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广东省韶关市2014届高三4月高考模拟(二模)数学【理】试题及答案

时间:2014-04-28


广东省韶关市 2014 届高三 4 月高考模拟(二模) 数学试题(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:圆柱侧面积公式 S侧 ? 2? rl ,其中 r 是圆柱底面半径, l 为圆柱的母线. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求 1. i 是虚数单位,则复数 z = A.第一象限 C.第三象限

2i ? 1 在复平面内对应的点在( i
B.第二象限 D.第四象限 ) D. ( , )
?



2.函数 f ( x) ? 2x ? 4 x ? 3 的零点所在区间是( A. ( , )

1 1 4 2

B. ( ? ,0)

1 4

C. (0, )

1 4

1 3 2 4

3. 在钝角 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 1 , B ? 30 ,则 ?ABC 的 面积为( A. ) B.

1 4

3 2

C.

3 4

D.

1 2
开始 S=0 n=1 S=S+n n=n+2 否 是 输出 S

4. 某个几何体的三视图如右上图(其中正视图中的圆 弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为( A. 92 ? 14? C. 92 ? 24? B. 82 ? 14? D. 82 ? 14? )

5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 16 ,则判断框内 的条件( ) A. n ? 6 ? B. n ? 7 ? C. n ? 8 ? D. n ? 9 ?

6. 给出下列四个命题,其中假 命题是( .



结束

A.从匀速传递的新产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; B.样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度; C.在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好; D.设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) ,若 P( x ? 1) ? p, 则 P(?1 ? x ? 0) ? 7. 给出如下四个判断:
① ?x0 ? R,e
x0

1 ?p. 2

? 0 ;② ?x ? R+ ,2 x ? x 2 ;
? x ?1 ? ? 0 ? , B ? x x ? 1 ? a ,则“ a ? 1 ”是“ A B ? ? ”的必要不充分条 ? x ?1 ?

③设集合 A ? ? x

?

?

件; ④ a , b 为单位向量, 其夹角为 ? ,若 a ? b ? 1 ,则 其中正确的判断个数是:( A.1 B.2 ) C.3

?
3

?? ?? .

D.4

8. 若直角坐标平面内的两不同点 P 、Q 满足条件: ①P 、Q 都在函数 y ? f ( x) 的图像上; ②P 、Q 关于原点对称,则称点对 [ P, Q] 是函数 y ? f ( x) 的一对“友好点对”(注:点对 [ P, Q] 与 [Q, P] 看作

? 1 x ?( ) , x ? 0 同一对“友好点对”).已知函数 f ( x ) = ? 2 ,则此函数的“友好点对”有( ? ? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?
A. 0 B. 1 C.2 D. 3

)对.

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.函数 f ( x) ?

1 6 ? x ? x2

的定义域是________.

10. 已知向量 a ? (sin x, cos x) , b ? (2,?3) ,且 a ∥ b ,则 tan x ? ________ 11. 已知两条平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与 l2 : ax ? 8 y ? 2 ? 0 之间的距离是 12. 抛物线 y ? x 在 A(1,1) 处的切线与 x 轴及该抛物线所围成的图形面积为
2

.

13.已知 log 1 ( x ?
2

y ? 4) ? log 1 (3 x ? y ? 2) ,若 x ? y ? ? 恒成立, 则 ? 的取值范围是
2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程选做题)若以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,曲线 C1 的极坐标方程为:

? 2 ? 4? cos? ? 4? sin ? ? 6 ? 0 上的点到曲线 C 2 的参数方程为: ?
离的最小值为 .

? x ? ?2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t

( t 为参数)的距
C D

15.(几何证明选讲选做题)如图所示, AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径, CD 是圆 O 的弦, BA , CD 的延长线交于点 P ,若 PA ? 4 , PD ? 5 , 则 ?CBD ?

B

P O A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 cos x sin x ? 2 cos2 x. (1)求 f (

4? ) 的值; 3

(2)当 x ? ?0,

? ?? 时,求函数 f ( x) 的值域. ? 2? ?

17.(本题满分 12 分) 袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球,且黑球和白球的个数比为4:3,从中任取 2 个球都是白球的概率为 , 现不放回从袋中摸取球,每次摸一球,直到取到白球时即终止,每个球 在每一次被取出的机会是等可能的,用 ? 表示取球终止时所需要的取球次数. (1)求袋中原有白球、黑球的个数; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

1 7

18.(本题满分 14 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,
F

E

M

D

C

A

B

AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 , M 为 CE 的中点.
(1)求证: BM ∥平面 ADEF ; (2)求证:平面 BDE ? 平面 BEC ; (3)求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值.

19.(本题满分 14 分) 已知点 A , B 的坐标分别为 (?2, 0) , (2, 0) .直线 AP , BP 相交于点 P ,且它们的斜率之积是

?

1 ,记动点 P 的轨迹为曲线 C . 4 (1)求曲线 C 的方程;
(2)设 Q 是曲线 C 上的动点,直线 AQ , BQ 分别交直线 l : x ? 4 于点 M , N ,线段 MN 的中点

为 D ,求直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围; (3)在(2)的条件下,记直线 BM 与 AN 的交点为 T ,试探究点 T 与曲线 C 的位置关系,并说 明理由.

20.(本题满分 14 分)

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 Tn 是数列 ? 和,求证: Rn ? Tn .

已知正项数列 ?an ? 中,其前 n 项和为 Sn ,且 an ? 2 Sn ? 1 .

? ?

? ? ? 2 a1a2 an ? ? 的前 n 项和, Rn 是数列 ? ? 的前 n 项 ? ? ? (a1 ? 1)(a2 ? 1) (a n ?1) ? ? an ? an ?1 ?

21.(本题满分 14 分)

(x + ) ? ax ,其中 a ? R 且 a ? 0 . 已知函数 f ( x) ? ln
(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2) 若不等式 f ( x ) ? ax 恒成立,求实数 a 取值范围; (3)若方程 f ( x ) ? 0 存在两个异号实根 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? 0

1 a

广东省韶关市 2014 届高三 4 月高考模拟(二模) 参考答案和评分标准

一.选择题: AACAC AAB 1. 解析: z =

2i ? 1 ? 2 ? i, z 对应点在第一象限 , 选 A i

2. 解析: f ( ) ? 2 4 ? 2 ? 0 ,

1 4

1

1 1 f ( ) ? 2 2 ? 1 ? 0 ,选 A 2

3. 解析:由

AB AC 3 ? ? ? ? 得 sin C ? , C ? 120 ,或 C ? 60 (舍去),则 A ? 30 sin C sin B 2

S?ABC ?

1 3 AB ? AC sin A ? .选 C 2 4
1 ? 2 ? ? ? 2 ? 5 ? 92 ? 14? ,选 A 2

4. 解析: 三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体,其中,长方体的上底面与 “半圆柱”轴截面重合. S ? (16 ? 20) ? 2 ? 20 ? ? ? 2 ?
2

5. 解析:第一次循环, S ? 1, n ? 3 ,不满足条件,循环。第二次循环, S ? 1 ? 3 ? 4, n ? 5 ,不满 足 条 件 , 循 环 。 第 三 次 循 环 , S ? 4 ? 5 ? 9, n ? 7 , 不 满 足 条 件 , 循 环 。 第 四 次 循 环 ,

S ? 9 ? 7 ? 16, n ? 9 ,满足条件,输出。所以判断框内的条件是 n ? 8 ,选 C
6. 解析:A.选项 A 中的抽样为系统抽样,故此命题为假命题.其它选项为真命题.故选 A

2 ?x , 7. 解析: ①不正确; 当 x ? 2 时, ②不正确;A ? (?1,1) , B ? (1 ? a,1 ? a) , ?x ? R, e x ? 0 ,
x 2

当 a ? 1 时,B ? (0, 2) , A 得, cos ? ?

B ? ? ,反之,若 A

B ? ? ,不一定有 a ? 1 ,③不正确;由 a ? b ? 1

1 ? , ? ?[0, ? ] ,所以 ? ? ? ? ,④正确.选 A 3 2 1 x 8. 解析: 根据题意可知只须作出函数 y ? ( ) ( x ? 0) 的图象关于原点对称的图 2 2 象,确定它与函数 y ? ? x ? 4 x( x ? 0) 交点个数即可,由图象可知,只有一个交
点.选 B 二.填空题:9. (?3, 2) ; 10. ?

y

x

2 3

; 11. 1 , ; 12.

1 ; 13. ?10, ?? ? ; 12

O

14.

? 2 ; 15. . 6 2

6 ? x ? x 2 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 2 10.解析: tan ? ? ? 3 11. 解 析 : 两 条 直 线 l1 : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与 l2 : ax ? 8 y ? 2 ? 0 平 行 可 得 , a ? 6 , l2 的 方 程 为 ,
9.解析:

3x ? 4 y ? 1 ? 0 两直线距离: d ?
2

c1 ? c2 A ?B
2 2

?

?4 ? 1 32 ? 42

?1

12. 解析 : 函数 y ? x 的导数为 y ' ? 2 x , 即切线斜率为 k ? 2 , 所以切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) , 即

1 ,作图可知,围成的图形是曲边梯形去掉一个直角三角形, 2 1 1 1 1 1 1 2 所求面积为 ? ( x ? (2 x ? 1)) dx ? ? ? 1 ? ? ? . 0 2 2 3 4 12
y ? 2 x ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ?

y

?x ? y ? 4 ? 0 ? 13. 解 析 : 要 使 不 等 式 成 立 , 则 有 ?3 x ? y ? 2 ? 0 ,即 ? x ? y ? 4 ? 3x ? y ? 2 ?
?x ? y ? 4 ? 0 ? ?3 x ? y ? 2 ? 0 , 设 z ? x ? y , 则 y ? x ? z . 作出不等式组对应的平面区域 ?x ? 3 ?
如图,平移直线 y ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? x ? z 经过点 B 时,直线的截距最小,此时 z 最大,由 ?
x O

B

?x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ?7 ,解得 ? ,代入 z ? x ? y 得 z ? x ? y ? 3 ? 7 ? 10 ,所以要使 x ? y ? ? 恒 ?x ? 3 ?x ? 3

成立,则 ? 的取值范围是 ? ? 10 ,即 ?10, ?? ? , 14.解析:曲线 C 直角坐标方程 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0
2 2

圆心到直线距离 d ?

3 2 2 ,所以,曲线 C 上点到 l 的距离的最小值 2 2
B

C D P O A

15. 解析:由割线定理知 PA ? PB ? PC ? PD ? PC ? 8 ,

? CD ? 3 , ?COD 为正三角形, ?COD ?

?

3



由圆的性质,圆周角等于圆心角的一半,得 ?CBD ?

?
6

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? cos2x ?1 ? 2 sin( 2 x ?

?

? f(

4? 8? ? 17? 5? ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? 2 sin ? 1 ? 2 sin ? 1 ?? ?? ??4 分 3 3 6 6 6 ? 2s i n ? 1 ? 2 6

6

) ? 1 ….2 分

?

?? ?? ??6 分

(2) f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? cos2x ?1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

? ?? 7? ? ? ?? ? x ? ?0, ? ,? 2 x ? ? ? , ? 6 ?6 6 ? ? 2?
??
1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 2 6

?? ?? ??8 分 ?? ?? ??10 分 ?? ?? ??12 分

? ? 0 ? 2 sin( 2 x ? ) ? 1 ? 3 ,即 f ( x) 的值域是 ?0,3?. 6 17.(本题满分 12 分)
(1)依题意设袋中原有 3n 个白球,则有 4 n 个黑球.

3n(3n ? 1) 2 C 1 3(3n ? 1) , ?? ?? ??4 分 2 由题意知 ? 3n ? ? 2 7 C7 n 7n ? 7n ? 1? 7 ? 7n ? 1? 2
即 7 n ? 1 ? 9n ? 3 ,解得 n ? 1 , 即袋中原有 3 个白球和 4 个黑球. ?? ?? ?? ??5 分 (2)依题意, ? 的取值是 1,2,3,4,5 .

3 7 4 3 2 ? ? 2 ,即第 2 次取到白球 P(? ? 2) ? ? ? ; 7 6 7 4 3 3 6 4 3 2 3 3 ; P(? ? 4) ? ? ? ? ? ; 同理可得, P (? ? 3) ? ? ? ? 7 6 5 35 7 6 5 4 35 4 3 2 1 3 1 P(? ? 5) ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ??10 分 7 6 5 4 3 35

? ? 1 ,即第 1 次取到白球, P(? ? 1) ? ;

? 分布列为

?

1

2

3

4

5

P

3 7

2 7

6 35

3 35

1 35

EX ?

3 2 6 3 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? 2 ????????????12 分 7 7 35 35 35

18. (本题满分 14 分) (1)证明:取 DE 中点 N ,连结 MN , AN .在△ EDC 中,

E F M

M , N 分别为 EC, ED 的中点,所以 MN ∥ CD ,且

N
D C

A

B

MN ?

1 1 CD .由已知 AB ∥ CD , AB ? CD ,所以 2 2

MN ∥ AB ,且 MN ? AB .所以四边形 ABMN 为平行四边形,
所以 BM ∥ AN . 又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF , 所以 BM ∥平面 ADEF .??????????????????????4 分 (2)证明:在正方形 ADEF 中, ED ? AD .又因为 平面 ADEF ? 平面 ABCD ,且平面 ADEF 平面 ABCD ? AD ,

所以 ED ? 平面 ABCD .所以 ED ? BC .?????????????6 分 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,可得 BC ? 2 2 . 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2 2, CD ? 4 ,所以 BC ? BD .?????????7 分 所以 BC ? 平面 BDE .?????????????8 分 又因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BDE ? 平面 BEC .????????9 分 (3)(方法一)延长 DA 和 CB 交于 G .在平面 ADEF 内过 A 作 AK ? EG 于 K ,连结 BK .由平面 ADEF ? 平面 ABCD ,
F M E

AB ∥ CD , AD ? CD ,平面 ADEF ? 平面 ABCD = AD ,
得 AB ? 平面ADEF,于是 AB ? EG . 又 AB ? AK ? A , EG ? 平面 ABK ,所以 BK ? EG , 于是 ?BKA 就是平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的 K
A

D

C

B

G 平面角.?????????????????????????????12 分 由 Rt ?AKG

Rt ?EDG,

AK AG 2 5 ? , ED ? AG ? 2, GE ? 2 5 ,得 AK ? . DE GE 5

又 AB ? 2 ,于是有 KB ?

AK 2 ? AB2 ?

2 30 . 5

2 5 AK 6 ? 5 ? 在 Rt ?AKB 中, cos?BKA ? . BK 2 30 6 5
所以平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为

6 .???14 分 6
z E

(方法二)由(2)知 ED ? 平面 ABCD ,且 AD ? CD . 以 D 为原点, DA, DC , DE 所在直线分别为 x, y , z 轴,建立空间直角

坐 标 系 . 易 得
M

B(2, 2,0), C (0, 4,0), E(0,0, 2) . 平 面 A D E F的 一 个 法 向 量 为

F N

D C A B x y

m ? (0,1,0) .设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BEC 的一个法向量,因为 BC ? (?2, 2,0), ,CE ? (0, ?4, 2) 所
以?

??2 x ? 2 y ? 0 ,令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? 2 . ??4 y ? 2 z ? 0

所以 n ? (1,1, 2) 为平面 BEC 的一个法向量. ??12分 设平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角为 ? . 则 cos ? ?

| m ?n| 1 6 .所以平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为 ? ? | m | ? | n | 1? 1 ? 1 ? 4 6

6 .?????????????????????????????14 分 6
19. (本题满分 14 分) 解:(1)设动点 M ( x, y ) ,则

y ?0 y?0 1 ? ? ? ( x ? ?2 且 y ? 0 ) x?2 x?2 4

所以曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1( x ? ?2 ).?????????????????4 分 4

(2)法一:设 Q( x0 , y0 ) ,则直线 AQ 的方程为 y ?

y0 6 y0 ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则得 M (4, ), x0 ? 2 x0 ? 2

直线 BQ 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) , x0 ? 2 2 y0 ) ,??????????6 分 x0 ? 2

令 x ? 4 ,则得 N (4,



6 y0 2 y0 4x ? 4 4x ? 4 1 ? x0 3 1 = 2 y0 ( ? ? ) ? 2 y0 ? 20 ? 2 y0 ? 0 2 ? 2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 ?4 y0 y0

∴ D(4,

1 ? x0 ) ,∴ kBD y0

1 ? x0 ?0 y0 1 ? x0 ????????????????8 分 ? ? 4?2 2 y0

故 kQB k BD ?

y0 1 ? x0 1 ? x0 1 1 ? ? ?? ? x0 ? 2 2 y0 2( x0 ? 2) 2 2( x0 ? 2) 1 1 ?? x0 ? 2 4



?2 ? x0 ? 2 ,∴ ?4 ? x0 ? 2 ? 0 ,
1 1 1 1 3 ? ?? ? ?? 2 2( x0 ? 2) 2 8 8

∴, ?

∴ kQB k BD ? ? , ∴直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围为 (? , ??) ???????????10 分 法二:设直线 AQ 的斜率为 k (k ? 0) ,则由题可得直线 BQ 的斜率为 ? 所以直线 AQ 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则得 M (4,6k ) , 直线 BQ 的方程为 y ? ? ∴ D (4,3k ?

3 8

3 8

1 , 4k

1 1 ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则得 N (4, ? ) , 4k 2k

1 ), 4k 1 3k ? ?0 3k 1 4 k ∴ kBD ? ? ? ?????????????????????8 分 4?2 2 8k 1 3k 1 3 1 3 ?( ? ) ? ? ? ?? 故 kQB k BD ? ? 2 4k 2 8k 8 32k 8 3 ∴直线 QB 与直线 BD 的斜率之积的取值范围为 (? , ??) ???????????10 分 8
(3)法一:由(2)得 M (4,

6 y0 2 y0 ) , N (4, ), x0 ? 2 x0 ? 2

则直线 AN 的方程为 y ?

y0 3 y0 ( x ? 2) ,直线 BM 的方程为 y ? ( x ? 2) ,?12 分 3( x0 ? 2) x0 ? 2

y0 ? ? ? y ? 3( x ? 2) ( x ? 2) ?x ? ? ? 0 由? ,解得 ? ? y ? 3 y0 ( x ? 2) ?x ? ? ? x ? 2 0 ? ?
(

5 x0 ? 8 2 x0 ? 5 3 y0 2 x0 ? 5

即 T(

5 x0 ? 8 3 y0 , ) ?????12 分 2 x0 ? 5 2 x0 ? 5

5 x0 ? 8 2 ) 2 2 2 x0 ? 5 3 y0 2 (5 x0 ? 8)2 ? 4 ? 9 y0 (5 x0 ? 8)2 ? 9(4 ? x0 ) ∴ ?( ) ? ? 2 2 4 2 x0 ? 5 4(2 x0 ? 5) 4(2 x0 ? 5)
2 16 x0 ? 80 x0 ? 100 ?1 ? 4(2 x0 ? 5)2

∴ 点 T 在曲线 C 上. ???????????????????????????14 分 法二:由(2)得 M (4,

6 y0 2 y0 ) , N (4, ) x0 ? 2 x0 ? 2



k BM

6 y0 2 y0 ?0 ?0 x0 ? 2 3 y0 x0 ? 2 y0 ? ? ? , k AN ? ????????12 分 4?2 x0 ? 2 4?2 3( x0 ? 2)

∴ kBM ? k AN

2 x0 1 3 y0 y0 y ? 2 4 ?? ? ? ? 2 4 x0 ? 2 3( x0 ? 2) x0 ? 4 x0 ? 4

2 0

1?

∴ 点 T 在曲线 C 上. ??????????????????????14 分 法三:由(2)得, M (4,6k ) , N (4, ?

1 ), 2k

1 ? ?0 6k ? 0 1 ? 3k , k AN ? 2k ∴ k BM ? ???????????12 分 ?? 4?2 4?2 12k 1 1 )?? ∴ k BM ? k AN ? 3k ? (? ∴ 点 T 在曲线 C 上. ????????14 分 12k 4
20. (本题满分 14 分) 解:(1)法一:由 an ? 2 Sn ? 1 得 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,且 a1 ? 2 S1 ? 1 ,故 a1 ? 1 ???????????????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ,故 Sn ? Sn?1 ? 2 Sn ? 1 ,得 ( Sn ? 1)2 ? Sn?1 , ∵正项数列 ?an ? , ∴ Sn ? ∴ ∴ ∴
n

? S ? 是首项为1 ,公差为1 的等差数列.
S n ? n , Sn ? n 2

Sn?1 ? 1 ???????????????????????????4 分

???????????????????????6 分 an ? 2 Sn ? 1? 2 n ? .1

法二: 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,且 a1 ? 2 S1 ? 1 ,故 a1 ? 1 ??????????????1 分

(an ? 1) 2 ,?????????????????2 分 4 (a ? 1)2 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? n ?1 4 ( an ? 1 2 ) (an ?1 ? 1 2 ) ? ∴ an ? Sn ? S? , n 1 ? 4 4 整理得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0
由 an ? 2 Sn ? 1 得 Sn ? ∵正项数列 ?an ? , an ? an?1 ? 0 , ∴ ∴

an ? an?1 ? 2 ,???????????????????????????5 分 ∴ ?an ? 是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列, an ? 2n ? 1.???????????????????????????6 分 1? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) 2 < (2)证明:先证: ????????7 分 2 ? 4 ? 6 ? ? (2n) 2n ? 1 ? 2 n ? 1
.

2 1 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1

故只需证

1? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) 1 ,??????????????9 分 < 2 ? 4 ? 6 ? ? (2n) 2n ? 1

因为[

1? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) 2 ] 2 ? 4 ? 6 ?? ? (2n)
? (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 ? < , 2 (2n) 2n ? 1 2n ? 1

?

1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? ? ? 22 42 62

所以

1? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) 1 ??????????????????12 分 < 2 ? 4 ? 6 ? ? (2n) 2n ? 1 1? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) < 2 ? 4 ? 6 ? ? (2n) 2 2n ? 1 ? 2n ? 1

所以

当 n 取 1, 2,3,....n 得到 n 不等式,

1 2 1? 3 2 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) 2 ? , ? ??? ? 2 1? 3 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 ??? (2n) 3? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1
相加得:

1 1? 3 1? 3 ? 5 1? 3 ? 5 ??? (2n ? 1) 2 2 2 ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? 6 ??? (2n) 1? 3 3? 5 2n ? 1 ? 2n ? 1
即: Rn ? Tn ???????????????????????????14 分 21. (本题满分 14 分) 解:(1) f ( x ) 的定义域为 ( ?
'

1 ,?? ) . a

其导数 f ( x) =

1 x+ 1 a

- a= -

a2 x ???????????????????2 分 ax + 1
1 ,?? ) 上是增函数; a

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 ( ? ②当 a ? 0 时,在区间 (所以, f ( x ) 在 (-

1 , 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间(0,+∞)上, f '( x) ? 0 . a

1 , 0) 是增函数,在(0,+∞)是减函数. ????????????4 分 a 1 (2)当 a ? 0 时, 则 x 取适当的数能使 f ( x) ? ax ,比如取 x ? e ? , a 1 1 1 能使 f (e ? ) ? 1 ? a (e ? ) ? 2 ? ae ? 0 ? ae ? 1 ? a (e ? ) , 所以 a ? 0 不合题意?6 分 a a a 1 当 a ? 0 时,令 h( x) ? ax ? f ( x) ,则 h( x) ? 2ax ? ln( x ? ) a

问题化为求 h( x) ? 0 恒成立时 a 的取值范围.

? 1 x? a 1 1 1 ,?? ) 上, h' ( x) ? 0 . ????8 分 ) 上, h' ( x) ? 0 ;在区间 ( ? ? 在区间 (- , 2a a 2a 1 1 ? h( x) 的最小值为 h( ? ) ,所以只需 h( ? ) ? 0 2a 2a e 1 1 1 1 ) ? ln(? ? ) ? 0 ,? ln ? ?1 ,? a ? ????????????10 分 即 2a ? ( ? 2 2a 2a a 2a 1 0 ,所以 ( 3 ) 由 于 f ( x )? 0存 在 两 个 异 号 根 x1 , x2 , 不 仿 设 x1 ? 0 , 因 为 ? ? x1 ? a
'

由于 h ( x) ? 2a ?

1

2a ( x ?

1 ) 2a 1 x? a

a ? 0 ????????????????????????????????11 分
构造函数: g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ( ?

1 ? x?0) a

1 1 ? g ( x) ? ln( ? x) ? ln( x ? ) ? 2ax a a

2ax 2 g ( x) ? ? ? 2a ? ?0 1 1 1 x? x? x2 ? 2 a a a
'

1

1

所以函数 g ( x) 在区间 (?

1 , 0) 上为减函数. a

?

1 ? x1 ? 0 ,则 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , a

于是 f (- x1 ) - f ( x1 ) > 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 , f (- x1 ) > 0 = f ( x2 ) ,由 f ( x ) 在 (0, ??) 上为减函数可知

x2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? 0 ?????????????????14 分


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