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江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选分类汇编22:选修部分

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江苏省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编 22:选修部分
一、填空题 错 误! 未指 定书 签。 . (江苏省 诚贤中 学 2014 届高三上 学期摸底考试 数学试题) 已知 5×5 数字方

? a11 ? ? a21 阵: ? a31 ? ? a41 ?a ? 51

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 ? ? a25 ? 5 4 ?1 ( j 是 i 的整数倍), ,则 ? a3 j ? ? ai 4 =________. a35 ? 中, aij ? ? ? i?2 ??1( j 不是 i 的整数倍). j ? 2 a45 ? a55 ? ?

【答案】-1 二、解答题 错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2013-2014 学年第一学期高三期中考试数学试卷) (几何证明选讲)如

图,△ABC 是圆 O 的内接三角形, AC ? BC ,D 为圆 O 中 AB 上一点,延长 DA 至点 E,使得 CE ? CD . 求证: AE ? BD . E C

A D

O

B

【答案】(几何证明选讲, 本题满分 10 分)

解: AC ? BC ,??ADC ? ?BDC CE ? CD ,??E ? ?ADC ??E ? ?BDC

四边形ADBC内接于圆O, ??CAE =?CBD , ? ?ACE ? ?BCD ,? AE ? BD 又 AC ? BC ,
错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2013-2014 学年第一学期高三期中考试数学试卷)(极坐标与参数方程)

已知直线 l 经过点 P(2,1) ,倾斜角 ? ?

?
4

,

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与圆 O : ? ? 2 相交于两点 A,B,求线段 AB 的长度.
【答案】(极坐标与参数方程, 本题满分 10 分)

? ? x ? 2 ? t cos ? ?x ? 2 ? ? 4 解:(1)直线 l 的参数方程为 ? ,即 ? ? ? y ? 1 ? t sin ?y ?1? ? 4 ?
2 2 (2)(法 1)圆的方程 ? ? 2 可化为 x ? y ? 4 ,

2t 2 2t 2

? ?x ? 2 ? 将直线 l 的参数方程 ? ?y ?1? ?

2t 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 整理得 t 2 ? 3 2t ? 1 ? 0 2t 2
1

∴ t1 ? t2 ? ?3 2 , t1t2 ? 1 ,则线段 AB ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 14 (法 2)圆的方程 ? ? 2 可化为 x 2 ? y 2 ? 4 , 圆心 O(0,0) 到直线 l : y ? x ? 1 的距离为 d ?

2 2

所以线段 AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ? ( 2 )2 ? 14 2
错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2013-2014 学年第一学期高三期中考试数学试卷)(矩阵与变换)

x2 y 2 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A = ?a 0? (a ? 0, b ? 0) 对应的变换作用下变为椭圆 ? ? 1 ,求 a,b 的 ? ?0 b? ? 9 4 值. 【答案】(矩阵与变换, 本题满分 10 分) 解:设 P( x, y ) 为圆 C 上的任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P?( x?, y?) , x? a ? ?x ? x? ? a x, 则 ? ??? 0 ,即 ? y ?? ? ? ?0 b ?? ? y? ? b y. ? ? ? y?
2 2 2 y2 b2 y 2 ? 1 上,所以 a x ? ?1 . 又因为点 P?( x?, y?) 在椭圆 x ? 9 4 9 4

?

由已知条件可知, x2 ? y 2 ? 1 ,所以 a 2 ? 9 , b 2 ? 4 因为 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a ? 3 , b ? 2
错误!未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)(选修 4-5:

1 1 9 不等式选讲)已知 a,b 是正数,求证:(a+ )(2b+ )≥ . b 2a 2
【答案】(a+ )(2b+

1

b

1 1 1 5 1 5 9 ) ? 2ab ? ? 2 ? ? ? 2ab ? ? ?2? . 2a 2 2ab 2 2ab 2 2

错误!未指定书签。 . (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一)已知二阶矩阵 M 有特征值 ? =3

及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15),求矩阵 M.

?1? ?1?

【答案】设 M ? ?

?a + b ? 3, ?a b ? ? a b ? ?1? ?1? ?3? ? 3 ? ? ? ? ? ,故 ? ,则 ? ? ? ? ? ?c d ? ? c d ? ?1? ?1? ?3? ?c + d ? 3 .

??a + 2b ? 9, ? a b ? ? ?1? ? 9 ? ? c d ? ? 2 ? ? ?15? ,故 ? ? ?? ? ? ? ??c + 2d ? 15 .
? ?1 4 ? 联立以上两方程组解得 a ? ?1, b ? 4, c ? ?3, d ? 6 ,故 M = ? ? ? ?3 6 ?
错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)选修 4—4:坐标系与
2 参数方程已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 25 ,曲线 C ? 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? .试求曲线 C 和 C ?

的直角坐标方程,并判断两曲线的位置关系. 【答案】选修 4—4:坐标系与参数方程 解:由 ? 2 ? 25 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 25
2

由 ? ? 4cos ? 得曲线 C ? 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 曲线 C 表示以 ? 0,0 ? 为圆心,5 为半径的圆;曲线 C ? 表示以 ? 2,0 ? 为圆心,2 为半径的圆. 因为两圆心间距离 2 小于两半径的差 5-2=3, 所以圆 C 和圆 C ? 的位置关系是内含
错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2013-2014 学年第一学期高三期中考试数学试卷)(不等式选讲)

设 a、b、c 均为实数,求证:

1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + . 2a 2b 2c b?c c?a a?b

【答案】(不等式选讲, 本题满分 10 分) 证明:∵ a , b, c 均为实数,



1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ ,当 a ? b 时等号成立; 2 2a 2b a?b 2 ab 1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ ,当 b ? c 时等号成立; 2 2b 2c b?c 2 bc 1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ 2 2c 2a c?a 2 ca

三个不等式相加即得

1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + , 2a 2b 2c b?c c?a a?b

当且仅当 a ? b ? c 时等号成立
错误!未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)(选修 4-4:

坐标系与参数方程)已知圆 C 的极坐标方程是 ρ =4cosθ ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴 2 ? ?x= 2 t+m 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是? 2 y= t ? ? 2 实数 m 的值.
【答案】由 ? ? 4cos ? ,得 ? 2 ? 4? cos? ,

(t 是参数).若直线 l 与圆 C 相切,求

? x2 ? y 2 ? 4x ,即圆 C 的方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ,
2

? ?x ? ? 又由 ? ?y ? ? ?

2 t ? m, 2 消 t ,得 x ? y ? m ? 0 , 2 t, 2
2?m

? 2 ,? m ? 2 ? 2 2 . 2 错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)选修 4—2:矩阵与变换

直线 l 与圆 C 相切,?

? 2 0? ?1 ?1? ?1 已知矩阵 A = ? ,B = ? ? ? ,求矩阵 A B . 0 1 2 5 ? ? ? ?
【答案】选修 4—2:矩阵与变换

?a 解:设矩阵 A 的逆矩阵为 ? ?c

b? ? 2 0 ? ? a b ? ?1 0 ? ,则 ? ? ? ? ?=? ?, d? ?0 1 ? ? c d ? ?0 1 ?
3

? 2a 2b ? ?1 0 ? 即? ? =? ?, ? c d ? ?0 1 ?
0 1 , b ? 0, c ? 0, d ? 1 ,从而 A 的逆矩阵为 A ?1 = ? 2 ? ? ? 2 0 1 ? ? ? 0? ? 1? ?1 ?1 ?1? ? ?2 5 ? = ? 2 ? ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 5 ? ?1 ?

故a ?

?1 所以 A B = ? 2 ? ?0
?1

错误!未指定书签。 . (江苏省丰县中学 2014 届高三 10 月阶段性测试数学(理)试题)已知矩阵 A ? ?

?1 1? ?, ?2 1?

向量 ? ? ? ? ,求向量 ? ,使得 A2? ? ? .

?1 ? ?2?

【答案】设 ? ? ? ?y? ? ,由 A ?
x

2

? 3 2? ? x ? ?1 ? ? ? 得: ? ?? ? ? ? ?, ? 4 3? ? y ? ? 2?

? 3x ? 2 y ? 1 ? x ? ?1 ??1? ?? ?? ,?? ? ? ? ?4 x ? 3 y ? 2 ? y ? 2 ?2?
错误!未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)(选修 4—2:

矩阵与变换)已知 A(0, 0) , B (2, 0) , C (2, 2) 在矩阵 M ? ? 别为 A?(0, 0) , B?( 3,1) , C ?(0, 2) ,求矩阵 M .
【答案】

?a b ? ? 对应变换的作用下,得到的对应点分 ?c d   ?

错误!未指定书签。 . (江苏省梁丰高级中学 2014 届第一学期阶段性检测一)在极坐标系中,曲线 C 的极坐标

4

方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

),以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数

4 ? x ? 1? t ? ? 5 方程为 ? ( t 为参数),求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长. 3 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 【答案】解:将方程 ? ? 2 2 sin(? ? ) , ? 分别化为普通方程: 3 4 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?

x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 , 3x ? 4 y ? 1 ? 0
由曲线 C 的圆心为 C (?1,1) ,半径为 2 ,所以圆心 C 到直线 l 的距离为 故所求弦长为 2 2 ? ( ) ?
2

2 , 5

2 5

2 46 5

错误!未指定书签。 . (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)C.选修 4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,求圆 ? =4sinB 上的点到直线
【答案】圆方程化为: x
2

的距离的最大值.

? ( y ? 2)2 ? 4 ,直线方程为: x ? y ? 6 ? 0 ,

圆心到直线的距离为:d= 2 所以,所求最大距离为 2+ 2
错误!未指定书签。 . (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)A.选修 4-1:几何证明选讲

如图,OA,OB 是圆 O 的半径,且 OA⊥OB,C 是半径 OA 上一点:延长 BC 交圆 O 于点 D,过 D 作圆 O 的切线交 OA 的延长线于点 E. 求证;∠OBC+∠ADE=45°

【答案】

连结 OD,则 OD⊥DE,∠OBC=∠ODC,∠ADC=

1 ∠BOC=45°,所以, 2

∠ODC+∠ADE=45°,所以,∠OBC+∠ADE=45°
错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)已知:如图,点 A,P,B

在⊙O 上, ?APB ? 90? , PC 平分 ?APB ,交⊙O 于点 C.求证: ?ABC 为等腰直角三角形.
5

P

A

O

B

C

【答案】选修 4—1:几何证明选讲

证明:由 ?APB ? 90 得 AB 为直径,所以 ?ACB ? 90? 由 AC ? AC ,得 ?APC ? ?ABC ,同理 ?BPC ? ?BAC 又因为 PC 平分 ?APB ,所以 ?CPA ? ?CPB 所以 ?BAC ? ?ABC ,故 BC ? AC 从而, ?ABC 为等腰直角三角形
错误!未指定书签。 . (江苏省扬州市扬州中学 2014 届高三 10 月月考数学试题) 若点 A(2, 2)在矩阵

?cos? M ?? ? sin?
【答案】

? sin ?? 对应变换的作用下得到的点为 B(?2, 2) ,求矩阵 M 的逆矩阵. cos ?? ?

错误!未指定书签。 . (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测数学(理)试卷)选修 4 - 4:坐

x2 y 2 ? ? 1 与 x 正半轴、y 正半轴的交点分别为 A, B ,动点 P 是椭圆上 标系与参数方程 已知椭圆 C : 16 9
任一点,求 ?PAB 面积的最大值.
【答案】解:依题意 A(4, 0) , B(0,3) , AB ? 5 ,直线 AB :

x y ? ? 1 ,即 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4 3

设点 P 的坐标为 (4cos ? ,3sin ? ) ,则点 P 到直线 AB 的距离是

6

d?

| 3 ? 4 cos ? ? 4 ? 3sin ? ? 12 | 12 ? ? | 2 sin(? ? ) ? 1| , 5 5 4

当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d max ?

12( 2 ? 1) , 5

所以 ?PAB 面积的最大值是 S ?

1 AB ? d max ? 6( 2 ? 1) 2

错误!未指定书签。 . (江苏省丰县中学 2014 届高三 10 月阶段性测试数学(理)试题)在平面直角坐标系 xOy

中,求过椭圆 ?

? x ? 5cos ? ? x ? 4 ? 2t ( ? 为参数)的右焦点且与直线 ? ? y ? 3sin ? ?y ? 3?t ? x ? 4 ? 2t x2 y 2 ? ? 1, 右焦点为(4,0),直线 ? ( t 为参数)的普通方程 25 9 ?y ? 3?t

( t 为参数)平行的直线的普通方程.
【答案】解析:椭圆的普通方程为

为 2 y ? x ? 2 ,斜率为:

1 1 ;所求直线方程为: y ? ( x ? 4), 即x ? 2 y ? 4 ? 0 2 2

错误!未指定书签。 . (江苏省涟水中学 2014 届高三上学期(10 月)第一次统测数学(理)试卷)选修 4-2:矩阵

与变换已知矩阵 A ? ?
x

?1 ? ?1 1? , 向量 ,求向量 ? ,使得 A2 ? ? ? . ? ? ? ? ? ? 2? ?2 1?

2 【答案】解:设 ? ? ? ?y? ? ,由 A ?

??

得: ?

? 3 2? ? x ? ?1 ? ?? ? ? ? ?, ? 4 3? ? y ? ? 2?

? 3x ? 2 y ? 1 ? x ? ?1 ??1? ?? ?? ,?? ? ? ? ?4 x ? 3 y ? 2 ? y ? 2 ?2?
错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三第二次调研数学试题)若点 A(2,2)在矩

阵M ? ?

?cos ? ?sin ?

? sin ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B(-2,2),求矩阵 M 的逆矩阵 cos ? ? ?
?2? ?2? ? ?2 ? ? 2cos ? ? 2sin ? ? ? ?2? ,即 ? ? ??? ? , ? 2? ? 2sin ? ? 2cos ? ? ? 2 ?

【答案】由题意知, M ? ? ? ?

?cos ? ? sin ? ? ?1, 所以 ? ?sin ? ? cos ? ? 1, ?1 由 M ?1 M ? ? ?0

?cos ? ? 0, ?0 ? 1? 解得 ? 所以 M ? ? ? ?sin ? ? 1. ?1 0 ?

0? 1? ?0 ,解得 M ?1 ? ? ? ? 1? ? ?1 0 ?
7

另解:矩阵 M 的行列式 | M |?

?0 1 ? ? 1 ? 0 ,所以 M ?1 ? ? ?. ?1 0 ? ?1 0? 0 1

错误!未指定书签。 . (江苏省苏州市 2014 届高三暑假自主学习测试(9 月)数学试卷)选修 4—5:不等式选讲
4 4 (a 2 ? b2) 设实数 a,b 满足 a ? b ,求证: a ? b ? ab .

【答案】选修 4—5:不等式选讲

证明:作差得 a4 ? b4 -ab(a2 ? b2 ) ? a3 (a ? b) ? b3 (b ? a) = (a ? b)(a3 ? b3 ) = (a ? b)2 (a2 ? ab ? b2 ) = (a ? b)2 [(a ? )2 ? b2 ] 因为 a ? b ,所以 a,b 不同时为 0,故 (a ? )2 ? b2 ? 0 , (a ? b)2 ?0 ,

b 2

3 4

b 2

3 4

(a ? b ) 所以 (a ? b)2 [(a ? )2 ? b2 ] ? 0 ,即有 a ? b ? ab
4 4 2 2

b 2

3 4

错误!未指定书签。 . (江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研数学试题)B.选修 4-条矩阵与变换.

在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x+2y+1=0 在矩阵 直线 m:x-y-2=0,求实数 a,b 的值.
【答案】 a ? ?

对应的资换作用下得到

13 5 ,b ? 2 4

错误!未指定书签。 . (江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校 2014 届高三 10 月月考数学试题)(选修 4-1:几

何证明选讲)如图,AD 是∠BAC 的平分线,⊙O 过点 A 且与 BC 边 相切于点 D,与 AB,AC 分别交于 E,F,求证:EF∥BC.
A · O

E

F

B

D (第 21-A 题)

C

【答案】证明:设 AD交EF 于点H . ?AHF ? ?AEH ? ?EAH ? ?ADF ? ?DAC ? ?ADF ? ?FDC ? ?ADC

所以,EF∥BC.
错误!未指定书签。 . (江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014 届高三第二次调研数学试题)已知圆的极坐标方

?? ? 程为: ? 2 ? 4 2 ? cos ? ? ? ? ? 6 ? 0 . 4? ?
⑴将极坐标方程化为普通方程; ⑵若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

8

【答案】⑴ x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ;

? ? x ? 2 ? 2 cos ? , ⑵圆的参数方程为 ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ,

?? ? 所以 x ? y ? 4 ? 2sin ? ? ? ? ,那么 x+y 最大值为 6,最小值为 2. 4? ?

9


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