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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:15圆锥曲线


第一部分



15

一、选择题 y2 1.(2015· 四川文,7)过双曲线 x2- =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的 3 两条渐近线于 A,B 两点,则|AB|=( 4 3 A. 3 C.6 [答案] D [解析] 由题意,a=1,b= 3,故 c=2, 渐近线方程为 y=± 3x, 将 x=2

代入渐近线方程,得 y1,2=± 2 3,故|AB|=4 3,选 D. x2 y2 2.设 P 是椭圆 + =1 上一点,M、N 分别是两圆:(x+2)2+y2=1 和(x-2)2+y2=1 9 5 上的点,则|PM|+|PN|的最小值,最大值分别为( A.4,8 C.6,8 [答案] A [解析] 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点,由椭圆定义知 |PA|+|PB|=2a=6,连接 PA,PB,分别与两圆相交于 M、N 两点,此时|PM|+|PN|最小,最 小值为|PA|+|PB|-2R=4; 连接 PA, PB 并延长, 分别与两圆相交于 M′、 N′两点, 此时|PM′| +|PN′|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=8,即最小值和最大值分别为 4、8. ) ) B .2 3 D.4 3

B.2,6 D.8,12

[方法点拨] 涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题,及到抛物线焦点(或 准线)距离的问题,可优先考虑圆锥曲线的定义. 3.(文)(2015· 唐山一模)已知抛物线的焦点 F(a,0)(a<0),则抛物线的标准方程是( A.y =2ax C.y =-2ax [答案] B
2 2

)

B.y =4ax D.y2=-4ax

2

m [解析] 设抛物线方程为 y2=mx,由焦点为 F(a,0),a<0 知 m<0,∴ =a,∴m=4a, 4 故选 B. (理)(2015· 河北衡水中学一模)已知抛物线 C 的顶点是原点 O, 焦点 F 在 x 轴的正半轴上, → → 经过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、 B 两点, 如果OA· OB=-12, , 那么抛物线 C 的方程为( A.x2=8y C.y2=8x [答案] C p [解析] 由题意,设抛物线方程为 y2=2px(p>0),直线方程为 x=my+ ,代入抛物线方 2 p?? p? → → 程得 y2-2pmy-p2=0,设 A(x1,y1)、B(x2,y2),得OA· OB=x1x2+y1y2=? ?my1+2??my2+2?+ pm p2 3 y1y2=m2y1y2+ (y1+y2)+ +y1y2=- p2=-12?p=4,即抛物线 C 的方程为 y2=8x. 2 4 4 [方法点拨] 求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线,焦点 在哪个轴上,然后利用条件求 a、b、p 的值. 4.(文)(2015· 南昌市一模)以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线 C 的一 π 条渐近线的倾斜角为 ,则双曲线 C 的离心率为( 3 A.2 或 3 2 3 C. 3 [答案] B x2 y2 [解析] (1)当双曲线的焦点在 x 轴上时,由题意知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐 a b b b π 近线方程为 y=± x,所以 =tan = 3,所以 b= 3a,c= a2+b2=2a,故双曲线 C 的离 a a 3 c 2a 心率 e= = =2; a a y2 x2 (2)当双曲线的焦点在 y 轴上时,由题意知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程 a b a a π c 为 y=± x, 所以 =tan = 3, 所以 a= 3b, c= a2+b2=2b, 故双曲线 C 的离心率 e= = b b 3 a 2b 2 3 = . 3 3b 2 3 综上所述,双曲线 C 的离心率为 2 或 . 3 x2 y2 (理)(2015· 东北三省三校二模)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别为 F1、 F2, a b ) B.x2=4y D.y2=4x )

2 3 B .2 或 3 D.2

x y 以 F1F2 为直径的圆被直线 + =1 截得的弦长为 6a,则双曲线的离心率为( a b A.3 C. 3 [答案] D [解析] +d2=r2 即? B .2 D. 2

)

x y ab 6 由已知得:O(0,0)到直线 + =1 的距离为:d= 2 2,由题意得:? a?2 a b ?2 ? a +b 6 ?2 ? ab ?2 2 + ? =c ? 2 a? ? ? a2+b2?

5 5 1 整理得:c4- a2c2+a4=0,即 e4- e2+1=0,解得:e2=2 或 e2= (舍),∴e= 2. 2 2 2 [方法点拨] 1.求椭圆、双曲线的离心率问题,关键是根据已知条件确定 a、b、c 的关 c 系,然后将 b 用 a、c 代换,求 e= 的值;另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系. a 2.注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用. y2 5.(文)设 F1、F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与椭圆 b 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为( 2 A. 3 4 C. 3 [答案] C [解析] 由条件知,|AF2|+|BF2|=2|AB|, |AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2, 4 ∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4,∴|AB|= . 3 (理)(2014· 河北名师名校俱乐部模拟)设抛物线 x2=8y 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物 线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的倾斜角等于 60° ,那么|PF|等于( A.2 3 8 C. 3 [答案] C [解析] 在△APF 中,|PA|=|PF|,|AF|sin60° =4,∴|AF|= 1 |AF| 2 |BF| 8 过 P 作 PB⊥AF 于 B,则|PF|= = = . cos30° cos30° 3 [方法点拨] 圆锥曲线的性质常与等差、等比数列、三角函数、不等式等问题联系在一 8 3 ,又∠PAF=∠PFA=30° , 3 B .4 3 D.4 ) B .1 5 D. 3 )

起,一般先利用条件转化为单一知识点的问题求解. 6.(文)从抛物线 y2=8x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物 线的焦点为 F,则△PFM 的面积为( A.5 6 C.10 2 [答案] A [解析] 抛物线的焦点 F(2,0),准线方程为 x=-2.设 P(m,n),则|PM|=m+2=5,解 1 1 得 m=3.代入抛物线方程得 n2=24,故|n|=2 6,则 S△PFM= |PM|· |n|= ×5×2 6=5 6. 2 2 x2 y2 x2 y2 (理)若双曲线 - =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1(m>n>0)有共同的焦点 F1、F2,P 是 a b m n 两条曲线的一个交点,则|PF1|· |PF2| ( A.m2-a2 1 C. (m-a) 2 [答案] D [解析] 不妨设 F1、F2 分别为左、右焦点,P 在双曲线的右支上,由题意得|PF1|+|PF2| =2 m,|PF1|-|PF2|=2 a,∴|PF1|= m+ a,|PF2|= m- a,故|PF1|· |PF2|=m-a. x2 y2 7.(文)(2015· 湖南文,6)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线 a b 的离心率为( A. 7 3 ) 5 B. 4 5 D. 3 ) B. m- a D. m-a ) B .6 5 D.5 2

4 C. 3 [答案] D [解析] 考查双曲线的几何性质.

由题设利用双曲线的渐近线方程经过的点(3,-4),得到 a、b 关系式,然后求出双曲 x2 y2 线的离心率即可.因为双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3,-4),∴3b=4a,∴9(c2- a b c 5 a2)=16a2,∴e= = ,故选 D. a 3 x2 y2 (理)(2015· 重庆文,9)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点是 F,左、右顶点分别是 a b A1,A2,过 F 作 A1A2 的垂线与双曲线交于 B,C 两点.若 A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线 的斜率为( 1 A.± 2 ) B .± 2 2

C.± 1 [答案] C [解析] 考查双曲线的几何性质.

D .± 2

b2 b2 由已知得右焦点 F(c,0)(其中 c2=a2+b2, c>0), A1(-a,0), A2(a,0); B(c, - ), C(c, ); a a b2 b2 → 从而 A1B― →=(c+a,- ),A2C=(c-a, ),又因为 A1B⊥A2C,所以 A1B― →· A2C― →= a a b2 b2 b2 b 0, 即(c-a)· (c+a)+(- )· ( )=0; 化简得到 2=1? =± 1, 即双曲线的渐近线的斜率为± 1; a a a a 故选 C. x2 8.(2015· 新课标Ⅰ理,5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 2 → → 的两个焦点.若MF1· MF2<0,则 y0 的取值范围是( A.?- ) 3 3? , 6 6?

?

3 3? , 3 3?

B.?-

?

2 2 2 2? C.?- ? 3 , 3 ? [答案] A

2 3 2 3? D.?- ? 3 , 3 ?

[解析] 考查向量数量积;双曲线的标准方程. x2 0 2 由题知 F1(- 3, 0), F2( 3, 0), -y0 =1, 所以 MF1― →· MF2― →=(- 3-x0, -y0)· ( 3 2
2 2 -x0,-y0)=x2 0+y0-3=3y0-1<0,解得-

3 3 <y0< ,故选 A. 3 3

二、填空题 9. (文)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A、 B 两点, 若该抛物线上存在点 C, 使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. [答案] a≥1 → [解析] 显然 a>0,不妨设 A( a,a),B(- a,a),C(x0,x2 0),则CB=(- a-x0,a- x2 0), → CA=( a-x0,a-x2 . 0),∵∠ACB=90° → → ∴CA· CB=( a-x0,a-x2 (- a-x0,a-x2 0)· 0)=0.
2 2 2 ∴x0 -a+(a-x0 ) =0,且 x2 0-a≠0. 2 2 ∴(a-x2 0)(a-x0-1)=0,∴a-x0-1=0. 2 ∴x0 =a-1,又 x2 0≥0.∴a≥1.

(理)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a、b(a<b),原点 O 为 AD 的中

b 点,抛物线 y2=2px(p>0)经过 C、F 两点,则 =________. a

[答案]

2+1

a a [解析] 由题可得 C( ,-a),F( +b,b), 2 2 a =pa, ? ? 2 ∵C、F 在抛物线 y =2px 上,∴? 2 a b =2p? +b?, ? 2 ? a ∴ = 2+1,故填 2+1. b x2 y2 10.(文)(2015· 湖南理,13)设 F 是双曲线 C: 2- 2=1 的一个焦点.若 C 上存在点 P, a b 使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________. [答案] 5
2

[解析] 考查双曲线的标准方程及其性质. c2 根据对称性,不妨设 F(c,0),短轴端点为(0,b),从而可知点(-c,2b)在双曲线上,∴ 2 a 4b2 c - 2 =1?e= = 5. b a x2 y2 (理)(2015· 南昌市二模)过原点的直线 l 与双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左右两支分 a b → → 别相交于 A,B 两点,F(- 3,0)是双曲线 C 的左焦点,若|FA|+|FB|=4,FA· FB=0,则双 曲线 C 的方程是________. [答案] x2 2 -y =1 2

[解析] 由已知得:c= 3,FA⊥FB,设右焦点为 F1,则四边形 FAF1B 为矩形,∴|AB| =2c=2 3且|FA|2+|FB|2=(|FA|+|FB|)2-2|FA|· |FB|=16-2|FA|· |FB|, |AB|2=|FA|2+|FB|2, ∴|FA|· |FB|=2,∴(|FA|-|FB|)2=(|FA|+|FB|)2-4|FA|· |FB|=8,∴||FA|-|FB||=2 2, 即||AF|-|AF1||=2 2,∴a= 2,

x2 ∴b2=1,∴双曲线标准方程为 -y2=1. 2 三、解答题 y2 x2 11. (文)(2015· 湖南文, 20)已知抛物线 C1: x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2:2+ 2=1(a>b>0) a b 的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,且AC与BD同向. (1)求 C2 的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. [分析] 考查直线与圆锥曲线的位置关系;椭圆的性质和转化思想,设而不求、整体代 换思想及运算求解能力等. (1)由 F 也是椭圆 C2 的一个焦点及 C1 与 C2 的公共弦长列方程组求解; (2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),根据AC=BD,可得,(x3+x4)2-4x3x4 =(x1+x2)2-4x1x2, 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1,联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方 程、利用韦达定理进行计算即可得到结果. [解析] (1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1),因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点, 所以 a2-b2=1 ①;









又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为:x2=4y,由 3 此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为(± 6, ), 2 ∴ 9 6 + =1②, 4a2 b2

联立①②得 a2=9,b2=8,故 C2 的方程为 y2 x2 + =1. 9 8 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2), C(x3,y3),D(x4,y4),

→ → 因AC与BD同向,且|AC|=|BD|, → → 所以AC=BD,从而 x3-x1=x4-x2,即 x3-x4=x1-x2,于是 (x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2 ③
?y=kx+1, ? 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1,由? 2 得 x2-4kx-4=0, ?x =4y ?

由 x1,x2 是这个方程的两根, ∴x1+x2=4k,x1x2=-4 ④ y=kx+1, ? ?2 2 由?x y ? ? 8 + 9 =1, 得(9+8k2)x2+16kx-64=0, 而 x3,x4 是这个方程的两根, 16k 64 x3+x4=- ,x x =- 9+8k2 3 4 9+8k2 ⑤

4×64 162k2 将④、⑤代入③,得 16(k2+1)= . 2 2+ ?9+8k ? 9+8k2 162×9?k2+1? 即 16(k2+1)= , ?9+8k2?2 6 所以(9+8k2)2=16×9,解得 k=± , 4 6 即直线 l 的斜率为± . 4 x2 y2 1 (理)(2015· 洛阳市期末)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,一个焦点与抛物线 a b 2 y2=4x 的焦点重合,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; b2 (2)设 O 为坐标原点,kOA· kOB=- 2,判断△AOB 的面积是否为定值?若是,求出定值, a 若不是,说明理由. c 1 [解析] (1)由题意得 c=1,又 e= = , a 2 所以 a=2,从而 b2=a2-c2=3, x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3 (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),

x y ? ? 4 + 3 =1, 由? 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0, ? ?y=kx+m. 由 Δ=(8mk)2-16(3+4k2)(m2-3)>0 得 m2<3+4k2. 4?m2-3? 8mk ∵x1+x2=- x2= , 2,x1· 3+4k 3+4k2 3?m2-4k2? ∴y1· y2=(kx1+m)· (kx2+m)=k x1x2+mk(x1+x2)+m = . 3+4k2
2 2

2

2

b2 3 3 由 kOA· kOB=- 2=- 得 y1y2=- x1x2, a 4 4 即
2 3?m2-4k2? 3 4?m -3? =- · ,化简得 2m2-4k2=3,满足 Δ>0. 4 3+4k2 3+4k2

由弦长公式得|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· 48?4k2-m2+3? = ?3+4k2?2 24?1+k2? . 3+4k2 |m| , 1+k2

又点 O 到直线 l:y=kx+m 的距离 d= 1 1 所以 S△AOB= · d· |AB|= 2 2 = = 1 2 24m2 = 3+4k2 3· 2m2 3+4k2

24?1+k2? |m| · 3+4k2 1+k2

3· ?3+4k2? = 3, 3+4k2

故△AOB 的面积为定值 3. 12.(文)(2014· 东北三校二模)已知圆 M:x2+(y-2)2=1,直线 l:y=-1,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相切.设动圆圆心 P 的轨迹为 E. (1)求 E 的方程; → → (2)若点 A,B 是 E 上的两个动点,O 为坐标原点,且OA· OB=-16,求证:直线 AB 恒 过定点. [解析] (1)⊙O 的圆心 M(0,2),半径 r=1,设动圆圆心 P(x,y),由条件知|PM|-1 等于 P 到 l 的距离, ∴|PM|等于 P 到直线 y=-2 的距离,∴P 点轨迹是以 M(0,2)为焦点,y=-2 为准线的 抛物线. 方程为 x2=8y. (2)设直线 AB:y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2) 将直线 AB 的方程代入到 x2=8y 中得 x2-8kx-8b=0,所以 x1+x2=8k,x1x2=-8b,

x1x2 → → 又因为OA· OB=x1x2+y1y2=x1x2+ =-8b+b2=-16?b=4 64 所以直线 BC 恒过定点(0,4). (理)(2014· 山东理,21)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任 意一点,过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (1)求 C 的方程; (2)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E, (ⅰ)证明:直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. p [解析] (1)由题意知 F( ,0), 2 p+2t 设 D(t,0)(t>0),则 FD 的中点为( ,0). 4 因为|FA|=|FD|, p p 由抛物线的定义知 3+ =|t- |, 2 2 解得 t=3+p 或 t=-3(舍去), 由 p+2t =3,解得 p=2. 4

2 2

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)(ⅰ)由(1)知 F(1,0). 设 A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因为|FA|=|FD|,得|xD-1|=x0+1, 由 xD>0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0). y0 故直线 AB 的斜率 kAB=- . 2 因为直线 l1 和直线 AB 平行, y0 设直线 l1 的方程为 y=- x+b, 2 8 8b 代入抛物线方程得 y2+ y- =0, y0 y0 64 32b 由题意 Δ= 2 + =0, y 0 y0 2 得 b=- , y0 4 4 设 E(xE,yE),则 yE=- ,xE= 2. y0 y0

4 +y0 y y - y 4y0 0 E 0 2 当 y0≠4 时,kAE= =- , 2= 2 4 y0 xE-x0 y0-4 2- y0 4 可得直线 AE 的方程为 y-y0= 由 y2 0=4x0, 4y0 整理可得 y= 2 (x-1), y0-4 故直线 AE 恒过点 F(1,0). 当 y2 0=4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0). 所以直线 AE 过定点 F(1,0). (ⅱ)由(ⅰ)知直线 AE 过焦点 F(1,0), 1 1 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+( +1)=x0+ +2. x0 x0 设直线 AE 的方程为 x=my+1, 因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上, x0-1 故 m= . y0 设 B(x1,y1). y0 直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0), 2 由于 y0≠0, 2 可得 x=- y+2+x0, y0 8 代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0. y0 8 所以 y0+y1=- , y0 8 4 可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4. y0 x0 所以点 B 到直线 AE 的距离为 4 8 | +x0+4+m?y0+ ?-1| x0 y0 d= 2 1+m = 4?x0+1? 1 =4( x0+ ). x0 x0 4y0 (x-x0), 2 y0-4

1 1 1 则△ABE 的面积 S= ×4( x0+ )(x0+ +2)≥16, 2 x0 x0 1 当且仅当 =x0,即 x0=1 时等号成立. x0

所以△ABE 的面积的最小值为 16. [方法点拨] 定点问题的求解策略 把直线或曲线方程中的变量 x、y 当作常数看待,把方程一端化为零,既然直线或曲线 过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得 到一个关于 x、y 的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点. x2 y2 1 13.(文)(2014· 甘肃省三诊)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点 O 为圆 a b 2 心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ 6=0 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程; b2 (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA· kOB=- 2,试判断△AOB a 的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由. c 1 [解析] (1)由题意知 e= = , a 2
2 2 c2 a -b 1 4 ∴e2= 2= 2 = ,即 a2= b2, a a 4 3

又 b=

6 = 3,∴a2=4,b2=3, 1+1

x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 4 3 y=kx+m ? ?2 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由?x y 得 + =1 ? ?4 3 (3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0, △=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0. x1+x2=- 4?m2-3? 8mk x2= . 2,x1· 3+4k 3+4k2

3?m2-4k2? y1· y1=(kx1+m)· (kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= . 3+4k2 3 y1y2 3 kOA· kOB=- , =- , 4 x1x2 4
2 3?m2-4k2? 3 3 4?m -3? y1y2=- x1x2, 2 =- · 4 4 3+4k2 3+4k

2m2-4k2=3, |AB|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 = 1+k2 48?4k2-m2+3? = ?3+4k2?2 24?1+k2? . 3+4k2

d=

|m| = 1+k2

1 1- ≥ 4?1+k2? 24?1+k2? |m| 3+4k2 1+k2

1 3 1- = , 4 2

1 1 S= |AB|d= 2 2 = = 1 2 1 2

24?1+k2?m2 1 = ?3+4k2??1+k2? 2
2 24 3+4k = 3. 2· 2 3+4k

24m2 ?3+4k2?

[方法点拨] 定值问题的求解策略 (1)在解析几何中,有些几何量与参数无关,这就是“定值”问题,解决这类问题常通 过取特殊值,先确定“定值”是多少,再进行证明,或者将问题转化为代数式,再证明该式 是与变量无关的常数,或者由该等式与变量无关,令其系数等于零即可得到定值. (2)求解定值问题的三个步骤 ①由特例得出一个值,此值一般就是定值; ②证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数 (某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值; ③得出结论. x2 y2 3 (理)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a+b=3. a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A、B、D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明:2m-k 为 定值.

[解析] (1)因为 e= 所以 a=

3 c = , 2 a

2 1 c,b= c.代入 a+b=3 得, 3 3

c= 3,a=2,b=1. x2 2 故椭圆的方程为 +y =1. 4 1 (2)方法一: 因为 B(2,0), P 不为椭圆顶点, 则直线 BP 的方程为 y=k(x-2)(k≠0, k≠± ). ① 2

8k2-2 x2 4k ①代入 +y2=1,解得 P( 2 ,- 2 ). 4 4k +1 4k +1 1 直线 AD 的方程为:y= x+1.② 2 4k+2 4k ①与②联立解得 M( , ), 2k-1 2k-1 8k2-2 4k 由 D(0,1),P( 2 ,- 2 ),N(x,0)三点共线知 4k +1 4k +1 - 4k -1 4k2+1 0-1 4k-2 = ,解得 N( ,0). 8k2-2 x-0 2k+1 -0 2 4k +1

4k -0 2k-1 所以 MN 的斜率为 m= 4k+2 4k-2 - 2k-1 2k+1 = 4k?2k+1? 2k+1 = , 4 2?2k+1?2-2?2k-1?2

2k+1 1 则 2m-k= -k= (定值). 2 2 y0 (2)方法二:设 P(x0,y0)(x0≠0,± 2),则 k= , x0-2 1 直线 AD 的方程为:y= (x+2). 2 y0 直线 BP 的方程为 y= (x-2), x0-2 直线 DP 的方程为:y-1= y0-1 -x0 x,令 y=0,由于 y0≠1 可得 N( ,0). x0 y0-1

?y=2?x+2?, 联立? y y= ? x -2?x-2?.
0 0

1

4y0+2x0-4 4y0 解得 M( , ), 2y0-x0+2 2y0-x0+2 因此 MN 的斜率为 4y0 2y0-x0+2 4y0?y0-1? m= = 2 4y0+2x0-4 4y0-8y0+4x0y0-x2 x0 0+4 + 2y0-x0+2 y0-1 = 4y0?y0-1? y0-1 = , 2 2 4y0-8y0+4x0y0-?4-4y0?+4 2y0+x0-2

2?y0-1? y0 所以 2m-k= - 2y0+x0-2 x0-2 = 2?y0-1??x0-2?-y0?2y0+x0-2? ?2y0+x0-2??x0-2?

2 2?y0-1??x0-2?-2y0 -y0?x0-2? = ?2y0+x0-2??x0-2?

1 2?y0-1??x0-2?- ?4-x2 0?-y0?x0-2? 2 = ?2y0+x0-2??x0-2? 1 = (定值). 2 x2 y2 14.(文)(2015· 辽宁葫芦岛市一模)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 a b 3 4 3 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l:y=kx+t(t≠0)与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的垂直平分线与 y 轴交点 1 0,- ?,求△MON(O 为坐标原点)面积的最大值. P? 4? ? [解析] (1)∵e= 3 ,∴a2=3c2=3a2-3b2,∴2a2=3b2 3

b4 b2 将 x=-c 代入椭圆方程得:y2= 2,y=± , a a 2b2 4 3 由题意: = ,∴2a= 3b2 , a 3 解得:a2=3,b2=2 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为: + =1 3 2 x y ? ? 3 + 2 =1 (2)联立方程组:? 消去 y 整理得:(3k2+2)x2+6ktx+3t2-6=0 ? ?y=kx+t ∴Δ=36k2t2-4(3k2+2)· (3t2-6)=24(3k2+2-t2)>0,∴3k2+2>t2 ②
2 2



设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1,x2 是方程①的两个解,由韦达定理得: -6kt -6k2t 4t x1+x2= 2 , y1+y2=k(x1+x2)+2t= 2 +2t= 2 3k +2 3k +2 3k +2 设 MN 的中点为 G(x0,y0),则 x0= x1+x2 -3kt y1+y2 2t = 2 ,y0= = 2 2 2 3k +2 3k +2

∴线段 MN 的垂直平分线方程为:

3kt 2t 1 y- 2 =- ?x+3k2+2? k ? ? 3k +2 1? 1 2t 3t 将 P? ?0,-4?代入得:4+3k2+2=3k2+2 化简得:3k2+2=4t 代入②式得:4t>t2,∴0<t<4 2 6· 3k2+2-t2 2 6· 4t-t2 |MN|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2= 1+k2· = 1+k2· 2 4t 3k +2 = 1+k2· 6· 4t-t2 2t t 1+k2

设 O 到直线 MN 的距离为 d,则 d=

6· 4t-t2 1 1 t 6 6 2 2 ∴ S △ NOM = · |MN|· d = · 1+k2 · · 2 = 4 · 4t-t = 4 · -?t-2? +4 2 2 2t 1+k ≤ 6 2 (当且仅当 t=2,k=± 2时取“=”号) ∴△MON 面积的最大值为 6 ,此时直线 l 的方程为:y=± 2x+2. 2

x2 1 (理)(2015· 浙江理, 19)已知椭圆 +y2=1 上两个不同的点 A, B 关于直线 y=mx+ 对称. 2 2

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). [分析] 考查直线与椭圆的位置关系;点到直线的距离公式;求函数的最值及运算求解 能力、函数与方程的思想. (1)可设出直线 AB 的方程,与椭圆方程联立消元化为一元二次方程,由 AB 的中点在已 1 知直线上知方程有两个不同的解,由此可得到关于 m 的不等式,从而求解;(2)令 t= ,可 m 将△AOB 表示为 t 的函数,从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值,从而获解.

[解析]

? 2 +y =1, 1 (1)由题意知 m≠0,可设直线 AB 的方程为 y=- x+b,由? m 1 ?y=-mx+b
2

x2



1 1 2b 1 x2 去 y, 得( + 2)x2- x+b2-1=0, ∵直线 y=- x+b 与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点, 2 m m m 2 4 2mb m2b 1 ∴Δ=-2b2+2+ 2>0,①,将 AB 中点 M( 2 , 2 )代入直线方程 y=mx+ 解得 b= m 2 m +2 m +2 m2+2 - ,②. 2m2 由①②得 m<- 6 6 或 m> . 3 3

1 6 6 (2)令 t= ∈(- ,0)∪(0, ), m 2 2 3 -2t4+2t2+ 2 则|AB|= t2+1· , 1 t2+ 2 t2+ 且 O 到直线 AB 的距离为 d=
2

1 1 ,设△AOB 的面积为 S(t),∴S(t)= |AB|· d= 2 2 t +1

1 2

1 2 1 2 -2?t2- ?2+2≤ ,当且仅当 t2= 时,等号成立,故△AOB 面积的最大值为 . 2 2 2 2 x2 y2 15.(2014· 福建理,19)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y a b =2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1、l2 于 A,B 两点(A、B 分别在第一、 四象限),且△OAB 的面积恒为 8.试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲 线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程;若不存在,说明理由.

b [解析] (1)∵双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,∴ =2, a c2-a2 ∴ =2,故 c= 5a, a c 从而双曲线 E 的离心率 e= = 5. a

x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 与 x 轴相交于点 C, 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a,

1 又∵△OAB 的面积为 8,∴ |OC|· |AB|=8, 2 1 x2 y2 因此 a· 4a=8,解得 a=2,此时双曲线 E 的方程为 - =1,若存在满足条件的双曲 2 4 16 x2 y2 线 E,则 E 的方程只能是 - =1. 4 16 x2 y2 以下证明:当直线 l 与 x 轴不垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件,设直线 l 的方 4 16 程为 y=kx+m,依题意得 k>2 或 k<-2, m 则 C(- ,0),记 A(x1,y1)、B(x2,y2). k
? ?y=kx+m 2m 2m 由? 得 y1= ,同理得 y2= . 2 - k 2 +k ?y=2x ?

1 1 m 2m 2m 由 S△OAB= |OC|· |y1-y2|得 |- |· | - |=8, 2 2 k 2-k 2+k y=kx+m ? ?2 2 即 m =4|4-k |=4(k -4),由?x y 得, ? 4 -16=1 ?
2 2 2

(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0,∵4-k2<0 ∴Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16), 又∵m2=4(k2-4),∴Δ=0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16

[方法点拨] 1.求曲线的轨迹方程时,先看轨迹的形状是否预知,若能依据条件确定其 形状,可用定义法或待定系数法求解;若动点 P 与另一动点 Q 有关,Q 在已知曲线上运动, 可用代入法求动点 P 的轨迹方程;否则用直译法求解. 2.存在性问题主要体现在以下几方面: (1)点是否存在; (2)曲线是否存在; (3)命题是否成立. 解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素, 经过推理论证, 如果可以得到 成立的结果,就可以作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾 的结论,则说明假设不存在,其一般步骤为:


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