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2.1.2(1)指数函数及其性质


§2.1.2指数函数及其性质

§ 2.1.2指数函数及其性质

§2.1.2指数函数及其性质

一、引入新课

在本节的问题2中时间和碳14含量 的对应关系: GDP值y的对应关系: 数? (P54)


和问题1中时间x与 能否构成函

§2

.1.2指数函数及其性质

引例:若从今年底开始我国的人口年平均增长 率为1%,那么经过20年后我国的人口数是现在 的几倍?
经 过 第 一 年

表达式

第 二 年

Y=1.01

第 三 年 X

经过
X年 人 口 倍 数

增 长 1% 人口 倍数

增 长 1%

增 长 1%

Y1

1.01

1

(1.01)

2

(1.01)3

…...1.01X

§2.1.2指数函数及其性质

想一想
像 共同点?

1 x x y ? 1.01 , y ? ( ) 这类函数有什么 2

指数函数定义: 一般地,函数y=ax (a>0,且a≠1)叫做指数 函数. 其中x是自变量,函数的定义域为R

§2.1.2指数函数及其性质

探究1:为什么要规定a>0,且a
x

?

1呢?

①若a=0,则当x≤0时, a 无意义 ②若a<0,对于x的某些数值,可能使 a 无意义
x

如:a 、a 等等
③若a=1,则对于任何x ? R,

1 2

1 4

a =1,是一个常量,没有研究的必要性.

x

§2.1.2指数函数及其性质

探究2:函数 y ? 2 ? 3 是指数函数吗?
x

不是!指数函数中要求 a x 的系数必须是1 思考:下列函数是指数函数吗,为什么?

y?2

x?2

y ? 4x

2

y ??

x

y?2

?x

§2.1.2指数函数及其性质

指数函数的图象和性质:
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像: 列表如下:

y?2
-2

x

?1? y?? ? ?2?
- 0.5 0 0.5 1.4 1 2

x

x

-3

-1

2 4

3 8

2

x
x

0.13 0.25 0.5 0.71 1 4 2 1.4 1

?1? 8 ? ? ?2?

0.71 0.5 0.25 0.13

§2.1.2指数函数及其性质

y ? 2x
?1? y?? ? ?2?
x

8

7

f?x? =

x 2

6

5

g?x? = 0.5x

4

3

2

1

-6 -6

-4 -4

-2 -2

2

4

6

§2.1.2指数函数及其性质

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质:
a>1
6

0<a<1
6

图 象
1
-4 -2

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

性 1.定义域: ( ??,??) 质 2.值域: (0,??) 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数
图象在y轴左边平缓,右边陡 图象在y轴左边陡峭,右边平 峭 缓

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继续观察图象,我们一起来研究一下指数函 数的递增递减速度。 注意分类讨论!
画板

结论:一般地,对于指数函数 y ? a x (a ? 1) ,当底数越大,函数递增的速度越快;对 于指数函数 y ? a x (0 ? a ? 1) ,当底数越 小时,函数递减的速度越快。

§2.1.2指数函数及其性质

从画出的图象中你能发现函数


的图象和函

画板

的图象有什么关系?可否利用 的图象?

图象画出

两个指数函数图象关于y轴对称 知道其中一个,可以利用轴对称性画出另一个指 数函数的图象。 那对于一般的指数函数来说这一性质是否也成立呢?

1 x 上述性质推广到一般的指数函数 y ? a 与 y ? ( ) a ( a ? 0, a ? 1 )。
x

§2.1.2指数函数及其性质

三、例题讲解 例1 已知指数 过点 (3, ? ) , 求
f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1)

的图象经 f (0) , f (1) , f (?3) 的值。 ,

x f ( x ) ? a 解:因为 的图象经过点 (3, ? ) 3 f ( 3 ) ? ? a 所以 , ??



a ??

1 3

, f ( x) ? ?
?3 3

x 3
1 3 3 ? 这里注意: ?,

解得 f (0) ? ? 0 ? 1 ,于是 f (1) ? ?

所以, f (?3) ? ?

? ? ?1 ?

1

?



明确底数是 , 确定指数函 . 数的要素。

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例2、比较下列各题中两个值的大小:

0.8 ( 1 ) 1.7 和1.7 (2)
(3) 1.7 和0.9
0.3 3.1

2.5

3

?0.1

和0.8

?0.2

从这一题我们可以看到, 利用函数单调性,通过自 变量的大小关系可以判断 相应函数值的大小关系。

§2.1.2指数函数及其性质

2 2 m 例3、(1)若 ( ) ? ( ) n , 则m与n的大 小如何? 3 3
(2)求不等式a ? a
x 1? x

(a ? 0, 且a ? 1)中

x的取值范围
(3)已知a>0,且a≠1,若当x≠1时恒有:

a

x 2 ?1

?a

2x

成立,求a的取值范围.

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