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2015年河北省石家庄二中南校区高一分班考试数学试卷

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河北省石家庄二中南校区高一分班考试数学试卷
一.选择题(每题 4 分,共 32 分) 1.已知圆 O1、圆 O2 的半径不相等,圆 O1 的半径长为 3,若圆 O2 上的点 A 满足 AO1=3,则圆 O1 与圆 O2 的位置 关系是( ) A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 2.如图,直线 y=kx+b 交坐标轴于 A(﹣3,0) 、B(0

,5)两点,则不等式﹣kx﹣b<0 的解集为( )

A.x>﹣3 B.x<﹣3 C.x>3 D.x<3 3.如图,已知?ABCD 的对角线 BD=4cm,将?ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180°,则点 D 所转过的路径长为(



A.4πcmB.3πcm C.2πcm D.πcm 4.如图,在菱形 ABCD 中,DE⊥AB,cosA= ,AE=3,则 tan∠DBE 的值是( )

A.

B.2

C.

D.

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(2,2) ,点 Q 在 y 轴上,△PQO 是等腰三角形,则满足条件的点 Q 共有 ( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 6.如图,已知 A、B 两点的坐标分别为(2,0) 、 (0,2) ,⊙C 的圆心坐标为(﹣1,0) ,半径为 1.若 D 是⊙C 上 的一个动点,线段 DA 与 y 轴交于点 E,则△ABE 面积的最小值是( )

A.2

B.1

C.

D.

7. 已知: 如图, 在正方形 ABCD 外取一点 E, 连接 AE、 BE、 DE. 过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P. 若 AE=AP=1, PB= .下列结论:①△APD≌△AEB;②点 B 到直线 AE 的距离为 ;③EB⊥ED;④S△ APD+S△ APB=1+ ;
1

⑤S 正方形 ABCD=4+

.其中正确结论的序号是(



A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤ 8.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD⊥DC,BD=DC,CE 平分∠BCD,交 AB 于点 E,交 BD 于点 H,EN∥DC 交 BD 于点 N.下列结论:①BH=DH;②CH= 是( ) ;③ .其中正确的

A.①②③ B.只有②③

C.只有② D.只有③

二.填空题(每题 4 分,共 32 分) 9.函数
2 2

中,自变量 x 的取值范围是



10.分解因式:m ﹣n +2m﹣2n= . 11.如图,⊙P 与 x 轴切于点 O,点 P 的坐标为(0,1) .点 A 在⊙P 上,且位于第一象限,∠APO=120°.⊙P 沿 x 轴正方向滚动,当点 A 第一次落在 x 轴上时,点 A 的横坐标为 . (结果保留 π)

12.在一个不透明的盒子里装有 5 个分别写有数字﹣2,﹣1,0,1,2 的小球,它们除数字不同外其余全部相同.现 从盒子里随机取出一个小球,将该小球上的数字作为点 P 的横坐标,将该数的平方作为点 P 的纵坐标,则点 P 落在 2 抛物线 y=﹣x +2x+5 与 x 轴所围成的区域内(不含边界)的概率是 . 13.图 1 是以 AB 为直径的半圆形纸片,AB=6cm,沿着垂直于 AB 的半径 OC 剪开,将扇形 OAC 沿 AB 方向平移 至扇形 O′A′C′,如图 2,其中 O′是 OB 的中点,O′C′交 于点 F.则 的长为 cm.

14. 如图, 在△ABC 中, AB=AC=13, BC=10, D 是 AB 的中点, 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E, 则 DE 的长是
2



15.如图所示,点 A1,A2,A3 在 x 轴上,且 OA1=A1A2=A2A3,分别过点 A1,A2,A3 作 y 轴的平行线,与反比例 函数 y= (x>0)的图象分别交于点 B1,B2,B3,分别过点 B1,B2,B3 作 x 轴的平行线,分别于 y 轴交于点 C1, C2,C3,连接 OB1,OB2,OB3,那么图中阴影部分的面积之和为 .

16.右图为手的示意图,在各个手指间标记字母 A、B、C、D.请你按图中箭头所指方向(即 A? B? C? D? C? B? A? B? C? …的方式)从 A 开始数连续的正整数 1,2,3,4…,当数到 12 时,对应的字母是 字母 C 第 201 次出现时,恰好数到的数是 是 ______________。 (用含 n 的代数式表示) . ;当 ;当字母 C 第 2n+1 次出现时(n 为正整数) ,恰好数到的数

三、解答题(共 56 分) 17.已知反比例函数 y= 的图象经过点 A(﹣ ,1) .

(1)试确定此反比例函数的解析式; (2)点 O 是坐标原点,将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB.判断点 B 是否在此反比例函数的图象上, 并说明理由; (3)已知点 P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中 m<0) ,过 P 点作 x 轴的垂线,交 x 轴于点 M.若 线段 PM 上存在一点 Q,使得△OQM 的面积是 ,设 Q 点的纵坐标为 n,求 n ﹣2
2

n+9 的值.

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18.国泰玩具厂工人的工作时间:每月 25 天,每天 8 小时.待遇:按件计酬,多劳多得,每月另加福利工资 100 元,按月结算.该厂生产 A、B 两种产品,工人每生产一件 A 种产品,可得报酬 0.75 元,每生产一件 B 种产品, 可得报酬 1.40 元.下表记录了工人小李的工作情况:根据上表提供的信息,请回答下列问题: (1)小李每生产一件 A 种产品、每生产一件 B 种产品,分别需要多少分钟? (2)如果生产各种产品的数目没有限制,那么小李每月的工资数目在什么范围之内? 生产 A 种产品件数(件) 生产 B 种产品件数 (件) 总时间 (分) 1 1 35 3 2 85

19.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°, BC=6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF 的直角边 DE 与 △ABC 的斜边 AC 重合在一起,并将△DEF 沿 AC 方向移动.在移动过程中,D、E 两点始终在 AC 边上(移动开 始时点 D 与点 A 重合) . (1)在△DEF 沿 AC 方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C 两点间的距离逐渐 . (填“不变”、“变 大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题: 问题①:当△DEF 移动至什么位置,即 AD 的长为多少时,F、C 的连线与 AB 平行? 问题②:当△DEF 移动至什么位置,即 AD 的长为多少时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角 三角形? 问题③:在△DEF 的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出 AD 的长度;如果不存在, 请说明理由. 请你分别完成上述三个问题的解答过程.

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20.如图,以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B、已知 A、B 两点的坐标分别为(3,0) 、 (0,4) . (1)求抛物线的解析式; (2)设 M(m,n)是抛物线上的一点(m、n 为正整数) ,且它位于对称轴的右侧.若以 M、B、O、A 为顶点的 四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点 M 的坐标; 2 2 2 (3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点 P,PA +PB +PM >28 是否总成立?请说明理由.

21.如图所示,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为(3,0) , (0,1) ,点 D 是线段 BC 上的动点(与端 点 B、C 不重合) ,过点 D 作直线 y=﹣ x+b 交折线 OAB 于点 E. (1)记△ODE 的面积为 S,求 S 与 b 的函数关系式; (2)当点 E 在线段 OA 上时,若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1,试探究 O1A1B1C1 与矩 形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.

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河北省石家庄二中南校区高一分班考试数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每题 4 分,共 32 分) 1.已知圆 O1、圆 O2 的半径不相等,圆 O1 的半径长为 3,若圆 O2 上的点 A 满足 AO1=3,则圆 O1 与圆 O2 的位置 关系是( ) A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 【分析】根据圆与圆的五种位置关系,分类讨论. 【解答】解:当两圆外切时,切点 A 能满足 AO1=3,当两圆相交时,交点 A 能满足 AO1=3,

当两圆内切时,切点 A 能满足 AO1=3,所以,两圆相交或相切.故选:A. 2.如图,直线 y=kx+b 交坐标轴于 A(﹣3,0) 、B(0,5)两点,则不等式﹣kx﹣b<0 的解集为( )

A.x>﹣3 B.x<﹣3 C.x>3 D.x<3 【分析】首先根据不等式的性质知,不等式﹣kx﹣b<0 的解集即为不等式 kx+b>0 的解集,然后由一次函数的图象 可知,直线 y=kx+b 落在 x 轴上方的部分所对应的 x 的取值,即为不等式 kx+b>0 的解集,从而得出结果. 【解答】解:观察图象可知,当 x>﹣3 时,直线 y=kx+b 落在 x 轴的上方, 即不等式 kx+b>0 的解集为 x>﹣3,∵﹣kx﹣b<0∴kx+b>0, ∴﹣kx﹣b<0 解集为 x>﹣3.故选:A. 3.如图,已知?ABCD 的对角线 BD=4cm,将?ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180°,则点 D 所转过的路径长为( )

A.4πcmB.3πcm C.2πcm D.πcm
6

【分析】点 D 所转过的路径长是一段弧,是一段圆心角为 180°,半径为 OD 的弧,故根据弧长公式计算即可. 【解答】解:BD=4,∴OD=2∴点 D 所转过的路径长= =2π.故选 C.

4.如图,在菱形 ABCD 中,DE⊥AB,cosA= ,AE=3,则 tan∠DBE 的值是(



A.

B.2

C.

D. ,求得 AD,再求得 DE,即可得到 tan∠DBE= .

【分析】在直角三角形 ADE 中,cosA= 【解答】解:设菱形 ABCD 边长为 t. ∵BE=2,∴AE=t﹣2.∵cosA= ,∴ ∴DE= .∴

= .∴t=5.∴BE=5﹣3=2, =2,故选 B.

=4,∴tan∠DBE=

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(2,2) ,点 Q 在 y 轴上,△PQO 是等腰三角形,则满足条件的点 Q 共有 ( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 【分析】根据题意,画出图形,由等腰三角形的判定找出满足条件的 Q 点,选择正确答案. 【解答】解:如上图:满足条件的点 Q 共有(0,2) (0,2 ) (0,﹣2 ) (0,4) .故选 B.

6.如图,已知 A、B 两点的坐标分别为(2,0) 、 (0,2) ,⊙C 的圆心坐标为(﹣1,0) ,半径为 1.若 D 是⊙C 上 的一个动点,线段 DA 与 y 轴交于点 E,则△ABE 面积的最小值是( )

7

A.2

B.1

C.

D.

【分析】由于 OA 的长为定值,若△ABE 的面积最小,则 BE 的长最短,此时 AD 与⊙O 相切;可连接 CD,在 Rt △ADC 中,由勾股定理求得 AD 的长,即可得到△ADC 的面积;易证得△AEO∽△ACD,根据相似三角形的面积 比等于相似比的平方,可求出△AOE 的面积,进而可得出△AOB 和△AOE 的面积差,由此得解. 【解答】解:若△ABE 的面积最小,则 AD 与⊙C 相切,连接 CD,则 CD⊥AD; Rt△ACD 中,CD=1,AC=OC+OA=3;由勾股定理,得:AD=2
2 2

;∴S△ ACD= AD?CD=



易证得△AOE∽△ADC,∴

=(

) =(

) = ,即 S△ AOE= S△ ADC=



∴S△ ABE=S△ AOB﹣S△ AOE= ×2×2﹣

=2﹣



另解:利用相似三角形的对应边的比相等更简单!故选:C. 7. 已知: 如图, 在正方形 ABCD 外取一点 E, 连接 AE、 BE、 DE. 过点 A 作 AE 的垂线交 DE 于点 P. 若 AE=AP=1, PB= .下列结论:①△APD≌△AEB;②点 B 到直线 AE 的距离为 ;③EB⊥ED; ④S△ APD+S△ APB=1+ ;⑤S 正方形 ABCD=4+ .其中正确结论的序号是( )

A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤ 【分析】①利用同角的余角相等,易得∠EAB=∠PAD,再结合已知条件利用 SAS 可证两三角形全等;③利用① 中的全等,可得∠APD=∠AEB,结合三角形的外角的性质,易得∠BEP=90°,即可证;②过 B 作 BF⊥AE,交 AE 的延长线于 F,利用③中的∠BEP=90°,利用勾股定理可求 BE,结合△AEP 是等腰直角三角形,可证△BEF 是等 2 腰直角三角形,再利用勾股定理可求 EF、BF;⑤在 Rt△ABF 中,利用勾股定理可求 AB ,即是正方形的面积; ④连接 BD,求出△ABD 的面积,然后减去△BDP 的面积即可. 【解答】解:①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,∴∠EAB=∠PAD, 又∵AE=AP,AB=AD,∴△APD≌△AEB(故①正确) ; ③∵△APD≌△AEB,∴∠APD=∠AEB, 又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE, ∴∠BEP=∠PAE=90°,∴EB⊥ED(故③正确) ; ②过 B 作 BF⊥AE,交 AE 的延长线于 F, ∵AE=AP,∠EAP=90°,∴∠AEP=∠APE=45°, 又∵③中 EB⊥ED,BF⊥AF,∴∠FEB=∠FBE=45°, 又∵BE= = = ,∴BF=EF= (故②不正确) ;

④如图,连接 BD,在 Rt△AEP 中, ∵AE=AP=1,∴EP= ,又∵PB= ,∴BE= ∵△APD≌△AEB,∴PD=BE= ,



∴S△ ABP+S△ ADP=S△ ABD﹣S△ BDP= S 正方形 ABCD﹣ ×DP×BE= ×(4+ 正确) .
8

)﹣ ×

×

= +

. (故④不

⑤∵EF=BF=

,AE=1,∴在 Rt△ABF 中,AB =(AE+EF) +BF =4+
2

2

2

2



∴S 正方形 ABCD=AB =4+

(故⑤正确) ;故选:D.

8.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD⊥DC,BD=DC,CE 平分∠BCD,交 AB 于点 E,交 BD 于点 H,EN∥DC 交 BD 于点 N.下列结论:①BH=DH;②CH= 其中正确的是( ) ;③ .

A.①②③ B.只有②③ C.只有② D.只有③ 【分析】①如图,过 H 作 HM⊥BC 于 M,根据角平分线的性质可以得到 DH=HM,而在 Rt△BHM 中 BH>HM, 所以容易判定①是错误的; ②设 HM=x,那么 DH=x,由于∠ABC=90°,BD⊥DC,BD=DC,由此得到∠DBC=45°,而 AD∥CB,由此可以证 明△ADB 是等腰直角三角形,又 CE 平分∠BCD,∠BDC=∠ABC=90°,由此可以证明△DCH∽△EBC,再利用相 似三角形的性质可以推出∠BEH=∠DHC,然后利用对顶角相等即可证明∠BHC=∠BEH,接着得到 BH=BE,然后 即可用 x 分别表示 BE、EN、CD,又由 EN∥DC 可以得到△DCH∽△NEH,再利用相似三角形的性质即可结论②; ③利用(2)的结论可以证明△ENH∽△CBE,然后利用相似三角形的性质和三角形的面积公式即可证明结论③. 【解答】解:①如图,过 H 作 HM⊥BC 于 M, ∵CE 平分∠BCD,BD⊥DC∴DH=HM,而在 Rt△BHM 中 BH>HM, ∴BH>HD,∴所以容易判定①是错误的; ②∵CE 平分∠BCD,∴∠DCE=∠BCE,而∠EBC=∠BDC=90°,∴∠BEH=∠DHC, 而∠DHC=∠EHB,∴∠BEH=∠EHB,∴BE=BH, 设 HM=x,那么 DH=x, ∵BD⊥DC,BD=DC,∴∠DBC=∠ABD=45°,∴BH= x=BE,∴EN=x, ∴CD=BD=DH+BH=( +1)x,即 = +1, = +1,即 CH=( +1)EH;

∵EN∥DC,∴△DCH∽△NEH,∴

③由②得∠BEH=∠EHB, ∵EN∥DC,∴∠ENH=∠CDB=90°,∴∠ENH=∠EBC,∴△ENH∽△CBE,∴EH:EC=NH:BE, 而 ,∴ .所以正确的只有②③.故选 B.
9

二.填空题(每题 4 分,共 32 分) 9.函数 中,自变量 x 的取值范围是 x≥﹣1 且 x≠2 .

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于 0,分母不等于 0,就可以求解. 【解答】解:依题意,得 ,解得 x≥﹣1 且 x≠2,故答案为:x≥﹣1 且 x≠2.

10.分解因式:m ﹣n +2m﹣2n= (m﹣n) (m+n+2) . 【分析】前二项为一组,可使用平方差公式,后两项提公因式 2,再提公因式(m﹣n) . 【解答】解:m ﹣n +2m﹣2n=(m+n) (m﹣n)+2(m﹣n)=(m﹣n) (m+n+2) ,故答案为: (m﹣n) (m+n+2) . 11.如图,⊙P 与 x 轴切于点 O,点 P 的坐标为(0,1) .点 A 在⊙P 上,且位于第一象限,∠APO=120°.⊙P 沿 x 轴正方向滚动,当点 A 第一次落在 x 轴上时,点 A 的横坐标为 . (结果保留 π)
2 2

2

2

【分析】当点 A 第一次落在 x 轴上时,点 A 的横坐标为 OA 的弧长,根据弧长公式计算即可. 【解答】解:弧 OA= .

12.在一个不透明的盒子里装有 5 个分别写有数字﹣2,﹣1,0,1,2 的小球,它们除数字不同外其余全部相同.现 从盒子里随机取出一个小球,将该小球上的数字作为点 P 的横坐标,将该数的平方作为点 P 的纵坐标,则点 P 落在 抛物线 y=﹣x +2x+5 与 x 轴所围成的区域内(不含边界)的概率是
2



【分析】画出抛物线图象,确定各点横坐标所对应的纵坐标,与 P 点纵坐标比较即可. 【解答】解:如图,﹣2,﹣1,0,1,2 的平方为 4,1,0,1,4. 点 P 的坐标为(﹣2,4) , (﹣1,1) , (0,0) , (1,1) , (2,4) ; 描出各点:﹣2<1﹣ ,不合题意; 把 x=﹣1 代入解析式得:y1=2,1<2,故(﹣1,1)在该区域内; 把 x=0 代入解析式得:y2=5,0<5,故(0,0)在边界上,不在区域内; 把 x=1 代入解析式得:y3=6,1<6,故(1,1)在该区域内; 把 x=2 代入解析式得:y4=5,4<5,故(2,4)在该区域内. 所以 5 个点中有 3 个符合题意, 点 P 落在抛物线 y=﹣x +2x+5 与 x 轴所围成的区域内(不含边界)的概率是 .
10
2

13.图 1 是以 AB 为直径的半圆形纸片,AB=6cm,沿着垂直于 AB 的半径 OC 剪开,将扇形 OAC 沿 AB 方向平移 至扇形 O′A′C′,如图 2,其中 O′是 OB 的中点,O′C′交 于点 F.则 的长为 π cm.

【分析】连接 OF 计算出圆心角,根据弧长公式计算即可. 【解答】 解: 连接 OF, ∵O′是 OB 的中点, OB′=OF, ∴OO′= OF, ∴∠OFO′=30°∴∠FOO′=60°∴ = =π.

14.如图,在△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,D 是 AB 的中点,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,则 DE 的长是



【分析】过 A 作 BC 的垂线,由勾股定理易求得此垂线的长,即可求出△ABC 的面积;连接 CD,由于 AD=BD, 则△ADC、△BCD 等底同高,它们的面积相等,由此可得到△ACD 的面积;进而可根据△ACD 的面积求出 DE 的 长. 【解答】解:过 A 作 AF⊥BC 于 F,连接 CD; △ABC 中,AB=AC=13,AF⊥BC,则 BF=FC= BC=5; Rt△ABF 中,AB=13,BF=5;由勾股定理,得 AF=12;∴S△ ABC= BC?AF=60; ∵AD=BD,∴S△ ADC=S△ BCD= S△ ABC=30; ∵S△ ADC= AC?DE=30,即 DE= = .故答案为: .

11

15.如图所示,点 A1,A2,A3 在 x 轴上,且 OA1=A1A2=A2A3,分别过点 A1,A2,A3 作 y 轴的平行线,与反比例 函数 y= (x>0)的图象分别交于点 B1,B2,B3,分别过点 B1,B2,B3 作 x 轴的平行线,分别于 y 轴交于点 C1, C2,C3,连接 OB1,OB2,OB3,那么图中阴影部分的面积之和为 .

【分析】先根据反比例函数上的点向 x 轴 y 轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的 k 值得到 S△ OB1C1=S△ OB2C2=S△ OB3C3= k=4, 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到 3 个阴影部分的三角形的面 积从而求得面积和. 【解答】解:根据题意可知 S△ OB1C1=S△ OB2C2=S△ OB3C3= k=4 ∵OA1=A1A2=A2A3,A1B1∥A2B2∥A3B3∥y 轴 设图中阴影部分的面积从左向右依次为 s1,s2,s3 则 s1= k=4, ∵OA1=A1A2=A2A3,∴s2:S△ OB2C2=1:4,s3:S△ OB3C3=1:9 ∴图中阴影部分的面积分别是 s1=4,s2=1,s3= ∴图中阴影部分的面积之和=4+1+ = .故答案为: .

16.右图为手的示意图,在各个手指间标记字母 A、B、C、D.请你按图中箭头所指方向(即 A? B? C? D? C? B? A? B? C? …的方式)从 A 开始数连续的正整数 1,2,3,4…,当数到 12 时,对应的字母是 B ;当字母 C 第 201 次出现时, 恰好数到的数是 603 ; 当字母 C 第 2n+1 次出现时 (n 为正整数) , 恰好数到的数是 6n+3 (用 含 n 的代数式表示) .

【分析】规律是:前六个字母为一组,后边不断重复,12 除以 6,由余数来判断是什么字母. 每组中 C 字母出现两次,字母 C 出现 201 次就是这组字母出现 100 次,再加 3. 字母 C 出现 2n+1 次就是这组字母出现 n 次,再加 3. 【解答】解:通过对字母观察可知:前六个字母为一组,后边就是这组字母反复出现. 当数到 12 时,因为 12 除以 6 刚好余数为零,则表示这组字母刚好出现两次,所以最后一个字母应该是 B. 当字母 C 第 201 次出现时,由于每组字母中 C 出现两次,则这组字母应该出现 100 次后还要加一次 C 字母出现, 而第一个 C 字母在第三个出现,所以应该是 100×6+3=603. 当字母 C 第 2n+1 次出现时,则这组字母应该出现 n 次后还要加一次 C 字母出现,所以应该是 n×6+3=6n+3. 故答案为:B;603;6n+3.
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三、解答题(共 56 分) 17.已知反比例函数 y= 的图象经过点 A(﹣ ,1) .

(1)试确定此反比例函数的解析式; (2)点 O 是坐标原点,将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB.判断点 B 是否在此反比例函数的图象上, 并说明理由; (3)已知点 P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中 m<0) ,过 P 点作 x 轴的垂线,交 x 轴于点 M.若 线段 PM 上存在一点 Q,使得△OQM 的面积是 ,设 Q 点的纵坐标为 n,求 n ﹣2 【分析】 (1)由于反比例函数 y= 的图象经过点 A(﹣
2

n+9 的值.

,1) ,运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式;

(2)首先由点 A 的坐标,可求出 OA 的长度,∠AOC 的大小,然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°,OB=OA, 再求出点 B 的坐标,进而判断点 B 是否在此反比例函数的图象上; (3)把点 P(m, m+6)代入反比例函数的解析式,得到关于 m 的一元二次方程;根据题意,可得 Q 点的坐标 为(m,n) ,再由△OQM 的面积是 ,根据三角形的面积公式及 m<0,得出 mn 的值,最后将所求的代数式变形, 把 mn 的值代入,即可求出 n ﹣2 【解答】解: (1)由题意得 1=
2

n+9 的值. ,解得 k=﹣ ,∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ;

(2)过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C. 在 Rt△AOC 中,OC= ,AC=1,∴OA= =2,∠AOC=30°,

∵将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB,∴∠AOB=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°. 过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D. 在 Rt△BOD 中,BD=OB?sin∠BOD= 将 x=﹣1 代入 y=﹣ 中,得 y= ,OD= OB=1,∴B 点坐标为(﹣1, )在反比例函数 y=﹣ ) , 的图象上.

,∴点 B(﹣1,

(3)由 y=﹣ ∵点 P(m, ∴m(

得 xy=﹣

, 的图象上,其中 m<0,

m+6)在反比例函数 y=﹣ ,∴m +2
2

m+6)=﹣

m+1=0,

∵PQ⊥x 轴,∴Q 点的坐标为(m,n) .∵△OQM 的面积是 ,∴ OM?QM= , ∵m<0,∴mn=﹣1,∴m n +2
2 2

mn +n =0,∴n ﹣2

2

2

2

n=﹣1,∴n ﹣2

2

n+9=8.

13

18.国泰玩具厂工人的工作时间:每月 25 天,每天 8 小时.待遇:按件计酬,多劳多得,每月另加福利工资 100 元,按月结算.该厂生产 A、B 两种产品,工人每生产一件 A 种产品,可得报酬 0.75 元,每生产一件 B 种产品, 可得报酬 1.40 元.下表记录了工人小李的工作情况:根据上表提供的信息,请回答下列问题: (1)小李每生产一件 A 种产品、每生产一件 B 种产品,分别需要多少分钟? (2)如果生产各种产品的数目没有限制,那么小李每月的工资数目在什么范围之内? 生产 A 种产品件数(件) 生产 B 种产品件数(件) 总时间(分) 1 1 35 3 2 85 【分析】 (1)生产 1 件 A 产品需要的时间+生产 1 件 B 产品需要的时间=35 分钟,生产 3 件 A 产品需要的时间+生 产 2 件 B 产品需要的时间=85 分钟,可根据这两个等量关系来列方程组求解; (2)可根据(1)中计算的生产 1 件 A,B 产品需要的时间,根据“每生产一件 A 种产品,可得报酬 0.75 元,每生 产一件 B 种产品,可得报酬 1.40 元”来计算出生产 A,B 产品每分钟的获利情况,然后根据他的工作时间,求出这 两个获利额,那么他的工资范围就应该在这两个获利额之间. 【解答】解: (1)设小李每生产一件 A 种产品、每生产一件 B 种产品分别需要 x 分钟和 y 分钟,根据题意,得 解之,得 答:小李每生产一件 A 种产品、每生产一件 B 种产品分别需要 15 分钟和 20 分钟;

(2)由(1)知小李生产 A 种产品每分钟可获利 0.75÷15=0.05 元, 生产 B 种产品每分钟可获利 1.40÷20=0.07 元, 若小李全部生产 A 种产品,每月的工资数目为 8×60×25×0.05+100=700 元, 若小李全部生产 B 种产品,每月的工资数目为 8×60×25×0.07+100=940 元. ∴小李每月的工资数目不低于 700 元而不高于 940 元. 19.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°, BC=6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF 的直角边 DE 与 △ABC 的斜边 AC 重合在一起,并将△DEF 沿 AC 方向移动.在移动过程中,D、E 两点始终在 AC 边上(移动开 始时点 D 与点 A 重合) . (1)在△DEF 沿 AC 方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C 两点间的距离逐渐 变小 . (填“不变”、“变大” 或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题: 问题①:当△DEF 移动至什么位置,即 AD 的长为多少时,F、C 的连线与 AB 平行? 问题②:当△DEF 移动至什么位置,即 AD 的长为多少时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角 三角形? 问题③:在△DEF 的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出 AD 的长度;如果不存在, 请说明理由. 请你分别完成上述三个问题的解答过程.

【分析】 (1)根据题意,观察图形,F、C 两点间的距离逐渐变小; (2) ①因为∠B=90°, ∠A=30°, BC=6cm, 所以 AC=12cm, 又因为∠FDE=90°, ∠DEF=45°, DE=4cm, 所以 DF=4cm, 连接 FC,设 FC∥AB,则可求证∠FCD=∠A=30°,故 AD 的长可求;
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②设 AD=x,则 FC =DC +FD =(12﹣x) +16,再分情况讨论:FC 为斜边;AD 为斜边;BC 为斜边.综合分析即 可求得 AD 的长; ③假设∠FCD=15°,因为∠EFC=30°,作∠EFC 的平分线,交 AC 于点 P,则∠EFP=∠CFP=∠DFE+∠EFP=60°,所 以 PD=4 cm,PC=PF=2FD=8cm,故不存在. 【解答】解: (1)变小; (2)问题①:∵∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm∴AC=12cm ∵∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4cm∴DF=4cm 连接 FC,设 FC∥AB∴∠FCD=∠A=30°∴在 Rt△FDC 中,DC=4 cm ∴AD=AC﹣DC=(12﹣4 )cm∴AD=(12﹣4 )cm 时,FC∥AB; 2 2 2 2 问题②:设 AD=x,在 Rt△FDC 中,FC =DC +FD =(12﹣x) +16 ∵AC=12cm,DE=4cm,∴AD≤8cm, (I)当 FC 为斜边时,由 AD +BC =FC 得,x +6 =(12﹣x) +16,x= (II)当 AD 为斜边时,由 FC +BC =AD 得, (12﹣x) +16+6 =x ,x=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

; >8(不合题意舍去) ;

(III)当 BC 为斜边时,由 AD +FC =BC 得,x +(12﹣x) +16=36,x ﹣12x+62=0, 方程无解, ∴由(I) 、 (II) 、 (III)得,当 x= cm 时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形;

另解:BC 不能为斜边, ∵FC>CD,∴FC+AD>12∴FC、AD 中至少有一条线段的长度大于 6,∴BC 不能为斜边, ∴由(I) 、 (II) 、 (III)得,当 x= cm 时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形;

问题③:解法一:不存在这样的位置,使得∠FCD=15° 理由如下:假设∠FCD=15° ∵∠EFC=30°作∠EFC 的平分线,交 AC 于点 P 则∠EFP=∠CFP=15°,∠DFE+∠EFP=60° ∴PD=4 cm,PC=PF=2FD=8cm,∴PC+PD=8+4 >12∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15° 解法二:不存在这样的位置,使得∠FCD=15° 假设∠FCE=15°AD=x 由∠FED=45°得∠EFC=30° 作 EH⊥FC,垂足为 H.∴HE= EF=2
2

cm
2

CE=AC﹣AD﹣DE=(8﹣x)cm 且 FC =(12﹣x) +16 ∵∠FDC=∠EHC=90°
2

∠DCF 为公共角∴△CHE∽△CDF ∴
2

=

又(

) =(

2

)=

2

∴(

) = ,即

= 整理后,得到方程 x ﹣8x﹣32=0 >8(不符合题意,舍去)

∴x1=4﹣4 <0(不符合题意,舍去)x2=4+4 ∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15°.

15

20.如图,以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B、已知 A、B 两点的坐标分别为(3,0) 、 (0,4) . (1)求抛物线的解析式; (2)设 M(m,n)是抛物线上的一点(m、n 为正整数) ,且它位于对称轴的右侧.若以 M、B、O、A 为顶点的 四边形四条边的长度是四个连续的正整数,求点 M 的坐标; 2 2 2 (3)在(2)的条件下,试问:对于抛物线对称轴上的任意一点 P,PA +PB +PM >28 是否总成立?请说明理由.

【分析】 (1)已知了抛物线的顶点坐标,可将抛物线的解析式设为顶点式,然后将 B 点坐标代入求解即可; (2)由于 M 在抛物线的图象上,根据(1)所得抛物线的解析式即可得到关于 m、n 的关系式:n= (m﹣3) , 由于 m、n 同为正整数,因此 m﹣3 应该是 3 的倍数,即 m 应该取 3 的倍数,可据此求出 m、n 的值,再根据“以 M、 B、O、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去,即可得到 M 点的坐标; (3)设出 P 点的坐标,然后分别表示出 PA 、PB 、PM 的长,进而可求出关于 PA +PB +PM 与 P 点纵坐标的函 2 2 2 数关系式,根据所得函数的性质即可求出 PA +PB +PM 的最大(小)值,进而可判断出所求的结论是否恒成立. 【解答】解: (1)设 y=a(x﹣3) ,把 B(0,4)代入,得 a= ,∴y= (x﹣3) ; (2)解法一: ∵四边形 OAMB 的四边长是四个连续的正整数,其中有 3、4, ∴可能的情况有三种:1、2、3、4;2、3、4、5;3、4、5、6, ∵M 点位于对称轴右侧,且 m,n 为正整数,∴m 是大于或等于 4 的正整数,∴MB≥4, ∵AO=3,OB=4,∴MB 只有两种可能,∴MB=5 或 MB=6, 当 m=4 时,n= (4﹣3) = (不是整数,舍去) ; 当 m=5 时,n= (不是整数,舍去) ;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

当 m=6 时,n=4,MB=6;当 m≥7 时,MB>6; 因此,只有一种可能,即当点 M 的坐标为(6,4)时,MB=6,MA=5, 四边形 OAMB 的四条边长分别为 3、4、5、6. 解法二: ∵m,n 为正整数,n= (m﹣3) ,∴(m﹣3) 应该是 9 的倍数,∴m 是 3 的倍数, 又∵m>3,∴m=6,9,12,当 m=6 时,n=4, 此时,MA=5,MB=6,∴当 m≥9 时,MB>6, ∴四边形 OAMB 的四边长不能是四个连续的正整数,∴点 M 的坐标只有一种可能(6,4) . (3)设 P(3,t) ,MB 与对称轴交点为 D,则 PA=|t|,PD=|4﹣t|,PM =PB =(4﹣t) +9, ∴PA +PB +PM =t +2[(4﹣t) +9]=3t ﹣16t+50=3(t﹣ ) +
16
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



∴当 t= 时,PA +PB +PM 有最小值

2

2

2

;∴PA +PB +PM >28 总是成立.

2

2

2

21.如图所示,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为(3,0) , (0,1) ,点 D 是线段 BC 上的动点(与端 点 B、C 不重合) ,过点 D 作直线 y=﹣ x+b 交折线 OAB 于点 E. (1)记△ODE 的面积为 S,求 S 与 b 的函数关系式; (2)当点 E 在线段 OA 上时,若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1,试探究 O1A1B1C1 与矩 形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.

【分析】 (1)要表示出△ODE 的面积,要分两种情况讨论,①如果点 E 在 OA 边上,只需求出这个三角形的底边 OE 长(E 点横坐标)和高(D 点纵坐标) ,代入三角形面积公式即可;②如果点 E 在 AB 边上,这时△ODE 的面 积可用长方形 OABC 的面积减去△OCD、△OAE、△BDE 的面积; (2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因 素就是看这个平行四边形落在 OA 边上的线段长度是否变化. 【解答】解: (1)∵四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为(3,0) , (0,1) ,∴B(3,1) , 若直线经过点 A(3,0)时,则 b= 若直线经过点 B(3,1)时,则 b= 若直线经过点 C(0,1)时,则 b=1 ①若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时,即 1<b≤ ,如图 1, 此时 E(2b,0)∴S= OE?CO= ×2b×1=b; ②若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时,即 <b< ,如图 2 此时 E(3, ) ,D(2b﹣2,1) ,

∴S=S 矩﹣(S△ OCD+S△ OAE+S△ DBE)
17

=3﹣[ (2b﹣2)×1+ ×3(b﹣ )+ ×(5﹣2b)?( ﹣b)]= b﹣b ,

2

∴S=



(2)如图 3,设 O1A1 与 CB 相交于点 M,OA 与 C1B1 相交于点 N,则矩形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的 面积即为四边形 DNEM 的面积. 由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形 DNEM 为平行四边形 根据轴对称知,∠MED=∠NED 又∵∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形 DNEM 为菱形. 过点 D 作 DH⊥OA,垂足为 H,设菱形 DNEM 的边长为 a, 由题意知,D(2b﹣2,1) ,E(2b,0) , ∴DH=1,HE=2b﹣(2b﹣2)=2,∴HN=HE﹣NE=2﹣a, 则在 Rt△DHN 中,由勾股定理知:a =(2﹣a) +1 ,∴a= ,∴S 四边形 DNEM=NE?DH= . ∴矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为 .
2 2 2

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