 年北京东城区综合练习)已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线, 则 =( A.-2 C.- 1 2

m n

) B.2 D. 1 2

解析:由向量 a=(2,3),b=(-1,2)得 ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),因为 ma

m 1 +nb 与 a-2b 共线,所以(2m-n)?(-1)-(3m+2n)?4=0,整理得 =- . n 2
答案:C 6.(2014 年郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的 任一向量 c 都可以唯一的表示成 c=λ a+μ b(λ ,μ 为实数),则 m 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,+∞) B .(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 3m-2 ,解得 m≠2. 2 )

解析:由题意知向量 a,b 不共线,故 m≠ 答案:D 二、填空题

7.(2014 年衡阳六校联考)已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c, 则 m=________. 解析:由题意知 a+b=(1,m-1),c=( -1,2),由(a+b)∥c,得 1?2-(m-1)?(-1)=m+ 1=0,所以 m=-1. 答案:-1 → → → → → 8.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC =________. → → → 解析:AQ=PQ-PA=(-3,2),
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→ → ∴AC=2AQ=(-6,4). →

PC=PA+AC=(-2,7),
→ → ∴BC=3PC=(-6,21). 答案:(-6,21) → → → → 9.已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|=|OA-OB|,其中 O 为坐标原 点,则实数 a 的值为________. → → → → 解析:如图所示,以 OA、OB 为边作平行四边形 OACB,则由|OA+OB|=|OA-OB|得,平行四边形

→ →

OACB 是矩形,OA⊥OB.由图象得,直线 y=-x+a 在 y 轴上的截距为±2.





答案:±2 三、解答题 → → → → → 10.已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b. (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标. 解析:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3?(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ?-6m+n=5, ∴? ?-3m+8n=-5, ?m=-1, 解得? ?n=-1.

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=( 0,20).
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→ → → ∴M( 0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18). 11.已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)求|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 解析:(1)因为 a=(1,0),b=(2,1), 所以 a+3b=(7,3),∴|a+3b|= 72+32= 58.

(2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平 行,所以 3(k-2)+7=0, 1 即 k=- . 3 ? 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=?- ,-1?,a+3b=(7,3), ? 3 ? 则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. → 2→ 1→ 12.(能力提升)在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且CP= CA+ CB,Q 是 BC 的中点,AQ 与 CP 的 3 3 → → 交点为 M,又CM=tCP,试求 t 的值. → 2→ 1→ 解析:∵CP= CA+ CB, 3 3

→ → → ∴3CP=2CA+CB, → → → → 即 2CP-2CA=CB-CP, → → ∴2AP=PB, 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A),如图所示. ∵A,M,Q 三点共线,
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→ → → x→ → ∴设CM=xCQ+(1-x)CA= CB+(x-1)AC, 2 → → → → x→ ?x ?→ 而CB=AB-AC,∴CM= AB+? -1?AC. 2 ?2 ? → → → 1→ → 又CP=AP-AC= AB-AC, 3 → → x→ ?x ?→ 由已知CM=tCP可得, AB+? -1?AC 2 ?2 ? ?1→ →? = t? AB-AC?, ?3 ?

x t ? ?2=3 ∴? x ? ?2-1=-t

3 ,解得 t= . 4

[B 组

因材施教?备选练习]

→ → → 1.(2014 年沈阳模拟)设 O 在△ABC 的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC 的面积和△A OC 的 面积之比为( A.3 5 B. 3 ) C.2 D. 3 2

→ → → → → → 解析:设 AC、BC 的中点分别为 M,N,则已知条件可化为(OA+OC)+2(OB+OC)=0,即OM+2ON= → → 2 2 1 1 0,所以OM=-2ON,说明 M、O、N 共线,即 O 为中位线 MN 上的三等分点,S△AOC= S△ANC= ? S△ABC= 3 3 2 3

S△ABC,所以

S△ABC =3. S△AOC

答案:A 2.(2 014 年福州质检)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD= 3,P 为矩形内一点,且 AP= → → λ AB+μ AD(λ ,μ ∈R),则 λ + 3μ 的最大值为( A. 3 2 B. 6 2 C. 3+ 3 4 D. 6+3 2 4 ) → 3 ,若AP= 2

→ → → → → → → → ? 3? 解析:因为 AP = λ AB + μ AD ,所以 | AP |2 = |λ AB + μ AD |2 ,所以 ? ? 2 = λ 2| AB |2 + μ 2| AD |2 + ?2?
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→ → 3 3 2λ μ AB?AD, 因为 AB=1, AD= 3, AB⊥AD, 所以 =λ 2+3μ 2.又 =λ 2+3μ 2≥2 3 λ μ , 所以(λ 4 4 3 3 3 3 6 6 2 + 3μ )2= +2 3λ μ ≤ + = ,所以 λ + 3 μ 的最大值为 ,当且仅当 λ = ,μ = 时 4 4 4 2 2 4 4 取等号. 答案:B 3.对向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2)定义一种运算“?”:a?b=(a1,a2)?(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已 → → 知动点 P,Q 分别在曲线 y=sin x 和 y=f(x)上运动,且OQ=m?OP+n(其中 O 为坐标原点),若向量 m ?1 ? =? ,3?,n= ?2 ? A. 1 2 ?π ? ? ,0?,则 y=f(x)的最大值为( ?6 ? B.2 D. 3 )

C.3

→ ?1 ? ?1 ? ?x1 ? 解析:设 P=(x1,y1),Q=(x,y),∵m=? ,3?,∴m?OP=? ,3??(x1,y1)=? ,3y1?, ?2 ? ?2 ? ?2 ? → → x1 π ?π ? ?x1 ? ?π ? ∵OQ=m?OP+n,n =? ,0?,∴(x,y)=? ,3y1?+? ,0?,∴x= + ,y=3y1,∴x1=2x 2 6 ?6 ? ?2 ? ?6 ? - π y ,y1= , 3 3 π? π? π? y ? ? ? 又 y1=sin x1,∴ =sin?2x- ?,∴y=3sin?2x- ?,显然当 sin?2x- ?=1 时,y=f(x)取 3? 3? 3? 3 ? ? ? 得最大值 3. 答案:C

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