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15-05-07长郡中学高三文科数学(短卷测试1)


2015 届文科数学短卷测试 1

05.07

满分 124 分,时量 90 分钟 姓名 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x ( x ? 4)( x ? 2) ? 0 , B ? ?x | x ? 3? ,则 A A. {?2}<

br />x

?

?

B 等于
D. {?2, 4}





B. {3}

C. {4}

2.若函数 y ? a ? b 的部分图象如图所示,则 A. a ? 1 , 0 ? b ? 1 C. 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 B. a ? 1 , ? 1 ? b ? 0 D. 0 ? a ? 1 , ? 1 ? b ? 0





3.在区间 [0, 2] 上随机取一个实数 x ,若事件“ 3 x ? m ? 0 ”发生的概率为 A. 1 B.

1 2

C.

1 3

1 ,则实数 m ? ( 6 1 D. 6




4.“ x ? 1 ”是“ log 1 x ? 0 ”的
2



A.充分而不必要条件 5.如图所示的程序的功能是

B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

1? A.求数列 ? ? ? 的前 10 项和 ?n? 1? B.求数列 ? ? ? 的前 11 项和 ?n? 1? C.求数列 ? ? ? 的前 10 项和 ? 2n ? 1? D.求数列 ? ? ? 的前 11 项和 ? 2n ?

1

6.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:我没有偷; 乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷. 根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是 ( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 )

7.函数 f ? x ? ? tan wx(w ? 0) 的图象的相邻两支截直线 y ? 2 所得线段长为 A. ? 3

? ? ,则 f ( ) 的值是( 6 2
[来



B.

3 3

C.1

D. 3

8.设集合 D ? ?( x, y ) ?

? ? ? ?

? x ? y ? 1, ? ? ? ,则下列命题中正确的是 ? x ? y ? 1.? ?
B. ?( x , y) ? D , x ? 2 y ? ?2 D. ?( x , y) ? D , y ? ?1





A. ?( x , y) ? D , x ? 2 y ? 0 C. ?( x , y) ? D , x ? 2 9.已知函数 f ( x) ?

2 x ? 2? x 2 x ? 2? x , g ( x) ? ,下列结论错误的是 2 2





A.函数 f ( x ) 的图像关于原点对称,函数 g ( x) 的图像关于 y 轴对称 B.在同一坐标系中,函数 f ( x ) 的图像在函数 g ( x) 的图像的下方 C.函数 g ( x) 的值域是 ?1, ?? ? D. g (2 x) ? 2 f ( x) g ( x) 在 (??, ??) 恒成立 10. 如图, F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 右焦点, P 为双曲线右支上一点, 圆 A 与△P F1F2 ? ? 1 (a>0,b>0) 的左、 a 2 b2


三边所在直线都相切,切点分别为 B,C,D,若|PB|=a,则此双曲线的离心率为( A. C.
2 3

B. 2
y

D .3

C P A B F1 O F2 D x

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.已知 b 为实数, i 为虚数单位,若

2 ? b ?i 为实数,则 b ? 1? i



? x ? 2 ? 2cos ? (? ? R) ,极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的单位长度,以原点 O 为极点, 12.曲线 C : ? ? y ? 2sin ?

x 轴正半轴为极轴)中,直线 ? ?

?
6

(? ? R) 被曲线 C 截得的线段长为



13.已知单位向量 a 与向量 b = (1, ?1) 的夹角为

π ,则 a ? b ? 4



14.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的所有棱中,则该几何体的所有棱中,最长的棱为



15.设 f ( x) ? ?

? x, x ? a ,
2 ? x , x ? a.

对任意实数 b ,关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0

总有实数根,则 a 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 4 小题,共 49 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知某中学高三学生共有 800 人参加了数学与英语水平测试,现学校决定利用 随机数表法从中抽取 100 人的成绩进行统计,先将 800 人按 001,002,?,800 进行编号. (Ⅰ)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面是随机数表的第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 26 83 92 53 16 59 16 92 75 38 62 98 21 50 71 75 12 86 73 63 01 58 07 44 39 13 26 33 21 13 42 78 64 16 07 82 52 07 44 38 15 (Ⅱ)抽取 100 人,数学与英语水平测试成绩分为优秀、良好、及格三个等级,相应人数如右表所示 (例如表中 a 表示数学优秀且英语及格的人数). ① 若在该样本中,数学成绩优秀率为 30%,求 a,b 的值; ② 当 a ? 10, b ? 8 时,在所有有序数对 (a, b) 中, 求事件 a ? b 的概率.
英语 人数 优秀 优秀 良好 及格 7 9 a 良好 20 18 4 及格 5 6 b 数 学

3

17. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形, 且满足 AB∥CD,AD=DC= 1 AB,PA⊥平面 ABCD.

2

(Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB,求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.

2 18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的和为 Sn ,且满足 an ? 2Sn (n ? 2) . 2Sn ? 1

(Ⅰ) 求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?
1 1 1 3 S 2 ? S3 ? ... ? S n ? . 2 3 n 2

(Ⅱ) 证明:当 n ? 2 时, S1 ?

19. (本小题满分 13 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=900,AB= 3 ,BC=1, P 为△ABC 内一点, ∠BPC=900. (Ⅰ)若 PC=

3 ,求 PA 的长; 2

(Ⅱ)若∠ABC=1200,求△ABP 的面积 S.

20. (附加题) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

x ?1 x , g ? x ? ? e (其中 e 为自然对数的底数) . x ?1

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内是增函数,求实数 a 的取值范围;
?b b (Ⅱ)当 b ? 0 时,函数 g ? x ? 的图象 C 上有两点 P b, e , Q ?b, e ,过点 P , Q 作图象 C 的

?

?

?

?

切线分别记为 l1 , l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,证明 x0 ? 0 .
4

2015 届文科数学短卷测试 1 教师版

05.07

满分 124 分,时量 90 分钟 姓名 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x ( x ? 4)( x ? 2) ? 0 , B ? ?x | x ? 3? ,则 A A. {?2}
x

?

?

B 等于
D. {?2, 4}



C )

B. {3}

C. {4}

2.若函数 y ? a ? b 的部分图象如图所示,则 A. a ? 1 , 0 ? b ? 1 C. 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 B. a ? 1 , ? 1 ? b ? 0 D. 0 ? a ? 1 , ? 1 ? b ? 0



)D

3.在区间 [0, 2] 上随机取一个实数 x ,若事件“ 3 x ? m ? 0 ”发生的概率为 A. 1 B.

1 2

C.

1 3

1 ,则实数 m ? ( 6 1 D. 6


) A

4.“ x ? 1 ”是“ log 1 x ? 0 ”的
2

)B

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 C )

D.既不充分也不必要条件

5.如图所示的程序的功能是 (

1? A.求数列 ? ? ? 的前 10 项和 ?n? 1? B.求数列 ? ? ? 的前 11 项和 ?n? 1? C.求数列 ? ? ? 的前 10 项和 ? 2n ? 1? D.求数列 ? ? ? 的前 11 项和 ? 2n ?

5

6.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝. 甲:我没有偷; 乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷. 根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ) A

7.函数 f ? x ? ? tan wx(w ? 0) 的图象的相邻两支截直线 y ? 2 所得线段长为 则 f ( ) 的值是(

?

? , 2

6

)D

A. ? 3

B.

3 3

C.1

D. 3

[来

8.设集合 D ? ?( x, y ) ?

? ? ? ?

? x ? y ? 1, ? ? ? ,则下列命题中正确的是 ? x ? y ? 1.? ?
B. ?( x , y) ? D , x ? 2 y ? ?2 D. ?( x , y) ? D , y ? ?1



)B

A. ?( x , y) ? D , x ? 2 y ? 0 C. ?( x , y) ? D , x ? 2

2 x ? 2? x 2 x ? 2? x , g ( x) ? 9.已知函数 f ( x) ? ,下列结论错误的是 2 2
A.函数 f ( x ) 的图像关于原点对称,函数 g ( x) 的图像关于 y 轴对称 B.在同一坐标系中,函数 f ( x ) 的图像在函数 g ( x) 的图像的下方 C.函数 g ( x) 的值域是 ?1, ?? ? D. g (2 x) ? 2 f ( x) g ( x) 在 (??, ??) 恒成立 10.如图,F1,F2 分别是双曲线



)D

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) 的 a 2 b2

y C P A B F1 O F2 D x

左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,圆 A 与△P F1F2 三边所在直线都相切,切点分别为 B,C,D,若|PB|=a, 则此双曲线的离心率为( A. C.
2 3

)B

B. 2 D .3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.已知 b 为实数, i 为虚数单位,若

2 ? b ?i 为实数,则 b ? 1? i

___ ?2 __.

? x ? 2 ? 2cos ? (? ? R) ,极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的单位长度,以原点 O 为极点, 12.曲线 C : ? ? y ? 2sin ?

x 轴正半轴为极轴)中,直线 ? ?

?
6

(? ? R) 被曲线 C 截得的线段长为
6

2 3



13.已知单位向量 a 与向量 b = (1, ?1) 的夹角为

π ,则 a ? b ? ___ 1 ___. 4

14. 某几何体的三视图如图所示, 且该几何体的所有棱中, 则该几何体的所有棱中, 最长的棱为

14



15.设 f ( x) ? ?

? x, x ? a ,
2 ? x , x ? a.

对任意实数 b ,关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0

总有实数根,则 a 的取值范围是

[0,1] .

三、解答题:本大题共 4 小题,共 49 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知某中学高三学生共有 800 人参加了数学与英语水平测试,现学校决定利用 随机数表法从中抽取 100 人的成绩进行统计,先将 800 人按 001,002,?,800 进行编号. (Ⅰ)如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面是随机数表的第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 26 83 92 53 16 59 16 92 75 38 62 98 21 50 71 75 12 86 73 63 01 58 07 44 39 13 26 33 21 13 42 78 64 16 07 82 52 07 44 38 15 (Ⅱ)抽取 100 人,数学与英语水平测试成绩分为优秀、良好、及格三个等级,相应人数如右表所示 (例如表中 a 表示数学优秀且英语及格的人数). ③ 若在该样本中,数学成绩优秀率为 30%,求 a,b 的值; ④ 当 a ? 10, b ? 8 时,在所有有序数对 (a, b) 中, 求事件 a ? b 的概率.
英语 人数 优秀 优秀 良好 及格 良好 及格 数 学

7 9 a

20 18 4

5 6 b

解析:(Ⅰ)依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 165,538,629;????3 分 (Ⅱ)①由
7?9?a ? 0.3 ,得, a ? 14 100

∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 ∴ b ? 17 ; ??????????6 分 ②由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10, b ? 8 , ∴满足条件的 (a, b) 有:(10,21),(11,20),(12,19),(13,18),

7

(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12),(20,11), (21,10),(22,9),(23,8)共 14 组,且每组出现的可能性相同,其中数学成绩为优秀的人 数比及格的人数少有:(10,21),(11,20), (12,19),(13,18),(14,17),(15,16)共 6 组. ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为 p ? ?????10 分

6 3 ? . ?????12 分 14 7

17. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形, 且满足 AB∥CD,AD=DC= 1 AB,PA⊥平面 ABCD.

2

(Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 PA=AB,求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.

18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的和为 Sn ,且满足 an ? (Ⅰ) 求证:数列 ?

2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?
1 1 1 3 S 2 ? S3 ? ... ? S n ? . 2 3 n 2
???????2 分

(Ⅱ) 证明:当 n ? 2 时, S1 ?

2 2Sn 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ? , 2Sn ? 1

8

Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1

1 1 ? ?2, S S n ?1 . n
????????????6分

从而 ?

?1? ? 构成以1为首项,2为公差的等差数列. ? Sn ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,

1 1 1 . ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,? Sn ? 2n ? 1 Sn S1

???8 分

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ( ? ) . ??10 分 n n(2n ? 1) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 n
1 1 1 1 1 1 ? 1 1 3 1 3 ? )? ? ? n ? 1 n 2 2n 2 . ?12 分

从而 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 ? ... ? n Sn ? 1 ? 2 (1 ? 2 ? 2 ? 3 ?

1

19. (本小题满分 13 分)如图,在△ABC 中,∠ABC=900,AB= 3 ,BC=1, P 为△ABC 内一点, ∠BPC=900. (Ⅰ)若 PC=

3 .求 PA; 2

(Ⅱ)若∠ABC=1200,求△ABP 的面积 S.

9

20. (附加题) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

x ?1 x , g ? x ? ? e (其中 e 为自然对数的底数) . x ?1

(Ⅰ)若函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内是增函数,求实数 a 的取值范围;
?b b (Ⅱ)当 b ? 0 时,函数 g ? x ? 的图象 C 上有两点 P b, e , Q ?b, e ,过点 P , Q 作图象 C 的

?

?

?

?

切线分别记为 l1 , l2 ,设 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,证明 x0 ? 0 . (Ⅰ)解法一:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .??????1 分 x ? x ? 1?2 2x

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,即 a ?

? x ? 1?

2

?

2 ? 0 ? x ? 1? , 1 x? ?2 x

10

因为

1 2 1 ? 在 x ? ? 0,1? 内恒成立,所以 a ? . 1 2 x? ?2 2 x

故实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .??????4 分 解法二:因为函数 f ? x ? ? a ln x ? 所以 f ? ? x ? ?
2

?1 ?2

? ?

x ?1 在区间 ? 0,1? 内是增函数, x ?1

a 2 ? ? 0 ? 0 ? x ? 1? .?????1 分 x ? x ? 1?2

即 a ? x ? 1? ? 2 x ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,即 ax2 ? 2 ? a ?1? x ? a ? 0 ? 0 ? x ? 1? ,??????2 分 设 g ? x ? ? ax ? 2 ? a ?1? x ? a ,
2

当 a ? 0 时,得 ?2 x ? 0 ,此时不合题意. 当 a ? 0 时,需满足 ?

? 1 ?a ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? 即? 解得 a ? ,此时不合题意. 2 ? ?a ? 2 ? a ? 1? ? a ? 0, ? g ?1? ? 0, ?

? ? ? g ? 0 ? ? 0, ? g ? 0 ? ? 0, ? ? 2 2 当 a ? 0 时,需满足 ? ? 2 ? a ? 1? ? ? ? 4a ? 0 或 ? g ?1? ? 0, 或 ? g ?1? ? 0, ? a ?1 ? a ?1 ?? ? 0, ?? ? 1, ? a ? a
解得 a ?

1 1 或 a ? 1 ,所以 a ? . 2 2

综上所述,实数 a 的取值范围为 ? , ?? ? .????4 分
?b b (Ⅱ)证明:因为函数 g ? x ? ? e ,所以 g ? ? x ? ? e .过点 P b, e ,Q ?b, e 作曲线 C 的切线方程为:

?1 ?2

? ?

x

x

?

?

?

?

l1 : y ? eb ? x ? b ? ? eb , l2 : y ? e?b ? x ? b? ? e?b ,因为 l1 与 l2 的交点为 M ? x0 , y0 ? ,
b b ? ? y ? e ? x ? b? ? e , 由? ???????6 分 ?b ?b y ? e x ? b ? e , ? ? ? ?

消去 y ,解得 x0 ?

b ? eb + e ? b ? ? ? e b ? e ? b ?

?e

b

? e?b ?



①???????7 分

下面给出判定 x0 ? 0 的两种方法: 方法一:设 e ? t ,因为 b ? 0 ,所以 t ? 1 ,且 b ? ln t .所以 x0
b

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

.??8 分

11

2 2 设 h ? t ? ? t +1 ln t ? t ? 1

?

?

?

?t ? 1? .?????9 分 ? ?t ? 1? ,则 h? ? t ? ? 2t ln t ? t ? 1 t

1 1 t ? 1? ,则 u? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 . ? t t 1 1 当 t ? 1 时, ln t ? 0 , 1 ? 2 ? 0 ,所以 u ? ? t ? ? 2 ln t ? 1 ? 2 ? 0 ,????????????10 分 t t
令 u ? t ? ? 2t ln t ? t ? 所以函数 u ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,所以 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,即 h? ? t ? ? 0 ,???11 分 所以函数 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,所以 h ?t ? ? h ?1? ? 0 .??12 分 因为当 t ? 1 时, t ? 1 ? 0 ,所以 x0
2

?t ?

2

+1? ln t ? ? t 2 ? 1? t 2 ?1

? 0 .???13 分

方法二:由①得 x0 ?

b ?1+ e?2b ? 1? e
?2b

? 1 .设 e ?2b ? t ,???8 分
2b ,????9 分 ln t

因为 b ? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ,且 ln t ? ?2b .于是 ?1 ? 所以 x0 ?

2b b ?1+ t ? ? 2 1? t ? ? ? b? ? ? .?10 分 ln t 1? t ? ln t 1 ? t ?

1 1 x ?1 时, f ? x ? ? ln x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,??11 分 2 2 x ?1 ln t t ? 1 ln t t ? 1 2 1? t ? ? f ?1? ? 0 ,即 ? ? ? 0 ,????12 分 所以 f ? t ? ? .即 2 t ?1 2 ln t 1 ? t t ?1
由(1)知当 a ? 已知 b ? 0 ,所以 x0 ? b ?

? 2 1? t ? ? ? ? 0 .???????13 分 ? ln t 1 ? t ?

12


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