nbhkdz.com冰点文库

2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答


2010 年北京市中学生数学竞赛
高一年级复赛试题及参考解答
2010 年 5 月 16 日 8:30~10:30. 一、填空题(满分 40 分,每小题 8 分,将答案写在下面相应的空格中) 小题号 答案 1
? 1 2

2
669 335

3

4
x3 ? x +

1

5
20145

22

1. 函数 y = f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的函数,右图

中表示的是该函数在区间 [ ?2,1] 上的图像.则 值等于
.

f (2010) 的 f (5) × f (16)

1 答: ? . 2 理由: f (5) = f ( ?1) = ?1, f (16) = f (1) = 2, f (2010) = f (0) = 1,



f (2010) 1 1 = =? . 2 f (5) f (16) ( ?1)(2)
1 1 的所有根的立方和等于 = 2010 2010 .

2. 方程 x 2 ? x +

答:

669 . 335 1 1 等价于 = 2010 2010

解: 方程 x 2 ? x +
x2 ? x +



1 1 ………① = 2010 2010 1 1 ……② x2 ? x + =? 2010 2010 由①得: x1 = 1 , x2 = 0

由②得: x 2 ? x +

1 1 = 0 ,所以 x3 + x4 = 1, x3 x4 = . 1005 1005

3 ? 1 334 ? 3 3 . 所以 x3 + x4 = ( x3 + x4 ) ( ( x3 + x4 ) 2 ? 3 x3 x4 ) = 1× ?1 ? = ? = 1? 335 335 ? 1005 ? 334 669 3 3 3 所以 x13 + x2 + x3 + x4 = 1 + 0 + . = 335 335

1

3. 如右图, AB 与⊙O 切于点 A. 连接 B 与⊙ O 内一点 D 的线段交圆于点 C.并且 AB=6, DC=CB=3,OD=2,则⊙O 的半径等于 答: 22. 解: 延长 BD 交圆于 E,延长 OD 交圆于 F,G(如左图).FG 是⊙O 的直径. 设⊙O 的半径为 r,由切割线 定理,有 即 3( DE + 6) = 6 2 = 36. 所以 DE=6. 由相交弦定理可得 DE ? DC = DF ? DG , 即 6 × 3 = ( r ? 2)( r + 2), 所以 18 = r 2 ? 4. 解得 r = 22 . 4.满足方程 f ( x) + ( x ? 2) f (1) + 3 f (0) = x3 + 2 ( x ∈ ) 的函数 f ( x ) = 答: f ( x) = x3 ? x + 1. . BC ? BE = BA2 , .

? f (1) + (1 ? 2) f (1) + 3 f (0) = 13 + 2 解:取 x=1 和 x=0 代入方程,得 ? ,进而得 3 ? f (0) + (0 ? 2) f (1) + 3 f (0) = 0 + 2
? f (0) = 1 . 于是 f ( x) = x 3 + 2 ? ( x ? 2) f (1) ? 3 f (0) = x3 ? x + 1. 经检验, 所求的函数 ? ? f (1) = 1 满足方程. 5.若一个自然数比它的数字和恰好大 2007, 这样的自然数叫做“好数”, 则所有“好数”的和等于 答: 20145. 解:设 f ( n) = n ? S ( n), 其中 S ( n) 是自然数 n 的数字和.则函数 f ( n) 是非严格 的增函数.
f (2009) < f (2010) = f (2011) = L = f (2019) = 2007 < f (2020)

.

所以满足条件的所有自然数只有 10 个:2010,2011,2012,2013,2014, 2015,2016,2017,2018,2019.其和为 2010+2011+2012+2013+2014+2015+2016+2017+2018+2019=20145. 二、 (满分 15 分)如图, 四个阴影三角形的面积都等于 1 (1)求证: CB2 = C1 B2 , (3) 求 S?ABC 的值.
2

AC2 = A1C2 , BA2 = B1 A2 ;

(2)求证: S AB1B2C2 = S BC1C2 A2 = SCA1 A2 B2 ;

解答: (1)设

AB1 = λ ,连接 AB2, 则 S?AB1B2 = λ. B1C

连接 B1C2,CA2,则 B1C2//CA2, AC2 AB1 所以 = = λ. C2 A2 B1C

S?AB2C2 S ?A2 B2C2

= λ , ? S?AB2C2 = λ , S AB1B2C2 = 2λ.

由 S ?AB2C1 = 1 + λ = S ?AB2C , 所以 C1 B2 = B2C. 同理,设


BC1 = ? , 同法可得 S BC1C2 A2 = 2 ? , ? AC2 = C2 A1. C1 A CA1 = η , 同法可得 SCA1 A2 B2 = 2η , ? BA2 = A2 B1. A1 B AC2 = A1C2 , BA2 = B1 A2 .

因此,得 CB2 = C1 B2 ,

(2) 由上所证, 1 B2 = B2C. 易知 S ?BC1B2 = S ?BB2C . 也就是 1 + S BC1C2 A2 = 1 + SCA1 A2 B2 , C 所以 S BC1C2 A2 = SCA1 A2 B2 .同理由 BA2=B1A2 可证得 S AB1B2C2 = S BC1C2 A2 . 因此 S AB1B2C2 = S BC1C2 A2 = SCA1 A2 B2 . (3)由 S AB1B2C2 = S BC1C2 A2 = SCA1 A2 B2 . 即 2λ = 2η = 2 ? , ∴ λ = η = ? , 这样由

AB1 BC1 CA1 = = . B1C C1 A A1 B

S?AA2 B2 S?AB2 B1

=

S?CA2 B2 S?CB2 B1

?

1+ λ

λ

=

λ
1

, ∴ λ 2 ? λ ? 1 = 0.

解得 λ =

5 +1 (负根舍去! 所以 S AB1B2C2 = S BC1C2 A2 = SCA1 A2 B2 = 5 + 1. ). 2

因此 S?ABC = 4 + 3( 5 + 1) = 7 + 3 5. 三、 (满分 15 分) 能否将 2010 写成 k 个互不相等的质数的平方和? 如果能, 请 确定出所有的 k 值,并对相应的 k 值各写出一个例子; 如果不能, 请简述理由. 解: (1)设 pi 为质数,若 2010 能写成 k 个质数的平方和,则当 k = 10 时, 取 最小的 10 个互不相等的质数的平方和, 则 4+9+25+49+121+169+289+361+529+841=2397>2010, 因此 k ≤ 9. (2)因为只有一个偶质数 2,其余质数都是奇数,而奇数的平方仍是奇数, 并且被 8 除余 1. 所以若 k = 2, 4, 6,8 时,则 2010= ∑ pi2 ,则 pi 都是奇数.
3

2 若 2010 = p12 + p2 + L + pk2 ,左边 2010 被 8 除余 2.当 k=4 时,右边被 8 除余

4;当 k=6 时,右边被 8 除余 6;当 k=8 时,右边被 8 除余 0;这 3 种情况等式 都不能成立. 当 k=2 时, 由于质数中只有 32 被 3 除余 0, 而其余所有质数的平方都被 3 除 两个不同质数的平方之和被 3 除余 1 或余 2, 而 2010 被 3 除余 0. 所 余 1. 因此, 以,2010 不能表为 2 个互不相等的质数的平方和. 因此,当 k = 2, 4, 6,8 时,2010 都不能表示为 2 个、4 个、6 个、8 个质数的 平方之和. (3)对 k = 1,3, 7, 9 时,k=1 时,2010 显然不是一个质数的平方.
2 2 k=3 时,若 2010= p12 + p2 + p3 . 其中必有一个偶质数的平方,两个奇质数的

平方.左边被 8 除余 2,右边被 8 除余 6,等式不能成立.
2 2 2 2 k=5 时,若 2010= p12 + p2 + p3 + p4 + p5 . 其中必有一个偶质数的平方,4 个奇

质数的平方.左边被 8 除余 2,右边被 8 除余 0,等式不能成立.
2 2 2 2 2 2 2 2 k=9 时,若 2010= p12 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 + p8 + p9 ,其中必有一个偶

质数的平方,两个奇质数的平方.左边被 8 除余 2,右边被 8 除余 4,等式不能成 立.
2 2 2 2 2 2 只有 k=7 时,2010= p12 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 ,左边被 8 除余 2,右边

被 8 除余 2,等式可能成立. 我们试算可知, 2 2 + 32 + 7 2 + 112 + 132 + 17 2 + 37 2 = 2010 , 因此,2010 只可以表示为 7 个不同质数的平方和.唯一地 k=7, 其例如上. 四、 (满分 15 分)已知平面上 9 个点,任两点间的距离都不小于 1. 证明,其中 至少存在两个点间的距离不小于 3. 证明:设已知的 9 个点的集合记为 S.则在平面上可画一直线 l,使 S 在 l 同 一侧.平移直线 l,直到遇到 S 中的点 O 为止.这时,S 中的点在直线 l 上或 l 的同 一侧. 以 O 为圆心 1 为半径画圆与直线 l 交成半圆区域 P,再以 O 为圆心 3 为半 径画半圆,如图所示,与直线 l 和前面画的半圆(O,1)交成半圆环 Q.

我们看到,已知 9 个点中一个点为 O,其余 8 个点不能在半圆区域 P 中,我 们证明,这 8 个点中至少有一个点不在半圆环 Q 中.
4

的 7 个相 7 等的小区域,如图记为 Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7,我们估计 Qi 中两点间的 距离( i = 1, 2,3, 4,5, 6, 7 ). 半圆环宽度 TV = 3 ? 1 < 0.733 < 1 ; WT < WT =
2

事实上,我们以 O 为始点作射线,将半圆环 Q 等分为圆心角为

π

2π 3 < 0.778 < 1. 14



π? π π π π ? VW = ? 3 ? cos ? + sin 2 = 3 ? 2 3 cos + cos 2 + sin 2 7? 7 7 7 7 ?
= 4 ? 2 3 cos

π
7

< 4 ? 2 3 cos

π
6

(因为 cos

π
6

< cos

π
7



? 3? 4?2 3? ? 2 ? = 1. ? ? ?

可见,每个 Qi 中任两点间的距离都小于 1.所以每个 Qi 中至多分布 S 的前述 8 个 点中的 1 个点. 因此, 前述 8 个点中至少有一点 A 要分布在半圆 O, 3 ) ( 之外.因此 OA ≥ 3. 五、 (满分 15 分)已知如图,凸四边形 ABCD 的对角线交点为 O. O1,O2,O3,
O4 分别为△AOB,△BOC,△COD,

△DOA 的内切圆圆心,对应的内切圆 半径 r1,r2,r3,r4 满足关系式
1 1 1 1 + = + . r1 r3 r2 r4

求证: 1)四边形 ABCD 存在内切圆; ( (2)O1,O2,O3,O4 四点共圆. 证明: 1)设 AB = a,BC = b,CD = c, (
DA = d, = x, = y, CO = u, = v, AO BO DO S cos ∠AOB = k , 则 cos ∠BOC = ?k .根据已知等式 r = (其中, 是三角形的面积, S p p 是半周长,r 是内切圆半径) ,由已知条件得到关系式 a+ x+ y c+u +v b+ y+u d + x+v + = + , xy uv yu xv

由此得出 auv + cxy = bxv + dyu. 平方得 a 2u 2 v 2 + c 2 x 2 y 2 + 2auvcxy = b 2 x 2 v 2 + d 2 y 2u 2 + 2bxvdyu 用余弦定理表示 a2,b2,c2,d2 并代入上式,得
( x 2 + y 2 ? 2kxy )u 2 v 2 + (u 2 + v 2 ? 2kuv) x 2 y 2 + 2acxyuv = ( y 2 + u 2 + 2kuy ) x 2 v 2 + ( x 2 + v 2 + 2kxv) y 2u 2 + 2bdxyuv,
5

化简得

2ac - 2kuv – 2kxy = 2bd +2kxv +2kyu .

等式左右两边同时添加 x2 + y2 + u2 + v2 得 2ac + 2 + v2 - 2kuv) ( x2 + y2– 2kxy) 2bd + 2 + v2 - 2kxv) (y2 + u2 - 2kyu) (u + = (x + 即 2ac + c2 + a2 = 2bd + d2 + b2,也就是 (a + c) 2 = (b + d ) 2 ? a + c = b + d , 由此得证四边形 ABCD 存在内切圆. (2)设 ∠AOB = θ , 易知,O1,O,O3 三点共线,O2,O,O4 三点共线,且 O1O3 ⊥ O2O4 .因此要证 O1, 2, 3, 4 四点共圆, O O O 我们必须证明 OO1×OO3 = OO2 ×OO4.或者
r1r3 sin
2

θ
2

=

r2 r4 cos
2

θ
2



事实上, 设由 O 引向 (O1 , r1 ), (O2 , r2 ), (O3 , r3 ), (O4 , r4 ) 的切线长分别为 l1,
l2,l3,l4,则有
l1 = l3 = 1 θ ( x + y ? a ) = r1 cot , 2 2 l2 = 1 θ ( y + u ? b) = r2 tan , 2 2

因为

1 θ 1 θ (u + v ? c ) = r3 cot , l4 = (v + x ? d ) = r4 tan , 2 2 2 2 a + c = b + d,则有 l1 + l3 = l2 + l4,这意味着 , 2 2 r +r r +r 1 1 1 1 + = + , 有 1 3 = 2 4. r1 r3 r2 r4 r1r3 r2 r4 ( r1 + r3 ) cot

θ

= ( r2 + r4 ) tan

θ

② ③
.

考虑到已知关系式 ②÷③得
r1r3 cot

θ
2

= r2 r4 tan

θ
2

,即成立

r1r3 sin
2

θ
2

=

r2 r4 cos
2

θ
2

所以有 OO1×OO3 = OO2×OO4,因此 O1,O2,O3,O4 四点共圆.

6


2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2010年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2010 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答 2010 年 5 月 16 日 8:...

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答一、选择题(满分 40 分,每小题 ...

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2011 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答一、选择题(满分 40 分,每小题 ...

2010年北京市数学高一复赛参考解答

2010 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答 2010 年 5 月 16 日 8:30~10:30. 一、填空题(满分 40 分,每小题 8 分,将答案写在下面相应的空...

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答一、填空题(满分 40 分,每小题...

2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

2013年北京市中学生数学竞赛高中年级初赛试题解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年北京市中学生数学竞赛高中年级初赛试题解答选择题答案 1 D 2 B 3 B 4...

北京市高一数学竞赛(解析版)

年北京市中学生数学竞赛 高一年级初赛试题一 、选择题﹙满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方,答对得 6 分,答错或...

2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答

2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2011 年北京市中学生数学竞赛 高中一年级初赛试题及参考解答一、选择题(每小题 6 ...

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题 1.设函数 f ? x ? 对 x ? 0 ...