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珠海市斗门区第一中学高二文科数学数学周末练习卷(四)答案
一、选择题:1-5 C A A D C 二、填空题:11、 三、解答题 15、(1) 6-10 A C B A B 13、 (1, 2) 14、

1 2

12、 2 x ? 2 y ? 1 ? 0

3 2

7 2
<

br />(2) 5 ????????????1分

16、解:(1)依题意知 A=1

?? ? ?? ? 1 f ? ? ? sin ? ? ? ? ? ?3? ?3 ? 2,

?
又3

?

?
3

?? ?

4? 3 ????????3分

?
?
3

?? ?

5? 6

??


?
2
??????????4分

?? ? f ? x ? ? sin ? x ? ? ? cos x 2? ? 因此
f ?? ? ? cos ? ?
sin ? ?

??????????5分

(2)?

? ?? 3 12 ? , ? ? ? 0, ? f ? ? ? ? cos ? ? ? 2? 5 , 13 且

?

4 5 sin ? ? 5 , 13

??????????9分

3 12 4 5 56 f ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ..........12分 5 13 5 13 65
17.解(1)因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意识强,

9 54



36 相差较大??1 分,所以节能意识强弱与年龄有关??3 分 46

(2)年龄大于 50 岁的有

36 ? 350 ? 280 (人)??6 分(列式 2 分,结果 1 分) 45 9 ? 1 (人)??7 分, 45

(3)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的 5 ?

年龄大于 50 岁的 4 人??8 分, 记这 5 人分别为 A,B1,B2,B3,B4。从这 5 人中任取 2 人,共有 10 种不同取法:?9 分 (A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4), (B3,B4), 完全正确列举??????10 分, 设 A 表示随机事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁”,则 A 中的基本事件有 4 种:(A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,B) ??????11 分,

故所求概率为 P( A) ?

4 2 ? ??14 分 10 5

18、解:(1)连结 D1O ,如图, ∵ O 、 M 分别是 BD 、 B1D1 的中点, BDD1 B1 是矩形, ∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴ D1O / / BM . --------2 分

∵ D1O ? 平面 D1 AC , BM ? 平面 D1 AC , ∴ BM / / 平面 D1 AC .-------------------5 分 (2)解法 1 连结 OB1 ,∵正方形 ABCD 的边长为 2,

BB1 ? 2 ,∴ B1D1 ? 2 2 , OB1 ? 2 , D1O ? 2 ,则 OB12 ? D1O2 ? B1D12 ,
∴ OB1 ? D1O . -------7 分

又∵在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AC ? BD , AC ? D1D ,且 BD ? D1D ? D , 1 ∴ AC ? 平面 BDD1B1 ,又 D1O ? 平面 BDD1B1 , ∴ AC ? D1O ,又 AC ? OB1 ? O , ∴ D1O ? 平面 AB1C ,即 D1O 为三棱锥 D1 ? AB1C 的高. -------9 分 ∵ S ?AB1C ? ∴ VD1 ? AB1C

1 1 ? AC ? OB1 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 2 , D1O ? 2 2 2 1 1 4 ? ? S?AB1C ? D1O ? ? 2 2 ? 2 ? 2 . ------14 分 3 3 3

解法 2: 三棱锥 D1 ? AB1C 是长方体 ABCD ? A B1C1D1 割去三棱锥 D1 ? DAC 、三棱锥 1

B1 ? BAC 、三棱锥 A ? A1B1D1 、三棱锥 C ? C1B1D1 后所得,而三棱锥 D1 ? DAC 、B1 ? BAC 、
A ? A1B1D1 、 C ? C1B1D1 是等底等高,故其体积相等.
----------8 分

?VD1 ? AB1C ? VABCD? A1B1C1D1 ? 4VB1 ?BAC ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 2 . 分 -14
3 2 3

19、解:(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1. ????2分

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1 ????????4 分 4
??????5 分

(2)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,设该直线方程为 y=kx,代入

x2 ? y2 ? 1, 4

解得 B(

2 4k 2 ? 1
1? k

,

2k 4k 2 ? 1

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1

),????????7 分

则 BC ? 4

2

k?
, ????8 分,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1 2

1 ? 4k 2

1? k 2

, ??9 分

∴△ABC 的面积 S△ABC=

2k ? 1 1 BC ? d ? 2 1 ? 4k 2

???10 分

于是 S△ABC=

4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1



4k 1 ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立???13 分 2 2 4k ? 1

∴S△ABC 的最大值是 2 .??????????14分 20、解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . ?????1 分

x2 1 ( x ? 1) 2 ? 2 x ,因为 f ?( x) ? ? x ? 2 ? ? 0, 3 分 当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? 2 x x
所以函数 f ( x ) 在区间 [1,e] 上单调递增,则当 x=e 时,函数 f ( x ) 取得最大值

f (e) ? 1 ?

e2 ? 2e . 2

????????5 分

(Ⅱ) f ?( x) ?

ax 2 ? 2 x ? a . x

??????6 分

当 a ? 0 时,因为 f ?( x) ? ?2 ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递减;?7 分 当 a ? 0 时,⑴当 ? ? 4 ? 4a ? 0 时,即 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上
2

单调递增;

??????9 分

⑵当 ? ? 4 ? 4a ? 0 时,即 0 ? a ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 解得,
2

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 0? x? ,或 x ? . ?????10 分 a a
由 f ?( x) ? 0 解得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? ; a a

???11 分

所以当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 (0,

1 ? 1 ? a2 ) 上单调递增;在 a
?13 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ( , ) 上单调递减, ( , ??) 单调递增. a a a
综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递减; 当 a ? 1 时,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递增;

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 (0,

1 ? 1 ? a2 ) 上单调递增;在 a
?14 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ( , ) 上单调递减, ( , ??) 单调递增. a a a


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