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2016重庆高职单招数学试题知识点:导数的实际应用


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2016 重庆高职单招数学试题知识点:导数的实际应用

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1: 已知函数 A、0 B、1 C、2 ,则 ( )

D、

2:已知点 A、 B、 C、 D、

是曲线

上的一个动点,则点<

br />
到直线

的距离的

最小值为( )

3: 设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数。当 x<0 时,f′(x)g(x) +f(x)g′(x)> 0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 ( )

A、(-3,0)∪(3,+∞)

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B、(-3,0)∪(0,3) C、(-∞,-3)∪(3,+∞) D、(-∞,-3)∪(0,3)

4: 某工厂要围建一个面积为 512 m 的矩形堆料场,一边可以用原有的墙壁,其他三边 需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为 A、32 m,16 m B、30 m,15 m C、40 m,20 m D、36 m,18 m ( )
2

5:函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x -4x+4 的图像的交点个数为( A、0 B、1 C、2 D、3

2

)

6:设 是 。

,若函数

有小于零的极值点,则实数

的取值范围

7: 的极大值是 ,极小值是 。

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8:

电动自行车的耗电量

与速度 之间有如下关系: 。

,为使耗

电量最小,则速度应定为

9:设函数 是常数,则 M 的最小值是

,对任意 .

,恒有

,其中 M

10:已知函数 的值是

的图象在 .

处的切线方程为

,则

11:若函数 (Ⅰ)当 (Ⅱ)函数 时,求函数 是否存在极值.

, 的单调增区间;

12:(12 分)已知 (I)求



的反函数为

。 ,不等式

的单调区间;(II)若对任意 恒成立,求实数 的取值范围。

13:已知函数 上是减函数。 求 当 的值; 时,若

在(1,2)上是增函数,

在(0,1)



内恒成立,求实数

的取值范围;

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求证:方程 在 内有唯一解.

14:已知实数 (Ⅰ)若函数 (Ⅱ)若对

,函数 有极大值 32,求实数 ,不等式 的值;



恒成立,求实数

的取值范围。

15:已知函数 (1)当 (2)若线段 点在线段 时,求 : 在闭区间

, 与导函数

. 的图像只有一个交点,且交

上的最大值与最小值;

的内部,试求 的取值范围。

答案部分

1、C

,

.故选 C、

2、B 本题考查函数的导数与曲线的切线. 此处 由 . 得 ;直线 的斜率为 ;令 到直线 得 ,过点 或 的距离 且与直线 (舍). 即为最短距

平行的切线的斜率为令 当 离. 时, ,即切点为 ,点

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.故正确答案为 B

3、D 试题分析:解:令 h(x)=f(x)g(x),则 h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x) =-h(x),因此函数 h(x)在 R 上是奇函数。 ①∵当 x<0 时,h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,∴h(x)在 x<0 时单调 递增,故函数 h(x)在 R 上单调递增。 ∵h(-3)=f(-3)g(-3)=0,∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(-3),∴x<-3。 ②当 x>0 时,函数 h(x)在 R 上是奇函数,可知:h(x)在(0,+∞)上单调递增, 且 h(3)=-h(-3)=0,∴h(x)<0,的解集为(0,3)。∴不等式 f(x)g(x) <0 的解集是(-∞,-3)∪(0,3)。故答案为(-∞,-3)∪(0,3)。故选 D、

4、A

要求材料最省,则要求新砌的墙壁总长最短,设场地宽为 墙总长为 ,则当 ,则 ,令 得 。

,则长为 ,又

,因此新 ,所以

时,用料最省,所以长为

5、C 方法一,作出函数 f(x)=ln x,g(x)=x -4x+4 的图像如图所示,则两个函数图像的 交点个数为 2,故选 C. 方法二,构造函数 φ(x)=ln x-x +4x-4,则 φ′(x)=
2 2

-2x+4=-

.

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又因为方程 2x -4x-1=0 的大于零的根的是 x 0=
2

,且在(0,x 0)

上 φ′(x)>0,在(x 0,+∞)上 φ′(x)<0,所以函数 φ(x)至多有两个零点。由于 φ(1)= -1<0,φ(2)=ln 2>0,φ(4)=ln 4-4<0,则函数 φ(x)有两个不同的零点。故函数 f(x)=ln x 的图像与函数 g(x)=x -4x+4 的图像的交点个数为 2.
2

6、 试题分析:∵ 由题意知 有小于 0 的实根,令 则两曲线交点在第二象

限, 结合图象易得 故实数 a 的取值范围是 .

考点:1.导数的应用;2.函数与方程;3.转化与化归思想.

7、2 -2

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在 为极大值。 和 上递减,在 上递增, 为极小值,

8、40 由 时, ,得 ,所以当 (舍去)或 。由于 时, ;

时, 取最小值。

9、

试题分析:根据导数的定义,对已知函数求导得, 所以 的最小值是 1. 考点:导数的定义及其应用



10、 -1

试题分析:函数 考点:导数的几何意义.

的图象在 ,因此

处的切线方程为 .





11、 (1)函数 (2)当

的单调增区间为 存在极值;当 时,函数 不存在极值

时,函数

试题分析:解:(1)由题意,函数

的定义域为

2分

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当 令 又因为 (2) 解法一:令 的正负, 当 即 当 值.…12 分 综上所述:当 值.…14 分 解法二:令 当 当 即 即 即 时, 时,解 , ,记 在(0,+∞)单调递增,无极值 得: 或 9分 时,函数 存在极值;当 时,函数 不存在极 即 即 时,在(0,+∞)上 无极值 时, , 10 分 存在极 在(0,+∞)单调递增, ,因为 时, ,即 ,所以,函数 , ,得 或 5分 6分 3分

的单调增区间为 7分 对称轴

,所以只需考虑

在(0,+∞)有解,所以函数





,列表如下:

(0, -— ↘
由上表知: 分 时函数

) 0 极小值
取到极小值,即 函数

( + ↗

,+∞)

存在极小值。 11

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若 分 综上所述,当 值 14 分 考点:导数的运用 点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,判定函数单调性以及函数极值,属于 基础题。 时,函数 存在极值,当 时。函数 不存在极 ,则 , 在(0,+∞)单调递减,不存在极值。 13

12、 (Ⅰ)(-1,0)、(0, (I)由

) (Ⅱ)



时,



时, )



的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0, (II)设 则 当 当 时, 时, 在 在 上是减函数; 上是增函数。

13、 (Ⅰ) (Ⅱ)

, 。(Ⅲ)方程 =0 在 内有唯一解。

试题分析:(Ⅰ)

对任

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意的 恒成立,因此 。同理,由 即 。所以 , 。 (Ⅱ) 令 ∵ 大值为 。 ∴ (Ⅲ)由 设 令 令 , ∴方程 ,由 得 =0 在 得 ,则 有最小值 0,且当 内有唯一解。 时, , ,得 得 ,则 , ,解得 , ,故 。 , ,则 ,∴ ,∴ , . 在 上为增函数,其最 时, 为减函数,最小值为 1. 对任意 恒成立,因此

考点:利用导数研究函数的单调性及极值、最值,方程的解。 点评:典型题,在给定区间,导数非负,函数为增函数,导数非正,函数为减函数。 涉及“不等式恒成立”“方程的解”等问题,往往通过构造函数,转化成求函数的最值问题, 利用导数加以解决。

14、 (1)

(2 )

试题分析:解:(Ⅰ)

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2分 令 ∴ 或 得 4分 有极大值 32,又 在 时取得极大值 5分 6分 (Ⅱ)由 当 此时, 又对 ∴ ∴ 当 又 此时, 又对 ∴ ∴ 故所求实数的取值范围是 考点:导数的运用 ,不等式 得 13 分 14 分 时,函数 , 得 9分 在 , 11 分 恒成立 上是减函数,在 上是增函数 ,不等式 时,函数 在 知: 上是增函数,在 7分 恒成立 上是减函数

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点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,通过导数的符号以及极值来得到最值, 求解参数的范围,属于中档题。

15、 解:(1)当 求导得 令 ,解得:

时, . ……(2 分) 或

. ……(1 分) 。……(3 分) ……(6 分)

列表如下:

-1

(-1, 0) - ↘

0 0 0

(0, 1) + ↗

1

所以, (2) 联立方程组 得 设 相当于 解得 略

在闭区间

上的最大值是 ,最小值是 0。……(7 分) . ……(8 分) ……(9 分) ……(10 分) ,则方程 在区间 内只有一根,

,即 或 . ……(14 分)

……(12 分)


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