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22-2与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题22-2-自由摆动单摆机械能守恒问题新解


22?2

自由摆动单摆机械能守恒问题新解

22-2

自由摆动单摆机械能守恒问题新解
李学生 1,师教民 2
(1.山东大学 物理学院,山东 济南 250100;

2.石家庄广播电视大学 科学技术部,河北 石家庄 050081)
摘 要:重新解答了自由摆动的单摆机械

能守恒问题,得出 了在地面上和相对于地面做匀速运动的小车上观察,自由摆动的 单摆机械能都守恒的新结论. 关键词:单摆;动能;势能;机械能守恒 中图分类号 :O 313.1 文献标识码:A

将摆锤质量为 m,轻质摆线长为 L 的单摆挂在与地面相固连 的摆架上, 将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为 θ0 时 自由放手,在忽略各种阻尼时,单摆就做自由摆动,θ0 为最大摆 角.有一小车相对于光滑地面以恒速量值 u 沿单摆摆动方向运 动.试问在地面上和小车上观察,单摆的机械能是否守恒,并说
明理由.

解:在地面上观察时,以单摆静止时与摆线重合的向上的直 线为 y 轴,以单摆静止时摆锤的位置为坐标原点 o,以过点 o 的

沿小车运动方向的水平向右的直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系
如图 1 所示.
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与官科大专家讨论全国中学生物理竞赛题

设在地面上观察时,单摆在 0 时刻从最大摆角 θ0 开始摆 动,在 t 时刻的摆角、速度、加速度、动能、势能、机械能分别
为:θ,v,a,Ek(t),Ep(t),E(t);在小车上观察时,单摆 t 时刻 的速度、加速度、动能、势能、机械能分别为:

v1,a1,E1k(t),E1p(t),E1(t).
则在地面上观察(即以地面为静止系)时有:

y θ0 θ o



?
x

小 车 ○ ○
图1

u

光滑水平地面 自由摆动单摆机械能守恒问题新解

v?

ds d[ L(? 0 ? ? )] ? Ldθ ? Ldθ ? ? ,dt? (0≤θ≤θ0) . dt v dt dt
dv ? Ldθ dv dv ? ? ? ?v, dt ? Ldθ dt ? Ldθ

mgsin θ?ma,gsin θ?a?

vdv??gLsin θdθ,

? v dv??gL ? sin θdθ, 2 v ?gL(cos θ?cos θ ).
2 0

v

θ

1

0

θ0

v2?2gL(cos θ?cos θ0),v? 2 gL(cos θ ? cos θ0 ) .
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自由摆动单摆机械能守恒问题新解

Ek(t)?

1 mv2?mgL(cos θ?cos θ0); 2

EP(t)?mgy?EpJ(t)?mg(L?Lcos θ)?0?mgL(1?cos θ). (EpJ(t)?0 的推导在《匀速圆动物体机械能守恒问题新解》中). E(t)?Ek(t)?EP(t)?mgL(cos θ?cos θ0)?mgL(1?cos θ)?? mgL(cos θ?cos θ0?1?cos θ)?mgL(1?cos θ0).?
所以在地面上观察时,单摆的机械能守恒,守恒值为

mgL(1?cos θ0).
在小车上观察(即以小车为静止系)时有:
直觉判断法(这是前言里的低速力学新原理中的新解法) : 因为地面及单摆都以匀速度量值 u 相对于小车沿 x 轴负向运

动,所以在小车上观察时,单摆的机械能比在地面上观察时增


1 1 m(?u)2? mu2,所以在小车上观察时,单摆的机械能为: 2 2 1 1 E1(t)?E(t)? mu2?mgL(1?cos θ0)? mu2?常数. 2 2 1 mu2. 2

所以在小车上观察时,单摆的机械能守恒,守恒值为

mgL(1?cos θ0)?
数学推导法:

2 v1x ? v x ?u??vcos θ?u, v12x ? ( v x ? u ) 2 ? v x ? u 2 ?2u? v x ;

2 2 v1 y ? v y , v1 y ? vy . 2 2 ? u 2 ?2u? v x ? v y ? v 2 ? u 2 ?2u?vcos θ?? v12 ? v12x ? v12y ? v x

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2gL(cos θ?cos θ0)?u2?2u? 2 gL(cos θ ? cos θ0 ) cos θ. 1 E1k(t)? m v12 ?? 2 1 mgL(cos θ?cos θ0)? mu2?mu? 2 gL(cos θ ? cos θ0 ) cos θ. 2

a1x ?

dv1 y dv y dv1x dv x ? ?0? a x ;a1 y ? ? ? a y ;a1?a?gsin θ. dt dt dt dt
m a1x ?m a x ;m a1 y ?m a y ;ma1?ma?mgsin θ.? mgL(1?cos θ0)?E1p(t)??
t ? ? v2 ? ? ma cos θ ? m sin θ ? ma d s ? 1 1 ? ? ? ? ?(?u)dt?? L ? 0? 0 s

? ? ? Ldθ v2 ? ? mg sin θ (?Ldθ)?mu? ? ? ? g sin θ cos θ ? L sin θ ? ? v ? ? θ0 θ0 ?
θ θ

?mgL? sin θ dθ?
θ0

?

θ

2 gL(cos θ ? cos θ 0 ) ? dcosθ ? muL? ? ? g cos θ ? ?? ? L ? v θ0 ?
mgLcos θ θ ??
0

θ

θ

mugL? ? (cos θ ? 2 cos θ ? 2 cos θ 0 )
θ0

θ

d cos θ 2 gL(cos θ ? cos ? 0 )

??

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自由摆动单摆机械能守恒问题新解

mgL(cos θ?cos θ0)??
?

2 cos θ ? cos θ 0 ? cos θ 0 ? cos θ 0 3mugL 3 ?? d(cos θ?cos θ0)?? cos θ ? cos θ 0 2 gL θ0
θ

?

mgL(cos θ?cos θ0)??
?

3mugL 2 mugL ? (cos θ?cos θ0 ) ? ?? (cos θ?cos θ0 ) 2 cos θ0?? 2 gL 3 2 gL
?

3 2?

1

mgL(cos θ?cos θ0)??
? ?

mu? 2 gL (cos θ?cos θ0 ) ?mu? 2 gL (cos θ?cos θ0 ) cos θ0?? mgL(cos θ?cos θ0)??
? ?

3 2?

1 2

mu? 2 gL

cos θ ? cos θ0 (cos θ?cos θ0?cos θ0)??

mgL(cos θ?cos θ0)?mu? 2 gL(cos θ ? cos θ0 ) cos θ.? E1p(t)?mgL(1?cos θ0)??
? ? ? ?

mgL(cos θ?cos θ0)?mu? 2 gL(cos θ ? cos θ0 ) cos θ.? E1(t)?E1k(t)?E1p(t)?? mgL(cos θ?cos θ0)?
1 mu2?mu? 2 gL(cos θ ? cos θ0 ) cos θ?? 2
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mgL(1?cos θ0)?? mgL(cos θ?cos θ0)?mu? 2 gL(cos θ ? cos θ0 ) cos θ?? mgL(1?cos θ0)?
1 mu2?常数. 2

所以在小车上观察时,单摆的机械能守恒,守恒值为

mgL(1?cos θ0)?
参考文献:

1 mu2. 2

[1]蔡伯濂.关于力学相对性原理与机械能守恒综述[J].大学物 理,1994,(13)1:20?22. [2]何红雨.机械能守恒定律与惯性参照系的选择[J].广西物

理,1997,(18)3:27?29.
[3]高炳坤. 力学中一个诡秘的错误[J]. 物理与工程, 2002, (12)2: 14?15,30. [4]赵 坚.机械能守恒定律理解中一个值得重视的问题[J].物 理通报,2006,(25)6:19?21. [5]钱广东. 不同惯性系中机械能不一定都守恒——兼谈机械能守 恒定律是否服从力学相对性原理[J]. 物理教学, 2006, (28)2: 42?43. [6]白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律[J].大学 物理,1997,(16)3:11?14.
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自由摆动单摆机械能守恒问题新解

Brand-new explanation of mechanical

energy conservation of the single pendulum free swinging
Li Xue-sheng1,Shi Jiao-min2
1.School of Physics,Shandong University, Jinan 250100, China; 2.Department of Science and Technology, Shijiazhuang Radio and Television University, Shijiazhuang 050081, China)

Abstract : It refurbished the issue of mechanical energy conservation of the single pendulum free swinging, which straightforwardly led to conclusion, no matter we take reference frame of the earth itself or the cart moving in uniform speed to the earth, the mechanical energy of the single pendulum free swinging is always conservative. Key words:the single pendulum;kinetic energy;potential energy;conservation of mechanical energy
作者简介:

李学生(1969?),男,副教授,山东济南人.现从事普通 物理的教学与研究.

Email:1922538071@qq.com
师教民(1945?),男,教授,河北晋州人.现从事数学、物
理、电工、电子的教学与研究.

Email:shijm618@126.com
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