nbhkdz.com冰点文库

2015全国新课标1高考数学卷(理科)


保密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题).本试卷共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域 书写的

答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使 用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ 卷(选择题 共 60 分)
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足 A. 1

1+z ? i ,则| z ? 1? z
B. 2 C. 3 D. 2

2. sin 200 cos100 ? cos1600 sin100 ? A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

3.设命题 P: ?n ? N , n 2 ? 2 n ,则 ?p 为 A. ?n ? N , n 2 ? 2 n B. ?n ? N , n 2 ? 2 n C. ?n ? N , n 2 ? 2 n D. ?n ? N , n 2 ? 2 n

4.投篮测试中, 每人投 3 次, 至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6, 且各次投篮是否投中相互独立, 则该同学通过测试的概率为 A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312

5.已知 M ?x0 , y0 ? 是双曲线 C:

x2 <0,则 y 0 的取值范围是 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 C 上的两个焦点,若 MF 1 ? MF 2 2

第 1 页

A. ? ?

? ? ?

3 3? ? , 3 3 ? ?

B. ? ?

? ? ?

3 3? ? , 6 6 ? ?

C. ? ?

? 2 2 2 2? ? , ? ? 3 3 ? ?

D. ? ?

? 2 3 2 3? ?a , ? ? 3 3 ? ?

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题 :“今有委米依垣 内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积 和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛

7.设 D 为 ?ABC所在平面内一点 BC ? 3CD ,则 A. AD ? ?

1 4 AB ? AC 3 3

B. AD ?

1 4 AB ? AC 3 3

C. AD ?

4 1 AB ? AC 3 3

D. AD ?

4 1 AB ? AC 3 3

8.函数 f ?x ? ? cos??x ? ? ? 的部分图像如图所示,则 f ? x ? 的单调递减区间为 A. (k? ?

y

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4

B. (2k? ?

1 3 ,2k? ? ), k ? Z 4 4
1 4 3 4

开始
x

1 3 C. (k ? , k ? ), k ? Z 4 4

1 3 D. (2k ? ,2k ? ), k ? Z 4 4

输入t
S ? 1, n ? 0, m ? 1 2

9.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01,则输出的 n ? A.5 C.7 B.6 D.8

S ? S ?m
m? m , n ? n ?1 2

10. ( x 2 A.10 C.30

? x ? y)5 的展开式中, x5 y 2 的系数为
B.20 D.60



S ?t


输出n
结束

11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为 16 ? 20? ,则 r ? A.1 B.2

第 2 页

C.4

D.8

12.设函数 f ?x ? ? e x ?2 x ? 1? ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0,使得 f ?x0 ? ? 0 ,则 a 的取值范围是( A. ? ?

)

?

3 ? ,1? ? 2e ?

B. ? ?

?

3 3? , ? ? 2e 4 ?

C. ?

? 3 3? , ? ? 2e 4 ?

D. ?

?3 ? ,1? ? 2e ?

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据 要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分

? x ? a ? x2 ? ? 为偶函数,则 a ? 13.若函数 f ?x ? ? x ln? ? ?

14.一个圆经过椭圆错误!未找到引用源。

x2 y2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为 16 4

.

?x ?1 ? 0 y ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

的最大值为

.

16.在平面四边形 ABCD 中,∠ A=∠ B=∠ C=75° ,BC=2,则 AB 的取值范围是

.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
2 S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和.已知 an ? 0, an ? 2an ? 4S n ? 3

(Ⅰ )求 ?a n ? 的通项公式: (Ⅱ )设错误!未找到引用源。 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 a n a n ?1

18.如图,四边形 ABCD为菱形, ?ABC ? 1200 E,F 是平面 ABCD同一 侧的两点, BE ? ABCDBE⊥ 平面 ABCD,

E F A B D C

DF ? ABCD, BE ? 2DF , AE ? EC ,
(1)证明:AEC⊥ AFC AEC ? AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

第 3 页

19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元) · · 的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,· ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量(t )

620 600 580 560 540 520 500 480

34 36

38

40 42 44 46 48 50 年宣传费(千元)

52 54 56

x

? y

w

? ( xi ? x) ? i ?1
2 i ?1

n

n

(wi ? w) 2

?
i ?1

n

( xi ? x)( yi ? y)

? (wi ? w)( yi ? y)
i ?1

n

46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi ?

xi , w ?

1 8

? wi .
i ?1

n

(Ⅰ )根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d

x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可)

(Ⅱ )根据(Ⅰ )的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ )以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ )的结果回答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ), (u 2 , v2 ),?, (u n , vn ) ,其回归直线的 v ? ? ? ? u 斜率和截距的最小二乘估计分别为

?? ?

? (ui ? u)(vi ? v)
i ?1

n

? (ui ? u) 2
i ?1

n

? u. ? ?v?? ,?

20.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C : y ?

x2 与直线 y ? kx ? a?a ? 0? 交于 M , N 两点, 4

(Ⅰ )当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ ) y 轴上是否存在点 p ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? OPN ?说明理由.

第 4 页

21.(本小题满分 12 分)

1 , g ?x ? ? ? ln x 4 (Ⅰ )当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ? x ? 的切线;
已知函数 f ?x ? ? x 3 ? ax ? (Ⅱ )用 min

?m, n? 表示 m, n 中的最小值,设函数 h( x) ? min ? f ( x), g( x) ? ( x ? 0)

,讨论 h ? x ? 零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请 用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是 ?0 的直径, AC 是 ?0 的切线, BC 交 ?0 于点 E (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明: DE 是 ?0 的切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的大小.

C E D A

O

B

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中.直线 C1 : x ? ?2, ,圆 C2 : ?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 1 ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C 2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C 3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

?? ? R? ,设 C2 与 C 3 的交点为 M , N ,求 ?C 2 MN 的面积

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ?x ? ? x ? 1 ? 2 x ? a , a ? 0 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ?x ? ? 1 的解集; (Ⅱ)若 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案
A 卷选择题答案 一、 选择题 (1)A (2)D (3)C (4)A (5)A (6)B

第 5 页

(7)A 二、填空题 (13)1

(8)D

(9)C

(10)C

(11)B

(12)D

(14) ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

25 4

(15)3

(16)

二、 解答题 (17)解: (I)由 an ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3. 可得 an?1 ? an ? 2(an?1 ? a) ? 4an?1 即
2 2

2

2

2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? a)(an?1 ? a)
2 由于 an ? 0 可得 an?1 ? an ? 2. 又 a1 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1(舍去),a1 ? 3

所以 ?an ? 是首相为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1, bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). an a?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ? b1 ? b2 ?

? bn

1? 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? )? 2? 5 7 ? 3 5 n ? . 3(2n ? 3) ?
(18)解: (I)连结 BD,设 BD 可得 AG=GC= 3 .由

?(

1 1 ? )?( ) 2n ? 1 2n ? 3 ? ?

AC=G,连结 EG,FG,EF.在菱形 ABCD 中不妨设 GB=1.由 ? ABC=120° , BE ? 平面 ABCD, AB=BC 可知 AE=EC.

又 AE ? EC,所以 EG= 3 ,且 EG ? AC.在 Rt ? EBG 中, 可得 BE= 2 故 DF=

2 6 .在 Rt ? FDG 中,可得 FG= . 2 2 2 , 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=

可得 FE=

3 2 .从而 EG2 ? FG2 ? EF 2 , 所以EG ? FG 2

又 AC

FG ? G, 可得EG ? 平面AFC. 因为 EG ? 平面AEC ,所以平面 AEC ? 平面AFC

第 6 页

(I)

如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向, GB 为单位长, 由 (I) 可得 A(0, ? 3,0), E (1, 0,2), F (?1, 0, ), C (0,3,0) 所以 AE ? (1,3 2), CF ? ( ?1,3,

2 2

2 ). 2

故 cos AE, CF ?

AE ? CF 3 3 . ?? . 所以直线 AE 与直线 CF 所成直角的余弦值为 3 3 AE ? CF

(19)解: (I)由散点图可以判断, y ? c ? d x 作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 ……2 分 (II)令 w ?
n

x ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程。由于

?? d

? (w ? w)( y ? y )
i ?1 i i

? (w ? w)
i ?1 i

n

?

2

108.8 ? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 。 ? 68 , c ? ? y ? dw 1.6

? ? 100.6 ? 68w ,因此 y 关于 x 的回归方程为 y 所以 y 关于 w 的回归方程为 y ? ? 100.6 ? 68 x 。 ……6 分
(III)(i)由(II)知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 y ? ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6

? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 。 年利润 z 的预报值 z (ii)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值

……9 分

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ? 13.6 x ? 20.12 z
所以当 x ?

13.6 ? 6.8 ,即 x=46.24 时, z ? 取得最大值 2
……12 分

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大。

(20)解: (I)有题设可得 M (2 a , a), N (?2 a , a), 或M (-2 a ,a).又 y?= ,故y ? 处的导数值为 a ,C 在点 (2 a , a) 出的切线方程为

x 2

x2 在x ? 2 a 4

y ? a ? a ( x ? 2 a即 ),

, ax ? y ? a ? 0y ?

x2 在x ? ?2 a ,即 ax ? y ? a ? 0 . 4

所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0和 a x ? y ? a ? 0

第 7 页

(I)

存在符合题意的点,证明如下:

设 P(0,b)为符合题意的点,M(x,y),N(x,y)直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2

y ? k x? 代入 a 的方程得 C

2

x? 4

k? x 4

? a 0 . 故 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a.

从而 kx ? a代入C的方程得x2 ? 4kx ? 4a ? 0. 故x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a.

从而k1 ? k 2 ?

y1 ? b y2 ? b ? x1 x2

2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) x1 x2
? k (a ? b) a

当 b=-a 时,有

k1 ? k2 ? 0, 则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补,故?OPM=?OPN,所以点P(0,-a)符合题意
(21)解:

( x0 , 0)则f ( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? 0即 1 ? 3 ? ? x0 ? ax0 ? ? 0 ? 4 ? ? (I)设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 ?3x 2 ? a ? 0 ? ? 0 ? 1 3 解得x0 , a ? ? 2 4 3 因此,当 a ? ? 时,x轴为曲线y ? f ( x)的切线 4
(II)当

x ? (1, ??)时,g( x) ? ?1nx ? 0, 从而h(x)=min ? f ( x), g( x)? ? g( x) ? 0, 故h( x)在(1, ??)无零点
5 5 当x ? 1时,若a ? ? 则f (1) ? a ? ? 0, h(1) ? min ? f (1), g (1)? ? g (1) ? 0, 故x ? 4 4 5 是 h( x)的零点;若a ? ? , 则f(1)<0,h(1)=min ? f (1), g (1)? ? f (1) ? 0, 故x ? 1不是h( x 4







当x ?

( 时, 0 , x 1 )?

? n gx 所以只需考虑 (? ) 1 (x)在( 0 0,1 . )的零点个数 f

(i)若a ? -3或a ? 0,则f ?(x)=3x2 +a在(1,0)无零点,故f(x)在(0,1)单调
1 5 f (0) ? , f (1)a ? , 所以当a ? -3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a ? 0时f(x)在(1,0)没有零点 4 4

a a (ii)若 ? 3 ? a ? 0, 则f ( x)在(0,? )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故在(0,1)中 3 3

第 8 页

a 2a a 1 当x ? ? a )? ? ? 3 时,f ( x)取得最小值,最小值为f ( ? 3 3 3 4

a 3 ①若f ( ? ) ? 0.即 ? ? a ? 0, f ( x)在(0,1)无零点; 3 4 a 3 ②若f( ? )=0,即a =- 则f ( x)在(0,1)有唯一零点 3 4 a 3 1 5 3 ③若f ( ? ) ? 0, 即 ? 3 ? a ? ? ,由于f (0) ? , f (1) ? a ? ? a ? ? 3 4 4 4 4
5 时,f ( x)在(0,1)有两个零点;当-3<a ? - 时,f ( x)在(0,1)有一个零点. 4
综上,当

3 5 3 5 a ? ? 或a<- 时,h( x)有一个零点;当a ? ? 或a ? ? 时,h( x)有两个零点 4 4 4 4 5 3 当 ? ? a ? ? 时,h( x)有三个零点. 4 4
(22)解: (I)链接 AE,由已知得, AE ? BC AC ? AB 在 Rt ?AEC 中,由已知得,DE=DC 故 ?DEC ? ?DCE 链接 OE,则 ? OBE= ? OEB 又 ? ACB+ ? ABC=90° 所以 ? DEC+ ? OEB=90° 故 ?OED ? 90o ,DE 是 O 得切线 (II)设 CE=1,AE=X,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2 由摄影定理可得,AE=CE.BE,所以 x2 ? 12 ? x2 即 x 4 ? x 2 ? 12 ? 0 可得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60o (23)解: ( I )因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 , C2 的极坐标方程为

? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 。
( II ) 将 ? ?

……5 分

?
4

代入

? 2 ? 2 ? c o s? ? 4? s i n ?? ? 4 , 0得 ? 2 ? 3 2? ? 4? 0, 解 得 ?1 ? 2 2 ,

?2 ? 2 。故 ?1 ? ?2 ? 2 ,即 MN ? 2 。
由于 C2 的半径为 1,所以 ?C2 MN 的面积为

1 。 2

……10 分

第 9 页

(24)解: (I)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 1 化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ?1 ? 0 , 当 x ? ?1 时,不等式化为 x ? 4 ? 0 ,无解;

2 ? x ? 1; 3 当 x ? 1 时,不等式化为 ? x ? 2 ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 。
当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 3 x ? 2 ? 0 ,解得 所以 f ? x ? ? 1 的解集为 ? x

? 2 ? ? x ? 2? 。 ? 3 ?

……5 分

? x ? 1 ? 2a, x ? ?1, ? (II)由题设可得, f ? x ? ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a, ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a, ?
所以函数 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ?

? 2a ? 1 ? , 0 ? , B ? 2a ? 1,0? , ? 3 ?

C ? a, a ? 1? , ?ABC 的面积为
由题设得

2 2 ? a ? 1? 。 3

2 2 ? a ? 1? ? 6 ,故 a ? 2 。 3
……10 分

所以 a 的取值范围为 ? 2, ???

第 10 页


2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标1)解析

2015全国统一高考数学试卷(理科)(新课标1)解析_高考_高中教育_教育专区。2015全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 1)一.选择题(共 12 小题) 1.设复数...

2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

2015全国高考理科数学试题及答案-新课标1_高考_高中教育_教育专区。绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学注意事项: ...

2015年全国高考数学试卷理科新课标1卷(精校含答案)

2015全国高考数学试卷理科新课标1卷(精校含答案)_高考_高中教育_教育专区。2015全国高考数学试卷理科新课标1卷含小题解析 理科数学试卷 一、选择题:本大题共...

2015年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

2015全国高考理科数学试题及答案-新课标1_高考_高中教育_教育专区。中国校长网教学资源频道 http://zy.zgxzw.com 绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2015 年...

2015年高考试题数学理(新课标1卷) 解析版

2015高考试题数学理(新课标1卷) 解析版_高考_高中教育_教育专区。...2015高考全国新课标1理... 6页 免费 2015高考试题——理科... 7页 ...

2015年全国高考数学(理科)新课标1卷真题及答案

2015全国高考数学(理科)新课标1卷真题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科...

2015年高考理科数学新课标1卷试题与答案

2015高考理科数学新课标1卷试题与答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。试题类型:A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷...

2015年新课标1高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 1)一.选择题(共 12 小题) 1. 【2015 新课标 1】设复数 z 满足 A.1 B. 考点: 复数求模. 专题: 计算题...

2014-2015年全国新课标1高考理科数学试题及答案

2014-2015全国新课标1高考理科数学试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。绝密 ★ 启用前 2014-2015全国课标 1 高考理科数学试题及答案数学(理工类)...