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山东省青岛市2013届高三一模文科数学试题


青岛市高三统一质量检测

数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑

;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:球的体积公式为: V ?

4 ? R 3 ,其中 R 为球的半径. 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 设全集 U ? R ,集合 M ? { x | x ? 1 或 x ? ?1 }, N ? ?x | 0 ? x ? 2? ,则 N ? (? M ) ? U A. ?x | ?2 ? x ? 1 ? B. ?x | 0 ? x ? 1 ? C. ?x | ?1 ? x ? 1? D. ?x | x ? 1 ?

2. i 是虚数单位,复数 A. 2 B. ? 2

2i 的实部为 1? i C. 1 D. ? 1

3. 下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 A. y ? sin( 2 x ?

?
2

)

B. y ? cos( 2 x ?

?
2

)

C. y ? sin( x ?

?
2

)

D. y ? cos( x ?

?
2

)

4.函数 f ( x) ? 1 ? x log2 x 的零点所在区间是 A. ( , )

1 1 4 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1, 2)

D. (2,3)

5. 已知 m , n 为两条不同的直线, ? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若 m // n, n ? ? ,则 m ? ?
-1-

6. 函数 y ? 21? x 的大致图象为

y
1
O

y
1 1

y

y
1

x
B

O

x
C

O

x

O

x

A

D

7.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为 半径是 2 的圆,则这个几何体的体积是 A.

32? 3

B. 8?
2

C.

16? 3

D. 32?
正视图 左视图

8.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,点 P 为抛物 线上一点,且在第一象限, PA ? l ,垂足为 A , PF ? 4 ,
俯视图

则直线 AF 的倾斜角等于

2? 3? 5? C. D. 3 4 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9. 若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为
A. B.

7? 12

5? ? 2? C. D. 6 3 3 x, x ? 0 ? 10. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,则实数 m ? x ? x, x ? 0
A. B. 的取值范围为 A. [ ?

? 6

1 ,1] 2

B. [ ?

1 ,1) 2

C. (?

1 , 0) 4

D. (? , 0]

1 4

11.已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f (4 ? x) , 且当 x ? 2 时其导函数 f ?( x ) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则 A. f (2 ) ? f (3) ? f (log2 a)
a

B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2 )
a

C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2 )
a

D. f (log2 a) ? f (2 ) ? f (3)
a

b a 12. 定义区间 (a, b) ,[a, b) , (a, b] ,[a, b] 的长度均为 d? ? . 用 [ x ] 表示不超过 x 的
最大整数,记 {} x [ ] x ? ?x,其中 x ? R .设 f() []{ , gx ? ? ,若用 d 表示不等 x? ? x x } () x 1 式 f( )? ( )解集区间的长度,则当 0 ≤ x ≤ 3 时,有 x gx A. d ? 1 B. d ? 2 C. d ? 3
-2-

D. d ? 4

网第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 某程序框图如右图所示,若 a ? 3 ,则该程序运行 后,输出的 x 值为 ; 14. 设 Sn 是 等 差 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 ,

开始

n ? 1, x ? a

a1 ? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ?
2 2



n ? n ?1 n?3
否 输出 x 是

? x ?y ?4 ? 15. 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函 ? y?0 ?
数 z ? 2 x ? y 的最大值是 16.给出以下命题: ;

x ? 2x ?1

结束 y2 ? x 2 ? 1的渐近线方程为 y ? ? 2x ; 2 1 + ? 2 ”是真命题; ② 命题 p : “ ?x ? R , sin x ? sin x ? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位; 2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ?2, ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, ④ 已知 2?4 6?4 5? 4 3? 4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4 n 8?n ? ? 2 , n ? 4) 依照以上各式的规律,得到一般性的等式为 ( n ? 4 (8 ? n) ? 4

① 双曲线

则正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 a,b,c 为 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边,满足

sin B ? sin C 2 ? cos B ? cos C ? ? ,函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0, ] 上单调递增, sin A cos A 3 ? 2? ] 上单调递减. 在区间 [ , 3 3 频率/组距 频率/组距 (Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ;
(Ⅱ)若 f ( ) ? cos A ,证明 △ ABC 为

?

0.06

9

等边三角形. 18. (本小题满分 12 分) 从某学校的 800 名 男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生 身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间,将测 量结果按如下方式分成八组:第一组 [ 155 , 160 ),第二组[ 160 , 165 ),?,第 八组[ 190 , 195 ],右图是按上述分组方法

0.04

0.016 0.008 O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 (cm) 身高(cm)

-3-

得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数; (Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为

x, y ,事件 E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },求 P( E ? F ) .
19. (本小题满分 12 分)如图,几何体 ABCD ? B1C1D1 中,四边形 ABCD 为菱形,

?BAD ? 60? , AB ? a ,面 B1C1D1 ∥面 ABCD , BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,且

BB1 ? 2a , E 为 CC1 的中点.
(Ⅰ)求证: ?DB1E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求证: AC ∥面 DB1E .
A

D1
B1

C1

E

D

C
B

20. (本小题满分 12 分) 已知 n ? N ,数列 ?d n ?满足 d n ?
?

3 ? (?1) n ,数列 ?an ? 满足 an ? d1 ? d2 ? d3 ???? ? d2n ;数列 2

?bn ?为公比大于1 的等比数列,且 b2 ,b4 为方程 x 2 ? 20x ? 64 ? 0 的两个不相等的实根. (Ⅰ)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?bn ? 中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,??,第 an 项,??删去后剩余的项按 . . . . 从小到大的顺序排成新数列 ?cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 2013 项和.
21.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? ln x .
2

(Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性; (Ⅱ)若对任意 a ? (?4,?2) 及 x ? [1,3] 时,恒有 ma ? f ?x ? ? a 成立,求实数 m 的取值范围.
2

x2 y 2 2 22. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,离心率为 , a b 2
其右焦点为 F ,过点 B(0, b) 作直线交椭圆于另一点 A . (Ⅰ)若 AB ? BF ? ?6 ,求 ?ABF 外接圆的方程; (Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 2) 与椭圆 N :

??? ??? ? ?

???? 2 5 x2 y 2 1 ? 2 ? 相交于两点 G 、 H ,且 HG ? ,求 2 a b 3 3

k 的取值范围.

-4-

青岛市高三统一质量检测

数学 (文科) 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. B C A C D A BB B C C A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 31 14. ?54 15. 2 5 16.①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)?

sin B ? sin C 2 - cos B - cos C ? sin A cos A

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2sin A- cos B sin A- cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2sin A
sin (A ? B) ? sin (A ? C) ? 2sin A
?????????????????????3 分

sin C ? sin B ? 2sin A ???????????????????????????5 分
所以 b ? c ? 2a ??????????????????????????????6 分 (Ⅱ)由题意知:由题意知: 因为 f (

2?

?
9

) ? sin

?
6

?

1 ? ? cos A , A ? (0,? ) ,所以 A ? 2 3

?

?

4? 3 ,解得: ? ? , 3 2

??????????8 分 ??????????9 分

由余弦定理知: cos A ?

b 2 ? c 2 -a 2 1 ? 2bc 2
2

???????????????10 分
2

2 2 2 所以 b ? c -a ? bc 因为 b ? c ? 2a ,所以 b ? c -(

b?c 2 ) ? bc , 2

即: b ? c -2bc ? 0 所以 b ? c
2 2

?????????????????????11 分

又A?

?
3

,所以 △ ABC 为等边三角形. ???????????????????12 分

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)第六组的频率为

4 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50

1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ; ???????????4 分
(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,
-5-

身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? (m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 ??????????6 分 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人. ??????8 分 (Ⅲ)第六组 [180,185) 的人数为 4 人,设为 a, b, c, d ,第八组[190,195]的人数为 2 人, 设为

A, B ,则有 ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况,
因事件 E ? { x ? y ? 5 }发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组,所以事件 E 包含的基本 事件为 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故 P ( E ) ?

7 . ????????10 分 15

由于 x ? y max ? 195 ?180 ? 15 ,所以事件 F ? { x ? y ? 15 }是不可能事件, P( F ) ? 0 由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以

P( E ? F ) ? P( E ) ? P( F ) ?
19. (本小题满分 12 分)

7 ???12 分 15

D1

C1 B1
F
E

解:I) ( 连接 BD , AC 于 O , 交 因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以 BD ? a
?

因为 BB1 、 1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1 CC 又面 B1C1D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1

D A

C

O
B

所以四边形 BCC1B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a ???2 分 因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则

DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a

DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ?

a2 6a ? 2 2

a2 6a ??????????????????4 分 B1E ? B C ? C1E ? a ? ? 2 2
2 1 1 2 2

所以 DE ? B1E ?
2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 所以 ?DB1E 为等腰直角三角形 ??6 分 4

-6-

(II)取 DB1 的中点 F ,连接 EF 、 OF 因为 O, F 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OF ∥ BB1 ,且 OF ? 因为 EC ∥ BB1 ,且 EC ?

1 BB1 2

1 BB1 ,所以 OF ∥ EC ,且 OF ? EC 2

所以四边形 EFOC 为平行四边形??????????????????????10 分 所以 EF ∥ AC ,因为 AC ? 面 DB1E , EF ? 面 DB1E , 所以 AC ∥面 DB1E . ???????????????????????????12 分 20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? d n ?

3 ? (?1) n , 2
3 ? 2n ? 3n ?????????????????3 分 2

? an ? d1 ? d2 ? d3 ???? ? d2n ?
2

因为 b2 ,b4 为方程 x ? 20x ? 64 ? 0 的两个不相等的实数根. 所以 b2 ? b4 ? 20 , b2 ? b4 ? 64 ???????????????????????4 分 解得: b2 ? 4 , b4 ? 16 ,所以: bn ? 2n ????????????????????6 分 (Ⅱ)由题知将数列 ?bn ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项??删去后构成的新数列 ?cn ? 中的奇 数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b2 ? 4 公比均是 8, ????9 分

T2013 ? (c1 ? c3 ? c5 ???? ? c2013 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ???? ? c2012 )
? 2 ? (1 ? 81007 ) 4 ? (1 ? 81006 ) 20 ? 81006 ? 6 ? ? 1? 8 1? 8 7
????????????12 分

21. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2ax ?

1 2ax2 ? 1 ? ( x ? 0) x x

???????????????2 分

①当 a ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0,??) 上是增函数;?????????4 分 ②当 a ? 0 时,当 0 ? x ?

?

1 1 ) 上是增函数; 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 (0, ? 2a 2a

当x?

?

1 1 ,??) 上是减函数 ???????6 分 时, f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 在 ( ? 2a 2a
-7-

综上,当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上是增函数;当 a ? 0 时, f (x) 在 (0, ?

1 ) 上是增函 2a

数, f (x) 在 ( ?

1 ,??) 上是减函数. ???????????????????7 分 2a

(Ⅱ)由题意知对任意 a ? ?? 4,?2? 及 x ? ? ,3? 时, 1 恒有 ma ? f ?x ? ? a 2 成立,等价于 ma ? a 2 ? f ?x?max 因为 a ? ?? 4,?2? ,所以

2 1 1 ? ? ? ?1 4 2a 2

由(Ⅰ)知:当 a ? ?? 4,?2? 时, f (x) 在 ? ,3? 上是减函数 1 所以 f ( x) max ? f (1) ? 2a ?????????????????????????10 分
2 所以 m a ? a ? 2a ,即 m ? a ? 2

因为 a ? ?? 4,?2? ,所以 ? 2 ? a ? 2 ? 0 ???????????????????12 分 所以实数 m 的取值范围为 m ? ?2 22. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意知: c ? 3 , e ? ?????????????????????13 分

c 2 2 2 2 ,又 a ? b ? c , ? a 2
x2 y 2 ? ?1 6 3
???????????2 分

解得: a ? 6, b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为:

由此可得: B(0, 3) , F ( 3,0) 设 A( x0 , y0 ) ,则 AB ? (?x0 , 3 ? y0 ) , BF ? ( 3, ? 3) ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ? AB ? BF ? ?6 ,?? 3x0 ? 3( 3 ? y0 ) ? ?6 ,即 y0 ? x0 ? 3

? 4 3 ? x0 2 y0 2 ? x0 ? ? ? 1 ? x0 ? 0 ? ? ? 3 ?? 3 由? 6 ,或 ? ? y0 ? ? 3 ?y ? x ? 3 ? ?y ? 3 0 ? 0 ? 0 3 ?
即 A(0, ? 3) ,或 A(

4 3 3 , ) ???????????????????????4 分 3 3

①当 A 的坐标为 (0, ? 3) 时, OA ? OB ? OF ? 3 , ?ABF 外接圆是以 O 为圆心, 3 ?

-8-

为半径的圆,即 x2 ? y 2 ? 3 ???????????????????????5 分

②当 A 的坐标为 (

4 3 3 所以 ?ABF 为直角三角形, , ) 时,AF 和 BF 的斜率分别为1 和 ?1 , 3 3 2 3 2 3 1 15 , , ) ,半径为 AB ? 3 3 2 3

其外接圆是以线段 AB 为直径的圆,圆心坐标为 (

? ?ABF 外接圆的方程为 ( x ?

2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? 3 3 3 2 3 2 2 3 2 5 ) ? (y ? ) ? ???7 分 3 3 3

综上可知: ?ABF 外接圆方程是 x2 ? y 2 ? 3 ,或 ( x ?

(Ⅱ)由题意可知直线 GH 的斜率存在.设 G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ? 2
由 ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 得: k ?
2

1 ??( ? )???????????9 分 2

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 , x1 x2 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
???????????????10 分

???? 2 5 2 5 2 ,即 1 ? k x1 ? x2 ? ? HG ? 3 3

? (1 ? k 2 )[
?k2 ?
所以 ?

64k 4 8k 2 ? 2 20 ? 4? ]? (1 ? 2k 2 )2 1 ? 2k 2 9
??????????????????12 分

1 1 1 2 ,结合( ? )得: ? k ? 4 4 2

2 1 1 2 ?k?? 或 ?k ? 2 2 2 2

??????????????????13 分

-9-


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