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高考数学复习 第一章 集合与简易逻辑 1.2简易逻辑

时间:2017-07-26


§1.2 简易逻辑

基础自测 1. 下 ( ) A.|x+a| 子集 答案 B



















B. {0} ∈ N

r />
C.元素与集合

D.真

2. ( 2008 · 湖 北 理 , 2 ) 若 非 空 集 合 A 、 B 、 C 满 足 A ∪ B=C , 且 B 不 是 A 的 子 集 , 则 ( )

? A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件? ? B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件? ? C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件? ? D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 答案? 答案 B ?? 3. 若 命 题 p 的 否 命 题 为 r , 命 题 r 的 逆 命 题 为 s , 则 s 是 p 的 逆 命 题 t 的 ( ) B.逆命题? D.原命题?

? A.逆否命题? C.否命题 答案? 答案 C ?? 4. ( 已 ) A.p ∨ q 为假,p ∧ q 为假, ? p 为真 C. p ∨ q 为假,p ∧ q 为假, ? p 为假 为假 答案 D 知 命 题 p:3 ≥ 3;q:3>4, 则

















B. p ∨ q 为真, ∧ q 为假,? p 为真 p D. p ∨ q 为真,p ∧ q 为假, ? p

5.(2008· 广东理 广东理,6)已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题

中 为 真 命 题 的 是



) A.( ? p ) ∨ q B. p ∧ q C. ( ? p ) ∧ ( ? q) D . (
?

p





?

q ) 答案 D

例 1 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.? (1)正三角形的三内角相等;? (2)全等三角形的面积相等;? (3)已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d.?

解 (1)原命题:若一个三角形是正三角形,则它的三个内角相等.? 逆命题:若一个三角形的三个内角相等,则这个三角形是正三角形(或写成:三个内角相等的三角 形是正三角形). 否命题:若一个三角形不是正三角形,则它的三个内角不全相等.? 逆否命题:若一个三角形的三个内角不全相等,那么这个三角形不是正三角形(或写成:三个内角 不全相等的三角形不是正三角形).? (2)原命题:若两个三角形全等,则它们的面积相等.? 逆命题:若两个三角形面积相等,则这两个三角形全等(或写成:面积相等的三角形全等).? 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形面积不相等(或写成:不全等的三角形面积不相 等).? 逆否命题:若两个三角形面积不相等,则这两个三角形不全等.? (3)原命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d. 逆命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c=b+d,则 a 与 b,c 与 d 都相等.? 否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a 与 b,c 与 d 不都相等,则 a+c≠b+d.? 逆否命题:已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c≠b+d,则 a 与 b,c 与 d 不都相等.? p (在 “充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件” 、 例 2 指出下列命题中, 是 q 的什么条件 “既不充分也不必要条件”中选出一种作答).? (1)在△ABC 中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;? (2)对于实数 x、y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6;? (3)非空集合 A、B 中,p:x∈A∪B,q:x∈B;?? (x-1) (y-2)=0.? (4)已知 x、y∈R,p: (x-1) +(y-2) =0,q: R
2 2

解 (1)在△ABC 中,∠A=∠B ? sinA=sinB,反之,若 sinA=sinB,因为 A 与 B 不可能互补(因 为三角形三个内角和为 180°),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件.? (2)易知: ? p:x+y=8, ? q:x=2 且 y=6,显然 ? q ? ? p.但 ? p ? q,即 ? q 是 ? p 的充分不必 要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件.?

(3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件.? (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2,? 所以 p ? q 但 q 例3 p,故 p 是 q 的充分不必要条件.?

已知 ab≠0,?
3 3 2 2

求证:a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0.? 证明(必要性)? 证明 ∵a+b=1,∴a+b-1=0,
3 3 2 2 2 2 2 2

∴a +b +ab-a -b =(a+b) -ab+b )-(a -ab+b ) (a
2 2

=(a+b-1) -ab+b )=0. (a (充分性)?
3 3 2 2 2 2

∵a +b +ab-a -b =0,即(a+b-1) -ab+b )=0, (a 又 ab≠0,∴a≠0 且 b≠0,∴a -ab+b =(a- ) +
2 2
2

b 2

3 2 b >0,? 4

∴a+b-1=0,即 a+b=1, 综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a +b +ab-a -b =0.
3 3 2 2

R,r(x)与 s(x)有且仅有 例 4(12 分)已知两个命题 r(x):sinx+cosx>m,s(x):x +mx+1>0.如果对 ? x ∈ R,
2

一个是真命题.求实数 m 的取值范围. 解 ∵sinx+cosx= 2 sin(x+ ) ≥ ? 2 , ∴当 r(x)是真命题时,m<- 2 ,
4

π

2分 又∵对 ? x ∈ R,s(x)为真命题,即 x +mx+1>0 恒成立,
2

有 4分

?

2

=m -4<0,



-2<m<2,

∴当 r(x)为真,s(x)为假时,m<- 2 , 同 时 m ≤ -2 或 m ≥ 2 , 即 m ≤ -2 ;

6分 当 r(x)为假,s(x)为真时,m≥- 2 且-2<m<2, 即 8分 综 12 分 上 , 实 数 m 的 取 值 范 围 是 m ≤ -2 或 2

-

2



m<2.



m<2.

1. 写出下列命题的否命题,并判断原命题及否命题的真假:? (1)如果一个三角形的三条边都相等,那么这个三角形的三个角都相等;? (2)矩形的对角线互相平分且相等;? (3)相似三角形一定是全等三角形.? “如果一个三角形的三条边不都相等,那么这个三角形的三个角也不都相等”. 解 (1)否命题是: ? 原命题为真命题,否命题也为真命题.? (2)否命题是: “如果四边形不是矩形,那么对角线不互相平分或不相等”? 原命题是真命题,否命题是假命题.? (3)否命题是: “不相似的三角形一定不是全等三角形”.? 原命题是假命题,否命题是真命题. 2. ( 2008 · 湖 南 理 , 2 ) “ |x-1|<2 ( ) ? B.必要不充分条件? D.既不充分也不必要条件? 成 立 ” 是 “ x(x-3)<0 成 立 ” 的

? A.充分不必要条件? ? C.充分必要条件? 答案? 答案 B ??

3. 证明一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.? 证明 充分性:若 ac<0,则 b2-4ac>0,且
c <0,? a

∴方程 ax2+bx+c=0 有两个相异实根,且两根异号,即方程有一正根和一负根.? 必要性:若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根,则 ? =b2-4ac>0,x1x2= 综上所述,一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根的充要条件是 ac<0.
c <0,∴ac<0.? a

4.已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递减,q:不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R,若 p 和 q 中有且只有 一个命题为真命题,求 a 的取值范围. 解 y=x+|x-2a|, 则 y= ?
?2 x ? 2a ?2a (x ≥ 2a), ( x < 2a ).
1 2

由函数 y=ax 在 R 上单调递减知 0<a<1,所以命题 p 为真命题时 a 的取值范围是 0<a<1,令

不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R,只要 ymin>1 即可,而函数 y 在 R 上的最小值为
1 2 1 2

2a,所以 2a>1,即 a> . 即 q 真 ? a> . 若 p 真 q 假,则 0<a≤ ; 若 p 假 q 真,则 a≥1,所以命题 p 和 q 有且只有一个命题正确时 a 的取值范围是 0<a≤ 或 a≥1.
1 2

一、选择题 1.下列命题:①5>4 或 4>5;②9≥3;③命题“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题;④命题“矩形的两条 对 ( ? A.0 答案 B ?? 2. (2008· 重庆理, 设 n 则 n 是 的 重庆理 2) m, 是整数,“m, 均为偶数”“m+n 是偶数” ? ? A.充分而不必要条件 ? C.充要条件 答案? 答案 A ?? 3. ( ) ? B.必要而不充分条件? D.既不充分也不必要条件? “ x>1 ” 是 “ x >x
2

角 线 )















.



















B.1 ?

C.2

D.3 ?





B.必要而不充分条件? D.既不充分也不必要条件?





A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案? 答案 A ??

4. ( )







p:x



A I B,



?p



A. x ∈ A 且x ? B C. x ? A且x ? B 答案 B 5. 若 p 、 q

B. x ? A或x ? B D. x ∈ A U B

是 两 个 简 单 命 题 , 且 “ p ∨ q” 的 否 定 是 真 命 题 , 则 必 有 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q

( 真

)A.p 真 q 真

答案 B 6. ( 2008 · 安 徽 理 , 7 )“ a<0” 是 “ 方 程 ax +2x+1=0 至 少 有 一 个 负 数 根 ” 的
2



) ? B.充分不必要条件? D.既不充分也不必要条件?

? A.必要不充分条件 ? C.充分必要条件 答案? 答案 B ?? 二、填空题

7.设集合 A= {x || x |< 4}, B = {x | x ? 4 x + 3 > 0}, 则集合 {x | x ∈ A且x ? A I B} =
2

.

答案 {x | 1 ≤ x ≤ 3} 8.(2008·全国Ⅱ理,16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行. 全国Ⅱ 全国 类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件. 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 一组相对侧面平行且全等; 对角线交于一点; 底面是平行四边形等.(答 答案 两组相对侧面分别平行; 案不唯一) 三、解答题 9. 求关于 x 的方程 x -mx+3m-2=0 的两根均大于 1 的充要条件.?
2

解 设方程的两根分别为 x1、x2,则原方程有两个大于 1 的根的充要条件是?
?? = m 2 ? 4(3m ? 2) ≥ 0, ?? = m 2 ? 12m + 8 ≥ 0, ? ? ?( x1 ? 1) + ( x 2 ? 1) > 0, ?即 ?( x1 + x 2 ) ? 2 > 0, ? ? x x ? ( x + x ) + 1 > 0. (x1 ? 1)( x2 ? 1) > 0, 1 2 ? ? 1 2

? ?m ≥ 6 + 2 7或m ≤ 6 ? 2 7 , ? 又∵x1+x2=m,x1x2=3m-2,?∴ ?m > 2, ? 1 ?m > . 2 ?

故所求的充要条件为 m≥6+2 7 . 10. 已知 x,y∈R.? R 求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0.? 证明(充分性)? 证明 若 xy≥0,则 x,y 至少有一个为 0 或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.? (必要性)?若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y) =(|x|+|y|) ,? x +2xy+y =x +2|xy|+y ,?
2 2 2 2 2 2

∴xy=|xy|,∴xy≥0.?综上,命题得证. 11.已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实数根;命题 q:方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实数根.
2 2

若“p 或 q”为真命题, 且 q”为假命题,求 m 的取值范围. “p 解 由 p 得: ?
?? = m 2 ? 4 > 0 , 则 m>2. ?m > 0
2 2

由 q 知: ?′ =16 (m-2) -16=16(m -4m+3)<0,则 1<m<3. ∵“p 或 q”为真, 且 q”为假,∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真. “p 则?
?m > 2 ?m ≤ 2 或? , 解得 m≥3 或 1<m≤2. ?m ≤ 1或m ≥ 3 ?1 < m < 3
2

12.(1)是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件?如果存在,求出 p 的取值范围; (2)是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x -x-2>0”的必要条件?如果存在,求出 p 的取值范围.
2

解 (1)当 x>2 或 x<-1 时,x -x-2>0,由 4x+p<0,得 x<- , 故2

p 4

p ≤-1 时, 4

“x<-

p 2 2 ” ? “x<-1” ? “x -x-2>0”. ∴p≥4 时, “4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件. 4

(2)不存在实数 p 满足题设要求.


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