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【湖北省专用】2014届高考数学(理科)二轮复习方案专题课件:专题四 数列


湖北省专用

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专题四

/>数列

第9讲

等差数列、等比数列

第10讲 圆锥曲线的热点问题教

核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第9讲 等差数列、等比数列

第9讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
1 . [2012· 江西卷改编] 设数列 {an} , {bn} 都是 等差数列① ,若 a1 +b1=7,a3 +b3=21 ,则 a5+b5= ________.

——主干知识 ——
? 等差数列 的概念与通项 关键词:等差 数列、通项公式, 如①.

[答案] 35
[解析] 根据等差数列的定义可知,a1+b1,a3+b3,a5+ b5 也是等差数列.

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核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
2. [2012· 辽宁卷改编] 在等差数 列{an}中,已知 a4+a8=16② ,则 a2 +a10=________.

——主干知识 ——
? 等差数列 项的性质 关键词:等差 数列、项的性质, 如②.

[答案] 16
[解析] a2+a10=a4+a8=16.

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核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
3 . [2012· 重庆卷改编 ] 在等差数 列 {an} 中, a2 = 1 , a4 = 5 ,则 {an} 的 前10项和③ S10=________.

——主干知识 ——
? 等差数列 求和公式 关键词:等差 数列、和,如③.

[答案] 80
[ 解析] 由已知可得 a1 =-1 ,d =2,所以 S10 =-10 + 10×9=80.

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核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
4 . [2013· 新课标全国卷改编 ] 2 1 若数列{an}的前 n 项和 Sn=3an+3, 则 {an} 的 通项公式 ________.
[答案] (-2)n-1


——主干知识 ——
? 等比数列 概念与通项 关键词:等比 数列、通项公式, 如④.



an =

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核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
2 1 [解析] 因为 Sn= 3an+3 ①,所以 2 1 Sn-1= an-1+ (n≥2)②,①-② 得 an 3 3 2 2 = an - an - 1(n≥2) ,即 an =- 2an - 3 3 2 1 ( n ≥ 2) ,又因为 S = a = a + ?a = 1 1 1 3 1 3 1 1,所以数列 {an}是以 1 为首项,-2 - 为公比的等比数列,所以 an=(-2)n 1.

——主干知识 ——
? 等比数列 概念与通项 关键词:等比 数列、通项公式, 如④.

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核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
5 . [2013· 广东卷改编] 若等比 1⑤ 数列 {an} 满足 a2a4= ,则 a1a 2 3 a5 2 =________.
1 [答案] 4
[解析] 所以 1 2 a1a5=a2a4=a3= , 2 2 4

——主干知识 ——
? 等比数列 项的性质 关键词:等比 数列、项的性质, 如⑤.

12 1 2 a1a3a5= = .

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核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
6 . [2013· 全国卷改编] 已知数 4 列{an}满足 3an+1+an=0,a2=-3, 则{an}的 前10项和⑥ 等于________.

——主干知识 ——
? 等比数列 求和公式 关键词:等比 数列、和,如⑥.

[答案] 3(1-3-10)

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核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列

—— 体验高考 ——
[解析] 由 3an+1+an=0, 得 an≠0(否 an+1 1 则 a2=0)且 =- ,所以数列{an}是 3 an 1 公比为- 的等比数列,代入 a2 可得 a1 3 =4 , 110 4×1-- 3 110 故 S10= = 3× 1 - 1 3 1 +3 - =3(1-3 10).

——主干知识 ——
? 等比数列 求和公式 关键词:等比 数列、和,如⑥.

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等差数列、等比数列

—— 基础知识必备 ——

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等差数列、等比数列

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等差数列、等比数列

?

考向一

数列的一般问题

考向:数列的性质(单调性、最值),数列的通项与前 n 项和的关系,简单的递推数列等. 例 1 [2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设△AnBnCn 的三边长分别
命 题 考 向 探 究

为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,?.若 cn+an bn+an b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= 2 ,cn+1= 2 , 则( ) A. {Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
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等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

1 因为 an+ 1= an,所以 an= a1.又因为 bn+ 1+cn+ 1= (bn 2 1 1 + cn)+ an= (bn+ cn)+ a1,所以 bn+ 1+ cn+ 1- 2a1= (bn+cn- 2a1),所 2 2 1 以 bn+ cn- 2a1= n(b1+ c1- 2a1),又因为 b1+ c1- 2a1= 0,所以 bn+ 2 cn= 2a1,故 △AnBnCn 中边 BnCn 的长度不变,另外两边 AnBn, AnCn 1 的和不变.因为 bn+ 1- cn+ 1=- (bn- cn),且 b1- c1>0,所以 bn- cn 2 ? 1?n- 1 =?- ? (b1- c 1),当 n→+ ∞时,bn→cn,也就是 AnCn→AnBn,所 ? 2? 以 △AnBnCn 中 BnCn 边上的高随着 n 的增大而增大.设 △AnBnCn 中 1 BnCn 边上的高为 hn,则 {hn}单调递增,所以 Sn= a1hn 是增函数.答 2 案为 B. [解析 ] B
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等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

小结:本题具有较强的综合性和较大的难度,解 题的关键是弄清楚an,bn,cn这三者之间的关系.

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等差数列、等比数列
变试题 已知函数
? ?(1-3a)x+10a(x≤6), f(x)=? x-7 若 ? ?a (x>6),

数列{an}满足 an=f(n)(n∈N*)且{an}是递减数列,则实数 a 的
命 题 考 向 探 究

取值范围是________________.
1 5 [答案] <a< 3 8

[解析] 只要 1-3a<0,0<a<1,f(6)>f(7)即可, 1 1 5 即 <a<1 且 6-8a>1,即 <a< . 3 3 8

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?

等差数列、等比数列
考向二 高考中等差(等比)数列的常见基本问题

考向:等差数列的概念、通项与求和,等比数列的概念、通 项与求和,以及与此相关的一些问题.
命 题 考 向 探 究

例 2 (1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列选项中一 定成立的是( )

A.若 a1>0,则 a2013<0 B.若 a2>0,则 a2014<0 C.若 a1>0,则 S2013>0 D.若 a2>0,则 S2014>0 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已 知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为________.

[答案] (1)C (2)-49
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等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)a2013=a1q2012,当 a1>0 时,a2013>0,选项 A 的结论 不成立;同理当 a2>0 时 a2014=a2q2012>0,选项 B 的结论不成立; 当公比 q=1 时,显然选项 C 的结论成立,当 q ≠1 时,S2013= a1(1-q2013) ,当 q<0 时,1-q2013>0,1-q>0,此时 S2013>0, 1-q 当 0<q<1 时,1-q2013>0,1-q>0,此时 S2013>0,当 q>1 时,1 -q2013<0,1-q<0,此时 S2013>0,故选项 C 的结论成立;当 a1 =-1,q=-1 时,满足 a2=1>0,但此时 S2 014=0,选项 D 中的 结论不一定成立. 10 2 (2)由已知,a1+a10=0,a1+a15= ?d= ,a1=-3,所以 3 3 n3-10n2 nSn= ,易得 n=6 或 n=7 时,nSn 出现最小值.当 n=6 3 时,nSn=-48;n=7 时,nSn=-49.故 nSn 的最小值为-49.
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等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

小结:等差数列、等比数列问题的基本解法是“ 基本量”方法,即通过已知条件求出等差数列的首项

和公差、等比数列的首项和公比,其他的问题都可以 使用基本量表达从而加以解决.

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等差数列、等比数列
S8 (1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 = S4 ) C.2 D.± 2

变试题

17,则其公比 q=(
命 题 考 向 探 究

A.

1 2

B.±

1 2

(2)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a5=4a3,则数列{an}的 前 10 项的和等于( A.23 B.95 ) C.135 D.138

[答案] (1)D (2)B

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等差数列、等比数列

1-q8 8 4 [解析] (1)根据已知得 4=17,即 q -17q +16=0,解得 1-q q4=1(舍去)或 q4=16,所以 q4=16,解得 q=± 2.
命 题 考 向 探 究

(2)根据等差数列的性质得 a2+a4=2a3=4,得 a3=2,进而 10×9 a5=8, 所以公差 d=3, 所以 a1=-4, 所以 S10=-4×10+ 2 ×3=-40+135=95.

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?

等差数列、等比数列
考向三 等差(等比)数列的判断与证明

考向:等差数列的判断与证明,等比数列的判断与证明. 例 3 (1)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-
命 题 考 向 探 究
1)+2

+?+am(n-1)+m, cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2· ?· am(n-1)+m(m, n∈N*), )

则以下结论中一定正确的是(

A.数列 {bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm

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等差数列、等比数列

2 2an * (2)在数列{an}中, a1=3, 且对任意的 n∈N 都有 a n+1= . a n +1
?1 ? 求证:数列? -1?是等比数列. ? an ?

命 题 考 向 探 究

[答案] (1)C

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等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

[解析] 取 an=1,q=1,则 bn=m,cn=1,排除 A;取 an=1, cn+1 q = - 1 , m 取 正 偶 数 , 则 bn = 0 , 排 除 B ; = cn amn+1·amn+2·?·amn+m =qm·qm·?·qm,\s\do4(共 m am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1)+m 2 个))=qm ,故选 C. an+1 1-an 1 1 2an 1 (2)证明:由 an+1= ,得 -1= -1= =2 2 a 2 a an an+1 an+1 n n 2 1 1 1 1 1 -1.又由 a1=3,得 -1=2≠0,因此数列 -1 是以2为首项,2 a1 an 为公比的等比数列.

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等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

小结:判断数列是否为等差数列、等比数列的基本 方法是定义法.在判断一个数列是否为等比数列时,要

注意数列的首项是否为零,其次有时需要分公比等于1和 不等于1进行讨论.

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等差数列、等比数列
变试题 (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a 是不为 0 )

的常数),那么数列{an}( A.一定是等差数列
命 题 考 向 探 究

B.一定是等比数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 1 1 (2)已知数列{an}是首项为 a1=4,公比 q=4的等比数列.设 1 bn+2=3log4an(n∈N*).求证:数列{bn}是等差数列.

[答案] (1)C
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等差数列、等比数列

[解析] 当 n=1 时可得 a1=a-1,当 n≥2 时可得 an=an-an
-1

=(a-1)an-1,a1 也适合这个式子,故数列{an}的通项公式是 an

=(a-1)an-1.当 a=1 时该数列的各项都是零,此时数列{an}为等
命 题 考 向 探 究

差数列,当 a≠1 时,数列{an}为等比数列. (2)证明:由已知可得 an=a1q 11 bn+2=3log44n=3n, ∴bn=3n-2.∵bn+1-bn=3,∴数列{bn}为等差数列.
n-1

1n =4 ,

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?

等差数列、等比数列
考向四 等差(等比)数列的综合

考向:等差数列与等比数列的综合应用,数列与其他知识的 综合.
命 题 考 向 探 究

例 4 已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn. (1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围.

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等差数列、等比数列

解:(1)因为等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成等比
2 数列,所以 a2 1=1×(a1+2),即 a1-a1-2=0,(3 分)

解得 a1=-1 或 a1=2.(6 分)
命 题 考 向 探 究

(2)因为等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9,所以 5a1+
2 10>a2 1+8a1,即 a1+3a1-10<0,(10 分)

解得-5<a1<2.(12 分) 【答题步骤】 第一步:根据 1,a1,a3 成等比数列,建立关于 a1 的方程求 a1. 第二步: 根据 S5>a1a9 建立关于 a1 的不等式求 a1 的取值范围.
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等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

小结:等差数列、等比数列的综合问题的解题关键 仍然是“基本量”方法,其通过方程或者方程组求出数 列的基本量,然后再解决后续问题.

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等差数列、等比数列

变试题

已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+?

+an, B(n)=a2+a3+?+an+1, C(n)=a3+a4+?+an+2, n=1, 2, ?. (1)若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等
命 题 考 向 探 究

差数列,求数列{an}的通项公式; (2)证明:数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是 对任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)成公比为 q 的等比数列.

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等差数列、等比数列

解:(1)因为对任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列,所 以 B(n)-A(n)=C(n)-B(n), 即 an+1-a1=an+2-a2,亦即 an+2-an+1=a2-a1=4.
命 题 考 向 探 究

故数列{an}是首项为 1,公差为 4 的等差数列. 于是 an=1+(n-1)×4=4n-3. (2)①必要性:若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则对任意 n∈N*,有 an+1=anq. 由 an>0 知,A(n),B(n),C(n)均大于 0,于是 B(n) a2+a3+?+an+1 q(a1+a2+?+an) = = =q, A(n) a1+a2+?+an a1+a2+?+an C(n) a3+a4+?+an+2 q(a2+a3+?+an+1) = = =q, B(n) a2+a3+?+an+1 a2+a3+?+an+1
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等差数列、等比数列

命 题 考 向 探 究

B(n) C(n) 即 = =q,所以 A(n),B(n),C(n)成公比为 q A(n) B(n) 的等比数列. ②充分性:若对于任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)成公比为 q 的等比数列, 则 B(n)=qA(n),C(n)=qB(n), 于是 C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],得 an+2-a2=q(an+1-a1), 即 an+2-qan+1=a2-qa1. 由 n=1 得 B(1)=qA(1), 即 a2=qa1,从而 an+2-qan+1=0. an+2 a2 因为 an>0,所以 = =q,故数列{an}是首项为 a1,公比 an+1 a1 为 q 的等比数列. 综上所述,数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件 是对任意 n∈N*,A(n),B(n),C(n)成公比为 q 的等比数列.
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等差数列、等比数列

——推理认证能力——

[等差数列、等比数列的存在探索与证明] 1.存在探索性问题是高考考查数学能力的良好素材, 高考重视存在探索性问题的考查.存在探索性问题的基本 解法是:先假设其存在,在这个假设下,进行推理论证或 计算,当得出符合数学规律的最后结论时,肯定其存在性,
命 题 立 意 追 溯

否则就不存在. 2.等差数列、等比数列的存在探索性问题,其解法与

一般的存在探索性问题的解法相比,特殊性在于数列中的
项数是正整数,在解题中注意这个特点.
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等差数列、等比数列

示例

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意正

整数 n,点(an+1,Sn)在直线 3x+2y-3=0 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2) 是否存在实数
? ? ? λ ? ? λ ,使得数列 Sn+λ· n + n ? 为等差数 ? 3 ? ? ?

列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由.
命 题 立 意 追 溯
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等差数列、等比数列

解:(1)由题意可得 3an+1+2Sn-3=0, ① ②

n≥2 时,3an+2Sn-1-3=0,

①-②得 3an+1-3an+2an=0,整理得 an+1 1 = (n≥2),又∵a1=1,∴数列{an}是首项为 1,公 an 3
命 题 立 意 追 溯
?1?n-1 1 比为3的等比数列,∴an=?3? . ? ? ? ? 1?n? 3?1-?3? ? ? ? ? ?

(2)由(1)知 Sn=

2


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等差数列、等比数列
? λ? 若?Sn+λ· n+ n?为等差数列,则 3? ? ? 19 ? 4 2?S2+ λ?=S1+ λ 9 ? 3 ?

82 3 +S3+ λ ,得 λ= , 27 2

3(n+1) 3 3 3 又 λ = 时 , Sn + · n + = ,显然 2 2 2 2·3n
? ?3(n+1)? ? ? ?成等差数列,故存在实数 ? ? 2 ? ?

3 λ= ,使得数列 2

命 题 立 意 追 溯

? λ? ?Sn+λ· n+ n?成等差数列. 3? ?

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等差数列、等比数列

小结:本题的特点是先从特殊的情况得出λ值,在 这个λ值下,一般结论也成立,这是解决含有参数的等 差数列、等比数列证明的一个重要方法,其实质是一 般与特殊的数学思想方法的运用,也是合情推理与演 绎推理的有机结合.
命 题 立 意 追 溯
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等差数列、等比数列

跟踪练

1 已知数列{an}满足 a1=-2,1+a1+a2+?+

an-λan+1=0(λ≠0 且 λ≠-1,n∈N*).
2 (1)若 a2 =a1·a3,求数列{an}的通项公式 an;

(2) 在(1)的条件下,数列 {an}中是否存在三项构成等差 数列?若存在,请求出此三项;若不存在,请说明理由.
命 题 立 意 追 溯
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等差数列、等比数列

1 解:(1)令 n=1,得到 a2= , 2λ 1 1 令 n=2,可得到 a3= + 2, 2λ 2λ 由 a2 2=a1·a3,计算得 λ=-2. 由 1+a1+a2+?+an-λan+1=0,可得 1+a1+a2+?+an-1-λan=0(n≥2),
命 题 立 意 追 溯

所以有(1+λ)an-λan+1=0(n≥2),又 λ=-2, 1+λ 1 得到 an+1= a = a (n≥2), λ n 2 n 故数列{an}从第二项起是等比数列.
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等差数列、等比数列

1 1 又因为 a2= =- , 4 2λ 1 ?1?n-2 1 1 所以 n≥2 时,an=-4·?2? =- n,又 a1=-2满足 an 2 ? ? 1 =- n, 2 1 所以数列{an}的通项公式是 an=- n. 2
命 题 立 意 追 溯
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等差数列、等比数列

(2)假设数列{an}中存在三项 am,ak,ap 成等差数列, 不妨设 m>k>p≥1,因为数列{an}单调递增, 所以 2ak=am+ap, 即
? 1? 1 1 1 1 1 2×?- k?=- m- p,化简得 k-1= m+ p,两边同乘 2m 2 2 2 2 ? 2? 2

可得 2m-k+1=2m-p+1, 若此式成立,必有 m-p=0 且 m-k+1=1,
命 题 立 意 追 溯

故有 m=p=k,与假设 m>k>p 矛盾, 所以数列{an}中不存在三项构成等差数列.

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等差数列、等比数列

——教师备用习题—— [备选理由] 例1为简单的递推数列,可在数列的一般问

题考向中作为备用.例 2 是等差数列等比数列的综合,可
作为等差数列与等比数列综合考向的补充.例 3 是数列与 不等式的综合,可在本讲结束时使用.

命 题 立 意 追 溯
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等差数列、等比数列
例 1 数列{an}的前 n 项和记为 Sn, a1=1, an+1=2Sn+1(n≥1),

则数列{an}的通项公式是________.
[答案] an=3n-1
[解析] (1)方法一: 由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得 an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2). 又 a2=2S1+1=3,所以 a2=3a1,
命 题 立 意 追 溯

故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, 所以 an=3n-1. 方法二:由于 an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1, 所以 Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,
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等差数列、等比数列
? 1 1? 把这个关系化为 Sn+1+2=3?Sn+2?, ? ? ? 1? 1 3 即得数列?Sn+2?为首项是 S1+2= 2,公比是 ? ?

3 的等比数列,

1 3 n-1 1 n 故 Sn+2=2×3 =2·3 , 1 1 n 故 Sn= ·3 - . 2 2
命 题 立 意 追 溯

所以,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n 1,


当 n=1 时 a1=1 也适合这个公式, 故所求的数列{an}的通项公式是 an=3n 1.


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第9讲

等差数列、等比数列

例 2 已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 成等比 S3-S2 数列,Sn 为{an}的前 n 项和,则 的值为________. S5-S3 [答案] 2
2 [解析] 设公差为 d,则(a1+2d)2=a1(a1+3d),即 a1 +4a1d+ 2 4d2=a1 +3a1d,解得 a1=-4d(舍去 d=0).

命 题 立 意 追 溯

S3-S2 -4d+2d a3 故 = = =2. S5-S3 a4+a5 -4d+3d-4d+4d

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第9讲

等差数列、等比数列

例 3 等差数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,满足 2S2=a2(a2+1),且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+13 (2)设 bn= ,求数列{bn}的最小值项. n

命 题 立 意 追 溯
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第9讲

等差数列、等比数列
2 解:(1)由 2S2=a2 2+a2,可得 2(a1+a1+d)=(a1+d) +(a1+

d). 又 a1=1,可得 d=1 或 d=-2(舍去). 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 an=n. n(n+1) (2)根据(1)得 Sn= , 2
命 题 立 意 追 溯

2Sn+13 n(n+1)+13 13 bn= = =n+ +1. n n n 13 由于函数 f(x)=x+ (x>0)在(0, 13)上单调递减, x
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第9讲

等差数列、等比数列

在[ 13,+∞)上单调递增,而 3< 13<4, 13 22 88 13 29 87 且 f(3)=3+ = = ,f(4)=4+ = = , 3 3 12 4 4 12 29 33 所以当 n=4 时,bn 取得最小值,且最小值为 +1= . 4 4 33 即数列{bn}的最小值项是 b4= . 4
命 题 立 意 追 溯
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第10讲 数列求和及数列的简 单应用

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
1. [2013· 重庆卷] 已知{an}是等 差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其 前 n 项和, 若 a1, a2, a5 成等比数列, 则 S8=
[答案] 64


——主干知识 ——
? 公式求和 关键词:等差数列 求和、等比数列求 和,如①.

.

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第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
[解析] 设数列{an}的公差为 d, 由 a1,a2,a5 成等比数列,得(1+d)2 =1· (1+4d),解得 d=2 或 d=0(舍 8×(8-1) 去), 所以 S8=8×1+ × 2 2=64.

——主干知识 ——
? 公式求和 关键词:等差数列 求和、等比数列求 和,如①.

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第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
2 .[2012· 福建卷改编] 已知数 nπ 列{an}的通项公式为 an=ncos 2 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 则 S2 012=


——主干知识 ——
? 分组求和 关键词: 分组、 求和,如②.

.

[答案] 1 006

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第10讲
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数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
nπ [ 解析 ] 由 an = ncos 2 ,可得 S2012 = 1×0 - 2×1 + 3 × 0 + 4×1 +? +2012×1 =-2+4 -6 +? -2 010+2012=2×503=1 006.

——主干知识 ——
? 分组求和 关键词: 分组、 求和,如②.

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第10讲
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数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
3 . [2013· 浙江卷改编] 在数列 {an} 中,已知 an=11-n③ ,则其绝 对 值 的 前 n 项 和 ____________________. Sn =

——主干知识 ——
? 分段求和 关键词:通项 公式、分段、求和, 如③.

? ?n(21-n),1≤n≤11, 2 ? [答案] ? ?n2-21n+220 ,n≥12 ? 2 ?

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第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
[解析] 分 n≤11 和 n≥12 两种情 况分段求和.当 n≤11 时,由等差数列 n(21-n) 求和公式得 Sn= , 当 n≥12 2 时,|an |=n-11,结合等差数列求和公 n2-21n+220 式可得 Sn= , 2 所 以 Sn = ? ?n(21-n),1≤n≤11, 2 ? ? 2 ?n -21n+220 ,n≥12. ? 2 ?

——主干知识 ——
? 分段求和 关键词:通项 公式、分段、求和, 如③.

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第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
4 .[2012· 全国卷改编] 已知等差 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5
? ? 1 ? ?④ ? =15, 则数列 ? 的前 a a ? n n+1? ? ?

——主干知识 ——
? 裂项求和 关键词:通项 公式、裂项、求和, 如④.

100 项和

为________.
100 [答案] 101

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第10讲
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数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
[解析] 由 a5=5,S5=15 可得 ?a1+4d=5, ? a = 1, ? ? 1 ? 可解得 ? 5× 4 ? 5a1+ 2 d=15, ?d=1 ? ? 1 1 1 ?an=n, 所以 = = anan+1 n(n+1) n 1 1 1 1 - , S100 = 1 - + - + ? + 2 2 3 n+1 1 1 1 100 - =1- = . 100 101 101 101

——主干知识 ——
? 裂项求和 关键词:通项 公式、裂项、求和, 如④.

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第10讲
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数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
5 .[2012· 江西卷改编] 已知数 列{an}的通项公式是 an=n· 2 ,则 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Tn = ________________.
n⑤

——主干知识 ——
? 错位相减 求和 关键词:乘以 公比、错位相减、 等比数列求和,如 ⑤.

[答案] 2+(n-1)·2n+1

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第10讲
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数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
[ 解析 ] Tn = 2 + 2· 22 + 3· 23 + ? + n· 2n,① 2Tn = 1· 22 + 2· 23 + 3· 24 + ? + (n - 1)·2n+n· 2n+1,② ①-②得-Tn=2+22+23+?+2n + -n· 2n 1, 整理可得 Tn=2+(n-1)· 2n+1.

——主干知识 ——
? 错位相减 求和 关键词:乘以 公比、错位相减、 等比数列求和,如 ⑤.

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第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——

——主干知识 ——

? 数列的应 6.[2012· 湖南卷改编] 某公司一下 属企业从事某种高科技产品的生产.该 用 关键词:实际 企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其 投入生产, 到当年年底资金增长了 50%. 应用题、数列、递 预计以后每年资金年增长率与第一年的 推关系式,如⑥. 相同.公司要求企业从第一年开始,每 年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金 全部投入下一年生产.设第 n 年年底企 业上缴资金后的剩余资金为 an 万元,则
an+1与a⑥ n 的 关 系 式 是 ________________.
3 [答案] an+1= an-d. 2
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第10讲
核 心 知 识 聚 焦

数列求和及数列的简单应用

—— 体验高考 ——
[ 解析 ] 第 n + 1 年年底的资金为 an(1+50%),上缴资金 d 万元后剩余资 3 金 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2

——主干知识 ——
? 数列的应 用 关键词:实际 应用题、数列、递 推关系式,如⑥.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

—— 基础知识必备 ——

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

?

考向一 分组转化求和法

考向:把数列求和转化为几组分别求和,分段后求 和,分类后求和等.
命 题 考 向 探 究

例 1 在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),且 a1a3=4, a3+1 是 a2 和 a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=an+1+log2an(n∈N*),求数列 {bn}的前 n 项和 Sn.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

解 : (1) 由 an>0 可 知 公 比 q>0 , 则 可 得 ?a a =4, ? a2 = 4 , ? 1 3 ? 2 ? ?? ? ?2(a3+1)=a2+a4 ? ? 2(a3+1)=a2+a4 ? ? ?a2=2, ?a2=2, ? ?a1=1, ? ?? ?? 2? ? ? ? ?2(a2q+1)=a2+a2q ?q=2 ?q=2, n-1 故 an = 2 . (2)∵bn=an+1+log2an=2n+(n-1),∴Sn=(21+22+ n 2 ( 1 - 2 ) 3 n 2 + ? + 2 ) + [0 + 1 + 2 + ? + (n - 1)] = + 1-2 n(n-1) n(n-1) n+1 =2 + -2. 2 2
小结:主要是将数列{bn}求和问题转化为等差数列和等比数列求和问题.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用
裂项相消求和法

? 考向二

考向:通过对数列的通项公式的分解(裂项),使之产生相互 抵消的项,达到数列求和的目的.
命 题 考 向 探 究

x 例 2 已知函数 f(x) = ,数列 {an} 满足 a1 = 1 , a n + 1 = x+3 f(an)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an; 3n (2)若数列{bn}满足 bn= 2 anan+1, Sn=b1+b2+?+bn, 求证: 1 Sn<2.
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

an 1 3 解:(1)由已知 an+ 1= ,取倒数得 = + 1, an+ 3 an+ 1 an ? 1 1? 1 1 1 1 变形为 + = 3 + ,所以数列? +2 ?是首项为 an+ 1 2 an 2 ?an ? 1 1 3 + = ,公比为 3 的等比数列,(3 分 ) a1 2 2 1 1 3 n- 1 3n 所以 + = ×3 = , (5 分 ) 2 an 2 2 2 所以 an= n .(6 分 ) 3 -1 2× 3n (2)证明:由(1)知 bn= + ( 3n- 1)( 3n 1- 1) 1 1 = n - n+ 1 , 3 -1 3 -1 (8 分 )
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

1 1 1 - + - 1 2 2 3 -1 3 -1 3 -1 1 1 1 1 1 1 +?+ n - n+1 =2- n+1 <2.(12 分) 33 - 1 3 -1 3 -1 3 -1 【答题步骤】 ?1 1? 第一步: 变换已知的数列递推式, 得出数列 ? +2?为 ? an ? 等比数列, 求出其通项公式, 通过解方程的方法得出数列 {an}的通项公式. 第二步:利用裂项方法求和,放缩得出所证不等式. 所以 Sn = b1 + b2 + ? + bn =

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第10讲

数列求和及数列的简单应用
16.常见的裂项方法 数列

方法指导

裂项方法

? ? 1 ? ? n ( n + k ) ? ?

1 11 1 = - n( n+ k) k n n+ k 1 1 1 1 = - 4n2- 1 22n- 1 2n+ 1 1 n+ n+ 1 = n+ 1- n

命 题 考 向 探 究

? 1 ? ? 2 ? ?4n - 1 ? ? ? ?

1 n+

? ? n+ 1?

? 1? ?loga 1+ ?(a>0, a≠1) n? ?

1 loga 1+ = loga(n+ 1)- n logan
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

小结:裂项求和的基本思想是把数列的通项分 解为两项的差,即an=bn+1-bn的形式,在求数列{an}
命 题 考 向 探 究

的前n项和时就出现了相互抵消的项,最后的结果是两 项(或者四项)的和差.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用
n2 1 变试题 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,若 a1= ,a2 2 an+b

5 =6.
命 题 考 向 探 究

(1)求数列{an}的通项公式; an (2)设 bn= 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n +n-1

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

1 1 1 4 4 4 解:(1)由 S1= a1= ,得 = ;由 S2=a1+ a2= ,得 = , 2 3 a+ b 2 2a+ b 3 ? ? ?a+ b= 2, ?a= 1, n2 ∴? 解得? 故 Sn= . n + 1 ? 2 a + b = 3 , ? b = 1 , ? ? ( n- 1) 2 n2 当 n≥2 时 , an = Sn - Sn - 1 = - = n n+ 1 n3-( n- 1) 2( n+ 1) n2+ n- 1 = 2 . n( n+ 1) n +n n2+ n- 1 1 由于 a1= 也适合 an= 2 , 2 n +n n2+ n- 1 ∴ an= 2 . n +n an 1 1 1 (2)bn= 2 = = - , n + n- 1 n( n+ 1) n n+ 1

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

1 1 ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=b1+b2+?+bn-1+bn=1- + 2 2 1 1 1 1 1 1 n - +?+ - + - =1- = . 3 n-1 n n n+1 n+1 n+1

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第10讲

数列求和及数列的简单应用
错位相减求和法

? 考向三

考向:在等差数列、等比数列的混合问题中,出现一个等差 数列与一个等比数列对应项相乘后的新数列, 这个数列的求和使
命 题 考 向 探 究

用乘以等比数列的公比后,错位相减的方法. 例 3 已知数列 {an}满足 a1 =1 ,且 an = 2an-1 +2n(n≥2 且 n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn,并证明: n>2n-3. 2

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

解:(1)∵an=2an-1+2n(n≥2 且 n∈N*), an an-1 an an-1 ∴ n= n-1+1,即 n- n-1=1(n≥2,且 n∈N*), 2 2 2 2 an 1 ∴数列 n是等差数列,公差 d=1,首项为2, 2 an 1 1 于是 n=2+(n-1)· 1=n-2, 2 1 n ∴an=n- · 2. 2

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

1 3 1 1 2 (2)由 (1)得 Sn= · 2 + · 2 + ?+ n- · 2n, ① 2 2 2 1 3 5 1 + 2 3 4 2Sn= · 2 + · 2 + · 2 + ?+ n- · 2n 1, ② 2 2 2 2 1 + ①- ②得-Sn= 1+ 22+ 23+ ?+ 2n- n- · 2n 1 2 1 + = 2+ 22+ 23+ ?+ 2n- n- · 2n 1- 1 2 2( 1- 2n) 1 + = - n- · 2n 1- 1 2 1- 2 = (3- 2n)· 2n- 3. ∴ Sn= (2n- 3)· 2n+ 3. Sn ∵ Sn= (2n- 3)· 2n+ 3>(2n- 3)· 2n, ∴ n>2n- 3. 2

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

小结:错位相减求和的方法非常机械,其适用的 范围就是一个等差数列与一个等比数列对应项相乘后
命 题 考 向 探 究

得出的数列的求和,注意相减后得出n+1项和式的结 构,特别要注意两种情况:(1)第1项到第n项组成等比 数列;(2)第1项到第n项不能组成等比数列,但第2项到 第n项能组成等比数列.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

? 考向四 数列的简单应用 考向:数列在解决实际问题中的应用. 例 4 某校高一学生 1000 人, 每周一次同时在两个可容纳 600 人 的会议室开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的本校课程.要求每个 学生都参加,且第一次听“音乐欣赏”课的人数为 m(400<m<600, 其余的人听“美术鉴赏”课;从第二次起,学生可从两个课中自由 选择.据往届经验,凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生,下一次 会有 20%改选“美术鉴赏”,而选“美术鉴赏”的学生,下次会有 30%改选“音乐欣赏” ,用 an,bn 分别表示在第 n 次选“音乐欣赏” 课的人数和选“美术鉴赏”课的人数. (1)若 m=500,分别求出第二次、第三次选“音乐欣赏”课的人 数 a2,a3; (2)①证明数列{an-600}是等比数列,并用 n 表示 an; ②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过 5 800,求 m 的取值范围.
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

解:(1)由已知 an+bn=1 000,又 a1=500,所以 b1=500. a2=0.8a1+0.3b1=550,b2=450. a3=0.8a2+0.3b2=575.
命 题 考 向 探 究

(2)①由题意得 an+1=0.8an+0.3bn,又 an+bn=1000, 所以 an+1=0.8an+0.3(1000-an)=0.5an+300. an+1-600=0.5an-300=0.5(an-600). 由于 a1=m∈(400,600),所以 a1-600≠0.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

1 所以数列 {an - 600} 是首项为 m - 600 ,公比为 的等比数 2 1 1 列.所以 an-600=(m-600)× n-1,即 an=600+(m-600)× n 2 2 -1 . ②前十次听 “ 音乐欣赏 ” 课的学生总人次即为数列 {an}的 110 1-2 前 10 项和 S10.S10=600×10+(m-600)× 1 =6000+(m-600) 1-2 1023 × . 512

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 考 向 探 究

1023 由已知 S10≤5800,即 6000+(m-600)× ≤5800, 512 1023 即 200≤(600-m)× , 512 200×512 即 600-m≥ 1023 , 200×512 即 m≤600- 1023 ≈499.9,故 m≤499. 所以 m 的取值范围是(400,499]且 m∈N*.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

小结:解决数列实际应用问题的关键是把实际问 题随着正整数变化的量用数列表达出来,然后利用数
命 题 考 向 探 究

列知识对表达的数列进行求解(求和、研究单调性、最 值等),根据求解结果对实际问题作出答案.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

——运算求解能力——

[数列证明问题中的运算] 1.在数学证明中,证明过程往往是以计算为主的,即 通过计算的结果达到证明的目的,这说明运算求解能力在 数学证明中具有重要地位.典型的是函数导数试题中不等 式的证明、数列问题中不等式的证明.
命 题 立 意 追 溯

2.数列中的证明问题有等式的证明、不等式的证明、 数列性质的证明等,在数列的证明问题中计算是完成证明

的关键,运算求解能力是数列证明的核心.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

示例 [2013· 江西卷] 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满
2 2 足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

(1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 (2)令 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证 (n+2)2a2 n 5 明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn<64.
*

命 题 立 意 追 溯

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

2 解:(1)由 Sn -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得

[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于{an}是正项数列, 所以 Sn>0,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n- 1)2-(n-1)=2n.
命 题 立 意 追 溯

综上,数列{an}的通项为 an=2n.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 立 意 追 溯

n+1 (2)证明:由于 an=2n,bn= , (n+2)2a2 n ? 1 n+1 1? ?1 ? - 2 则 bn= 2 2 2= ?n ?. 16 ( n + 2 ) 4n (n+2) ? ? 1 1 1 1 1 1 1? ? Tn=16?1-32+22-42+32-52+?+ 2- ( n - 1 ) ? ? 1 1 1 ? 2+ 2- 2? (n+1) n (n+2) ? 1 1 1 1 1? 1? ?1+ 2? = 1+ 2- 2- 2< 16 2 (n+1) (n+2) 16? 2 ? 5 =64.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

小结:本题第二问裂项的依据是(n+2)2-n2=4(n

命 题 立 意 追 溯

+1),能快速找到这个方法,需要考生熟练掌握数学 运算.在数列前n项和的不等式证明中有两个基本思路 :一是先求和再放缩,其前提是数列求和能够完成; 二是有的数列的前n项和很难求,甚至无法求,这时需 要先对通项进行放缩(放缩后便于求和),再求和,再放 缩,达到证明的目的.

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

跟踪练 [2013· 陕西卷] 设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

命 题 立 意 追 溯
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

解:(1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a2+?+an=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1,① qSn=a1q+a1q2+?+a1qn,② ①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn, a1(1-qn) ∴Sn= , 1-q
命 题 立 意 追 溯

?na1,q=1, ? ∴Sn=?a1(1-qn) ,q≠1. ? 1-q ?

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第10讲

数列求和及数列的简单应用

(2)假设{an+1}是等比数列, 则对任意的 k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), 即 a2 k +1+2ak +1+1 =akak+2+ak+ak+2+1,
2k k 即 a2 1q +2a1q

=a1qk 1·a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1,
- + - +

∵a1≠0,
命 题 立 意 追 溯

∴2qk=qk 1+qk 1.
- +

∵q≠0, ∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾, ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

——教师备用习题—— [备选理由] 例1是数列与不等式的综合,综合度较高,

例 2 是数列的实际应用,也有一定的难度,这两个例题可
在适当的考向中使用.

命 题 立 意 追 溯
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

例 1 设曲线 C:x2-y2=1 上的点 P 到点 An(0,an)的距离的 最小值为 dn,若 a1= 2,an+1= 2dn,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 (2)是否存在常数 M,使得对?n∈N ,都有不等式 3+ 3+?+ a1 a2 1 <M 成立?请说明理由. a3 n
*

命 题 立 意 追 溯
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第10讲

数列求和及数列的简单应用

命 题 立 意 追 溯

解:(1)设点 P(x,y),则 x2-y2=1, 所以|PAn|= x2+(y-an)2 2 ? an?2 2+an = 2?y- ? + , 2? 2 ? an 因为 y∈R,所以当 y= 时,|PAn|取得最小值 dn, 2 2 2+an 且 dn = , 2 1 又 an+1= 2dn,即 dn= an+1, 2 2+a2 1 n 将 dn= an+1 代入 dn= 2 2

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数列求和及数列的简单应用

1 得 an+1= 2

2+a2 n , 2

2 2 两边平方得 a2 n+1-an=2,又 a1=2, 2 故数列{an }是首项为 a 2 1=2,公差为 2 的等差数列,

所以 a2 n=2n, 因为 an+1= 2dn>0 且 a1>0,所以 an= 2n.
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数列求和及数列的简单应用

命 题 立 意 追 溯

1 3, 2· k 1 1 1 当 k≥2 时, 3< = 2 k (k -1)k (k-1)k(k+1) 1 1 = · . k (k-1)(k+1) 1 2 2 因为 = < = k+1 - k-1 , k 2 k k-1+ k+1 1 1 1 所以 · < ( k+1 k (k-1)(k+1) (k-1)(k+1) 1 1 - k-1)= - , k-1 k+1 1 1 1 所以 3< - , k k-1 k+1
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1 (2)因为 3= ak 2

第10讲
n

数列求和及数列的简单应用

k =2

?

1 n 3< ? k k=2

? ? ? ?

1 1 ? ? - k-1 k+1? ?

1 1 1 1 =1+ - - <1+ , 2 2 k k+1 所以 ?
n

i=1

1? 1 1 1 n 1 1 1 ? ? ? 1 + + < + 3= ? ai 2 2 2 2 k=2 k3 2 2 2 2? 2? ? ?

1 2 = + . 4 2
命 题 立 意 追 溯

1 2 故存在常数 M=4+ 2 ,对?n∈N*, 1 1 1 都有不等式 3+ 3+?+ 3<M 成立. a1 a2 an
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数列求和及数列的简单应用

命 题 立 意 追 溯

例 2 某企业去年的纯利润为 500 万元, 因设备老化等原因, 企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今 年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次性投 入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的 ? 1? 情况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500?1+ n?万元(n 为正 2? ? 整数). (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计 纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(扣 除技术改造资金),求 An,Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技 术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?

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数列求和及数列的简单应用

命 题 立 意 追 溯

解:(1)依题意知,数列{An}是一个以 500 为首项,-20 为 公差的等差数列, n(n-1) 2 所以 An=480n+ × ( - 20) = 490 n - 10 n , 2 ? ? ? 1? 1? 1? Bn=500?1+ ?+500?1+ 2?+?+500?1+ n?-600 2? 2? 2? ? ? ? ?1 1 1? =500n+500?2+22+?+ n?-600 2? ? 1? ?1?n? ?1-? ? ? 2? ?2? ? =500n+500× 1 -600 1- 2 500 =500n- n -100. 2

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数列求和及数列的简单应用

(2)依题意得 Bn>An, 500 即 500n- n -100>490n-10n2, 2 50 2 可化简得 n <n +n-10, 2 50 所以可设 f(n)= n ,g(n)=n2+n-10. 2 又因为 n∈N*,所以可知 f(n)是减函数,g(n)是增函数,
命 题 立 意 追 溯

50 50 又 f(3)= >g(3)=2,f(4)= <g(4)=10, 8 16 则 n=4 时不等式成立,即 4 年.

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