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2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试题(全国卷1word解析版)


2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学试题(全国 卷 1)
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 1.设集合 A ? {1,3,5,7} , B ? {x | 2 ? x ? 5},则 A ? B ? (A){1,3} 【答

案】B 【解析】 (B){3,5} (C){5,7} (D){1,7}

试题分析:集合 A 与集合 B 公共元素有 3,5,故 A ? B ? {3,5} ,选 B. 考点:集合运算 2.设 (1 ? 2i)(a ? i) 的实部与虚部相等,其中 a 为实数,则 a= (A)-3 【答案】A 【解析】 (B)-2 (C)2 (D)3

试 题 分 析 :设 (1 ? 2i)(a ? i) ? a ? 2 ? (1 ? 2a)i , 由 已 知, 得 a ? 2 ? 1 ? 2a , 解 得

a ? ?3 ,选 A.
考点:复数的概念 3.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下 的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

1 3

(D)

5 6

【答案】A 【解析】 试题分析:将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中,余下 2 种种在另一个花坛,有 6 种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种,故概率为 ,选 A. 考点:古典概型 4.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 5 , c ? 2 , cos A ? 则 b= (A) 2 【答案】D 【解析】 (B) 3 (C)2 (D)3

1 3

2 , 3

试卷第 1 页,总 17 页

试题分析:由余弦定理得 5 ? b ? 4 ? 2 ? b ? 2 ?
2

2 1 ,解得 b ? 3 ( b ? ? 舍去) ,选 D. 3 3
1 , 4

考点:余弦定理 5.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

【答案】B 【解析】 试题分析:如图,由题意得在椭圆中, OF ? c, OB ? b, OD ?

1 1 ? 2b ? b 4 2

2 2 2 在 Rt?OFB 中, | OF | ? | OB |?| BF | ? | OD | ,且 a ? b ? c ,代入解得

a 2 ? 4c2 ,所以椭圆得离心率得: e ?
y

1 ,故选 B. 2

D F

B O x

考点:椭圆的几何性质

1 ? )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为 4 6 ? ? (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) 4 3 ? ? (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3
6.若将函数 y=2sin(2x+ 【答案】D 【解析】 试题分析:函数 y ? 2sin(2x ? ) 的周期为 ? ,将函数 y ? 2sin(2x ? ) 的图像向右平

? 6

? 6



1 ? ? ? ? 个周期即 个单位,所得函数为 y ? 2sin[2(x ? ) ? )] ? 2sin(2x ? ) ,故选 4 4 4 6 3

D. 考点:三角函数图像的平移 7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该 几何体的体积是

28? ,则它的表面积是 3
试卷第 2 页,总 17 页

(A)17π (B)18π (C)20π (D)28π 【答案】A 【解析】 试题分析:由三视图知:该几何体是

7 个球,设球的半径为 R ,则 8
, 所 以 它 的 表 面 积 是

7 4 2? 8 V ? ? ? R3 ? , 解 得 R?2 8 3 3 7 3 ? 4? ? 22 ? ? ? ? 22 ? 17? ,故选 A. 8 4
考点:三视图及球的表面积与体积 8.若 a>b>0,0<c<1,则 (A)logac<logbc (B)logca<logcb 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 对 于 选 项 A : log a c ?

(C)a <b

c

c

(D)c >c

a

b

1gc 1gc , log b c ? , ? 0 ? c ? 1 ?1gc ? 0 , 而 lg a lg b

a ? b ? 0,所以 lg a ? lg b ,但不能确定 lg a、 lg b 的正负,所以它们的大小不能确定;
对于选项 B: log c a ?

1ga 1gb 1 , log b c ? ,而 lg a ? lg b ,两边同乘以一个负数 改变 lg c lg c lg c
c

不等号方向所以选项 B 正确;对于选项 C:利用 y ? x 在第一象限内是增函数即可得到

a c ? bc ,所以 C 错误;对于选项 D:利用 y ? cx 在 R 上为减函数易得为错误.所以本题
选 B. 考点:指数函数与对数函数的性质 2 |x| 9.函数 y=2x –e 在[–2,2]的图像大致为

(A)

(B)

试卷第 3 页,总 17 页

(C)

(D)

【答案】D 【解析】 2 |x| 试题分析:函数 f(x)=2x –e 在[–2,2]上是偶函数,其图象关于 y 轴对称,因为

f (2) ? 8 ? e 2 ,0 ? 8 ? e 2 ? 1 ,所以排除 A, B 选项;当 x ? ?0, 2? 时, y? ? 4 x ? e x 有一
零点, 设为 x0 , 当 x ?( 当 x ? ( x0 , 2) 时,f ( x ) 为增函数. 故 0 , ) x0 时,f ( x ) 为减函数, 选D 10.执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0, y ? 1, n=1,则输出 x, y 的值满足
开始 输入x,y,n x=x+ n-1 ,y=ny 2

n=n+1

x2+y2≥36? 输出x,y 结束

(A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x 【答案】C 【解析】 试题分析:第一次循环: x ? 0, y ? 1, n ? 2 , 第二次循环: x ?

1 , y ? 2, n ? 3 , 2 3 , y ? 6, n ? 3 , 此 时 满 足 条 件 x 2 ? y 2 ? 36 , 循 环 结 束 , 2

第三次循环: x ?

试卷第 4 页,总 17 页

3 x ? , y ? 6 ,满足 y ? 4 x .故选 C 2
考点:程序框图与算法案例 11.平面 ? 过正文体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A ? //平面CB1D1 , ? ? 平面ABCD ? m ,

? ? 平面ABB1 A1 ? n ,则 m,n 所成角的正弦值为
(A)

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

【答案】A 【解析】

n' , 试题分析:如图,设平面 CB1D1 ? 平面 ABCD = m ' ,平面 CB1D1 ? 平面 ABB1 A 1=
因为 ? / / 平面 CB1D1 ,所以 m / / m ', n / / n ' ,则 m, n 所成的角等于 m ', n ' 所成的角.延

n ' ,而 长 AD ,过 D1 作 D1E / / B1C ,连接 CE, B1D1 ,则 CE 为 m ' ,同理 B1F 1为
,则 m ', n ' 所成的角即为 A1B, BD 所成的角,即为 60 ? ,故 m, n BD / / CE, B 1 F 1 / / A 1 B

所成角的正弦值为

3 ,选 A. 2

考点:平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.

12.若函数 f ( x) ? x - sin 2 x ? a sin x 在 ? ??, ??? 单调递增,则 a 的取值范围是 (A) ??1,1? 【答案】C 【解析】 试题分析: f ? ? x ? ? 1 ? (B) ? ?1, ? 3

1 3

? ?

1? ?

(C) ? ? , ? 3 3

? 1 1? ? ?

(D) ? ?1, ? ? 3

? ?

1? ?

2 cos 2 x ? a cos x… 0 对 x ? R 恒成立, 3

试卷第 5 页,总 17 页

故1 ?

2 4 5 2 cos2 x ? 1? ? a cos x… 0 ,即 a cos x ? cos 2 x ? … 0 恒成立, ? 3 3 3

即?

4 2 5 4 5 t ? at ? … 0 对 t ???1,1? 恒成立,构造 f ? t ? ? ? t 2 ? at ? ,开口向下的二 3 3 3 3

次函数 f ? t ? 的最小值的可能值为端点值,

1 ? f ? ?1? ? ? t… 0 ? 1 1 ? 3 a 故只需保证 ? ,解得 ? 剟 .故选 C. 3 3 ? f ? ?1? ? 1 ? t… 0 ? 3 ?
考点:三角变换及导数的应用

试卷第 6 页,总 17 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 13.设向量 a=(x,x+1) ,b=(1,2) ,且 a ? b,则 x= 【答案】 ? 【解析】 试题分析:由题意, a ? b ? 0, x ? 2( x ? 1) ? 0,? x ? ? . 考点:向量的数量积及坐标运算 14.已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ + 【答案】 ? .

2 3 ? ?

2 3

π 3 π )= ,则 tan(θ – )= 4 5 4

.

3 4
分 析 : 由 题 意 ,

【解析】 试 题

? 4 ? ? ? ? 3 cos(? ? ) ? ,? tan(? ? ) ? tan(? ? ? ) ? ? tan(? ? ) ? ? . 得 a ? 2 . 4 5 4 4 2 4 4
正方体的对角线等于其外接球的直径 2 R , 所以 2 R ? 3a ? 2 3, S球面 =4? R =12? ,故选 A.
2 2

考点:三角变换 15.设直线 y=x+2a 与圆 C:x +y -2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若 面积为 . 【答案】 3? 【解析】
2 2 2 2 2
2 2

,则圆 C 的

试题分析: 圆 C : x ? y ? 2ay ? 2 ? 0 , 即 C :x ?(y ? a) ? a ? 2 ,圆心为 C (0, a) , 由 | AB |? 2 3, C 到 直 线 y ? x ?2 的 距 离 为 a

| 0 ? a ? 2a | , 所 以 由 2

(

2 3 2 | 0 ? a ? 2a | 2 ) ?( ) ? a 2 ? 2 得 a 2 ? 1, 所以圆的面积为 ? (a2 ? 2) ? 3? . 2 2

考点:直线与圆 16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产 品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元 .
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【答案】 216000 【解析】 试题分析:设生产产品 A 、产品 B 分别为 x 、 y 件,利润之和为 z 元,那么

?1.5 x ? 0.5 y? 150, ? x ? 0.3 y? 90, ? ? ① ?5 x ? 3 y? 600, ? x… 0, ? 0. ? ? y…
目标函数 z ? 2100 x ? 900 y . 二元一次不等式组①等价于

?3 x ? y? 300, ?10 x ? 3 y? 900, ? ? ?5 x ? 3 y? 600, ② ? x… 0, ? 0. ? ? y…
作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图) ,即可行域.

将 z ? 2100 x ? 900 y 变 形 , 得 y ? ?

7 z 7 x? ,平行直线 y ? ? x ,当直线 3 900 3

7 z y ?? x? 经过点 M 时, z 取得最大值. 3 900
解方程组 ?

?10 x ? 3 y ? 900 ,得 M 的坐标 (60,100) . ?5 x ? 3 y ? 600

所以当 x ? 60 , y ? 100 时, zmax ? 2100 ? 60 ? 900 ?100 ? 216000 . 故生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 216000 元. 考点:线性规划的应用 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)

17 . 已 知

?an ?

是 公 差 为

3

的 等 差 数 列 , 数 列

?bn ?

满 足

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1 b1 =1,b2 = ,anbn ?1 ? bn ?1 ? nbn ,. 3
(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?bn ? 的前 n 项和. 【答案】 (Ⅰ) an ? 3n ? 1 (Ⅱ)

3 1 ? . 2 2 ? 3n ?1

【解析】 试题分析: (Ⅰ)用等差数列通项公式求; (Ⅱ)求出通项,再利用等比数列求和公式来 求。 试题解析: (Ⅰ)由已知, a1b2 ? b2 ? b1 , b1 ? 1, b2 ?

1 1 , 得 a1b2 ? b2 ? b1 , b1 ? 1, b2 ? , 得 3 3

a1 ? 2 ,所以数列 ?an ? 是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an ? 3n ? 1 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)和 anbn?1 ? bn?1 ? nbn ,得 bn ?1 ? 的等比数列.记 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则

bn 1 ,因此 ?bn ? 是首项为 1,公比为 3 3

1 1 ? ( )n 3 ? 3? 1 . Sn ? 1 2 2 ? 3n ?1 1? 3
考点:等差数列与等比数列 18.如图,在已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点 P 在平面 ABC 内的 正投影为点 E,连接 PE 并延长交 AB 于点 G.

P

A G

E D B C

(Ⅰ)证明 G 是 AB 的中点; (Ⅱ)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由) ,并求四面体 PDEF 的体积. 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)作图见解析,体积为

4 3

【解析】 试题分析:证明 AB ? PG. 由 PA ? PB 可得 G 是 AB 的中点.(Ⅱ)在平面 PAB 内, 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ,F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.根据 正三棱 锥的侧面是直角三角形且 PA ? 6 ,可得 DE ? 2, PE ? 2 2. 在等腰直角三角形 EFP
试卷第 9 页,总 17 页

1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? . 3 2 3 ABC AB ? PD . P D 试题解析: (Ⅰ)因为 在平面 内的正投影为 ,所以
中,可得 EF ? PF ? 2. 四面体 PDEF 的体积 V ?

因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E ,所以 AB ? DE. 所以 AB ? 平面 PED ,故 AB ? PG. 又由已知可得, PA ? PB ,从而 G 是 AB 的中点. (Ⅱ) 在平面 PAB 内, 过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ,F 即为 E 在平面 PAC 内 的正投影. 理由如下:由已知可得 PB ? PA , PB ? PC ,又 EF / / PB , 所以 EF ? PC , 因此 EF ? 平面 PAC ,即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影. 连接 CG ,因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D ,所以 D 是正三角形 ABC 的中心. 由(Ⅰ)知, G 是 AB 的中点,所以 D 在 CG 上,故 CD ?

2 CG. 3

由 题 设 可 得 PC ? 平 面 PAB , DE ? 平 面 PAB , 所 以 DE / / PC , 因 此

PE ?

2 1 PG, DE ? PC. 3 3

由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA ? 6 ,可得 DE ? 2, PE ? 2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中,可得 EF ? PF ? 2. 所以四面体 PDEF 的体积 V ?

1 1 4 ? ? 2? 2? 2 ? . 3 2 3

考点:线面位置关系及几何体体积的结束 19.某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在 购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备 件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此 搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

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频数

24 20 16 10 6 0 16 17 18 19 20 21 更换的易损零件数

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零 件上所需的费用(单位:元) , n 表示购机的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)若 n =19,求 y 与 x 的函数解析式; (Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (Ⅲ)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个 易损零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策 依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件? 【答案】 (Ⅰ) y ? ?

, x ? 19, ?3800 ( x ? N ) (Ⅱ)19(Ⅲ)19 , x ? 19, ?500x ? 5700

【解析】 试题分析: (Ⅰ)分 x ? 19 及 x.19,分别求解析式; (Ⅱ)通过频率大小进行比较; (Ⅲ) 分别求出您 9,n=20 的所需费用的平均数来确定。 试 题 解 析 : ( Ⅰ ) 当 x ? 19 时 ,

y ? 3800 ; 当 x ? 19 时 ,

, 0所 以 y 与 x 的 函 数 解 析 式 为 y ? 3800? 500( x ? 19) ? 500x ? 5 7 0

, x ? 19, ?3800 y?? (x ? N ) . , x ? 19, ?500x ? 5700
(Ⅱ) 由柱状图知, 需更换的零件数不大于 18 的概率为 0.46, 不大于 19 的概率为 0.7, 故 n 的最小值为 19. (Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器中有 70 台在购买 易损零件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800,因此这 100 台 机器在购买易损零件上所需费用的平均数为

1 (4000 ? 90 ? 4500 ? 10) ? 4050 . 100

比较两个平均数可知,购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件. 考点:函数解析式、概率与统计 20. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l:y=t (t≠0) 交 y 轴于点 M, 交抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0)
2

于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. (Ⅰ)求

OH ON



试卷第 11 页,总 17 页

(Ⅱ)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 【答案】 (Ⅰ)2(Ⅱ)没有 【解析】 试 题 分 析 : 先 确 定 N(

p t2 , t ) , ON 的 方 程 为 y ? x , 代 入 y 2 ? 2 px 整 理 得 t p

px2 ? 2t 2 x ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ?
| OH | ? 2 .(Ⅱ) | ON |

2t 2 2t 2 ,因此 H ( ,2t ) ,所以 N 为 OH 的中点, p p



直 线 MH 的 方 程 为 y ? t ?

p x , 与 y 2 ? 2 px 联 立 得 y 2 ? 4ty ? 4t 2 ? 0 , 解 得 2t

y1 ? y2 ? 2t ,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其
它公共点.

t2 试题解析: (Ⅰ)由已知得 M (0, t ) , P ( ,t) . 2p
又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N (

p t2 , t ) ,ON 的方程为 y ? x ,代入 y 2 ? 2 px 整 t p

理得 px2 ? 2t 2 x ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ?

2t 2 2t 2 ,因此 H ( ,2t ) . p p

所以 N 为 OH 的中点,即

| OH | ? 2. | ON |

(Ⅱ)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点.理由如下: 直 线 MH 的 方 程 为 y ? t ?

p 2t x , 即 x ? ( y ? t ) . 代 入 y 2 ? 2 px 得 2t p

解得 y1 ? y2 ? 2t , 即直线 MH 与 C 只有一个公共点, 所以除 H 以 y 2 ? 4ty ? 4t 2 ? 0 , 外直线 MH 与 C 没有其它公共点. 考点:直线与抛物线 21.已知函数 (Ⅰ)讨论 (Ⅱ)若 . 的单调性; 有两个零点,求 a 的取值范围.

【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ) ? 0, ??? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求导,根据导函数的符号来确定,主要要根据导函数零点来分类; (Ⅱ) 借组第一问的结论来,通过分类判断得 a 的取值范围为 ? 0, ??? .
试卷第 12 页,总 17 页

试题解析: (Ⅰ) f ' ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 2a ? x ? 1? ? ? x ? 1? e x ? 2a . (i)设 a ? 0 ,则当 x ? ? ??,1? 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? ?1, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 . 所以在 ? ??,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 单调递增. (ii)设 a ? 0 ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x=1 或 x=ln(-2a).

?

?

e x ,则 f ' ? x ? ? ? x ? 1? ? e ? e ? ,所以 f ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递增. 2 e ②若 a ? ? ,则 ln(-2a)<1,故当 x ? ? ??,ln ? ?2a ?? ? ?1, ??? 时, f ' ? x ? ? 0 ; 2
①若 a ? ? 当 x ? ln ? ?2a ? ,1 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ??,ln ? ?2a ? , ?1, ??? 单调递增, 在 ln ? ?2a ? ,1 单调递减. ③若 a ? ?

?

?

?

?

?

?

e ,则 ln ? ?2a ? ? 1,故当 x ? ? ??,1? ? ? ln ? ?2a ? , ??? 时, f ' ? x ? ? 0 ,当 2

x ? ?1,ln ? ?2 a ?? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ??,1? , ? ln ? ?2a ? , ??? 单调递增,在

?1, ln ? ?2a ? ? 单调递减.
(Ⅱ) (i)设 a ? 0 ,则由(I)知, f ? x ? 在 ? ??,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 单调递增. 又 f ?1? ? ?e,f ? 2? ? a ,取 b 满足 b<0 且 则 f ?b? ?

b a ? ln , 2 2

a 3 ? 2 3 ? b ? 2? ? a ? b ? 1? ? a ? ? b ? b ? ? 0 ,所以 f ? x ? 有两个零点. 2 2 ? ?
x

(ii)设 a=0,则 f ? x ? ? ? x ? 2? e 所以 f ? x ? 有一个零点.

e ,则由(I)知, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增. 2 e 又当 x ? 1 时, f ? x ? <0,故 f ? x ? 不存在两个零点;若 a ? ? ,则由(I)知, f ? x ? 2
(iii)设 a<0,若 a ? ? 在 1, ln ? ?2a ? 单调递减, 在 ln ? ?2a ? , ?? 单调递增.又当 x ? 1 时 f ? x ? <0, 故 f ? x? 不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为 ? 0, ??? . 考点:函数单调性,导数应用 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以 O 为圆心,

?

?

?

?

1 OA 为半径作圆. 2

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(Ⅰ)证明:直线 AB 与 ? O 相切; (Ⅱ)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD. 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)设 E 是 AB 的中点,证明 ?AOE ? 60? ; (Ⅱ) 设 O ' 是 A, B, C , D 四 点所在圆的圆心, 作直线 OO ' , 证明 OO ' ? AB ,OO ' ? CD . 由此可证明 AB // CD . 试题解析: (Ⅰ)设 E 是 AB 的中点,连结 OE , 因为 OA ? OB, ?AOB ? 120? ,所以 OE ? AB , ?AOE ? 60? . 在 Rt ?AOE 中,OE ? 与⊙ O 相切.

1 AO ,即 O 到直线 AB 的距离等于圆 O 的半径,所以直线 AB 2

D O O' E

C

A

B

(Ⅱ) 因为 OA ? 2OD , 所以 O 不是 A, B, C , D 四点所在圆的圆心, 设 O ' 是 A, B, C , D 四点所在圆的圆心,作直线 OO ' . 由已知得 O 在线段 AB 的垂直平分线上,又 O ' 在线段 AB 的垂直平分线上,所以 OO ' ? AB . 同理可证, OO ' ? CD .所以 AB // CD . 考点:四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 23.选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x ? y 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos t (t 为参数,a>0) .在以 ? y ? 1 ? a sin t

坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ = 4 cos ? . (Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ?0 ,其中 ? 0 满足 tan ? 0 =2,若曲线 C1 与 C2 的公共点 都在 C3 上,求 a. 【答案】 (Ⅰ)圆, ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 (Ⅱ)1 【解析】

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? x ? a cos t 试题分析: (Ⅰ)把 ? 化为直角坐标方程,在化为极坐标方程; (Ⅱ) C2 : ? y ? 1 ? a sin t

? x ? 2?

2

? y2 ? 4 , C3 : y ? 2 x , C1 C2 相减为 C3 由此可得 a ? 1

? x ? a cos t 试题解析: (Ⅰ) ? ( t 均为参数) ? y ? 1 ? a sin t

∴ x2 ? ? y ? 1? ? a2 ①
2

1? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ∴ C1 为以 ? 0 ,
∵ x2 ? y 2 ? ? 2 ,y ? ? sin ? ∴ ? 2 ? 2? sin ? ? 1 ? a2 ? 0 即为 C1 的极坐标方程 (Ⅱ) C2 :? ? 4cos ? 两边同乘 ? 得 ? 2 ? 4? cos? ? ? 2 ? x2 ? y 2 ,? cos? ? x

? x2 ? y 2 ? 4 x
即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 ②
2

C3 :化为普通方程为 y ? 2 x
由题意: C1 和 C2 的公共方程所在直线即为 C3 ①—②得: 4 x ? 2 y ? 1 ? a2 ? 0 ,即为 C3 ∴ 1 ? a2 ? 0 ∴a ?1 考点:参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 24.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2x ? 3 . (Ⅰ)在图中画出 y ? f ? x ? 的图像;

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(Ⅱ)求不等式 f ? x ? ? 1 的解集.
1? ? 【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ) ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)化为分段函数作图; (Ⅱ)用零点分区间法求解 试题解析: (Ⅰ)如图所示:

? ? x ? 4 ,x ≤ ?1 ? 3 ? (Ⅱ) f ? x ? ? ?3x ? 2 ,? 1 ? x ? 2 ? 3 ? 4 ? x ,x ≥ ? ? 2
f ? x? ? 1

当 x ≤ ?1 , x ? 4 ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3
∴ x ≤ ?1

当 ?1 ? x ?

3 1 , 3x ? 2 ? 1,解得 x ? 1 或 x ? 2 3 1 3 ∴?1 ? x ? 或 1 ? x ? 3 2

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3 当 x ≥ , 4 ? x ? 1 ,解得 x ? 5 或 x ? 3 2 3 ∴ ≤ x ? 3或 x ? 5 2 1 综上, x ? 或 1 ? x ? 3 或 x ? 5 3
1? ? ∴ f ? x ? ? 1 ,解集为 ? ?? , ? ? ?1 ,3? ? ? 5 ,? ? ? 3? ?

考点:分段函数的图像,绝对值不等式的解法

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