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高中数学第一轮复习函数与基本函数,详细知识点和经典题目含答案


函数、基本初等函数 1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留量的变化等) ,了 解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指 数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的

过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型 2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通 过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对 数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的 单调性与特殊点;
x y ? log a x 3.知道指数函数 y ? a 与对数函数 互为反函数(a>0,a≠1) 。

4.幂函数 (1)了解幂函数的概念
2 3

(2)结合函数 y=x, ,y= 二. 【命题走向】

x

, y=

x

,y=

x

1 2

1 ,y= x 的图象,了解它们的变化情况

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近 几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算 推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常 见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测 2010 年对本节的考察是: 1.题型有两个选择题和一个解答题; 2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其 它知识点交汇命题,则难度会加大 三. 【要点精讲】

1.指数与对数运算 (1)根式的概念:
n ①定义: 若一个数的 n 次方等于 a(n ? 1, 且n ? N ) , 则这个数称 a 的 n 次方根。 即若 x ? a , x 称 则
? a 的 n 次方根 n ? 1且n ? N ) , n 1)当 n 为奇数时, a的n 次方根记作 a ; ?

2)当 n 为偶数时,负数 a 没有 n 次方根,而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数,记作 ?
n n n ②性质:1) ( a ) ? a ;2)当 n 为奇数时, a ? a ; n

n

a (a ? 0)

?a(a ? 0) a ?| a |? ? ?? a (a ? 0) 。 3)当 n 为偶数时,
n

(2) .幂的有关概念 ①规定:1) a ? a ? a ? ? ? a(n ? N*;2) a ? 1(a ? 0) ;
n 0

n个

a?p ?
3)

1 m (p? m n n p a Q,4) a ? a (a ? 0, m 、 n ?N* 且 n ? 1)
r s r ?s

②性质:1) a ? a ? a 2) (a ) ? a
r s r r ?s

(a ? 0, r 、 s ?Q) ;

(a ? 0, r 、 s ? Q) ;
r

3) (a ? b) ? a ? b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) 。
r

(注)上述性质对 r、 s ?R 均适用。 (3) .对数的概念 ①定义:如果 a(a ? 0, 且a ? 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a ? N ,那么数 b 称以 a 为底 N 的对数,记
b



log a N ? b,

其中 a 称对数的底,N 称真数

1)以 10 为底的对数称常用对数,

log 10 N

记作 lg N ;

2)以无理数 e(e ? 2.71828 ?) 为底的对数称自然对数, ②基本性质:

log e N

,记作 ln N ;

1)真数 N 为正数(负数和零无对数) ;2) 3)

log a 1 ? 0



log a a ? 1

;4)对数恒等式: a

log a N

?N。

③运算性质:如果 a ? 0, a ? 0, M ? 0, N ? 0, 则 1)

log a ( MN ) ? log a M ? log a N



log a
2) 3)

M ? log a M ? log a N N ;
R)

log a M n ? n log a M (n ?

log a N ?
④换底公式:

log m N (a ? 0, a ? 0, m ? 0, m ? 1, N ? 0), log m a

1)

log a b ? log b a ? 1

;2)

log a m b n ?

n log a b m 。

2.指数函数与对数函数 (1)指数函数: ①定义:函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 称指数函数,
x

1)函数的定义域为 R;2)函数的值域为 (0,??) ; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数。 ②函数图像:

1)指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、二象限; 2)指数函数都以 x 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向左无限接近 x 轴,当 a ? 1 时,图象向右无限 接近 x 轴) ;

3)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 y ? a 与y ? a
x

?x

的图象关于 y 轴对称

③函数值的变化特征:

0 ? a ?1
① x ? 0时0 ? y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时y ? 1

a ?1
① x ? 0时y ? 1 , ② x ? 0时y ? 1 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 ,

(2)对数函数: ①定义:函数

y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1)

称对数函数,

1)函数的定义域为 (0,??) ;2)函数的值域为 R; 3)当 0 ? a ? 1 时函数为减函数,当 a ? 1 时函数为增函数; 4)对数函数

y ? log a x

与指数函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数
x

②函数图像:

1)对数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、四象限; 2)对数函数都以 y 轴为渐近线(当 0 ? a ? 1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a ? 1 时,图象向下无 限接近 y 轴) ; 4)对于相同的 a(a ? 0, 且a ? 1) ,函数 ③函数值的变化特征:

y ? log a x与y ? log 1 x
a

的图象关于 x 轴对称。

0 ? a ?1
① x ? 1时y ? 0 , (3)幂函数 1)掌握 5 个幂函数的图像特点 ② x ? 1时y ? 0 ,

a ?1
① x ? 1时y ? 0 , ② x ? 1时y ? 0 , ③ x ? 0时0 ? y ? 1 .

时 ③0 ? x ?1 y ? 0.

2)a>0 时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a<0 时在第一象限恒为减函数 3)过定点(1,1)当幂函数为偶函数过(-1,1),当幂函数为奇函数时过(-1,-1) 当 a>0 时过(0,0) 4)幂函数一定不经过第四象限 要点考向一:基本初等函 数问题 考情聚焦:1.一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数,在每年高考 中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。 2.常与函数的性质、方程、不等式综合命题,多以选择、填空题的形式出现,属容易题。 考向链接:1.一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是 解决此类题目的关键,同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。 2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。
1 例 1: (2011 四川文)4.函数 y ? ( ) x ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是 2

(天津文)5.已知 a ? log 2 3.6, b ? log 4 3.2, c ? log 4 3.6 则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c
2

D. c ? a ? b
5

( , 例 2: (2010·天津高考文科·T6)设 a ? log5 4,b ? log5 3) c ? log 4 ,则 (
(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c



【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性比较大小。 【方法技巧】比较对数函数值的大小问题,要特别注意分清底数是否相同,如果底数相同,直接利用函数 的单调性即可比较大小;如果底数不同,不仅要利用函数的单调性,还要借助中间量比较大小。 要点考向二:函数与映射概念的应用问题 考情聚焦:1.该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式 的确定与应用。 2.常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题,属低、中档题。 考向链接:1.求函数定义域的类型和相应方法。

2.求 f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,面对于分段函数的求值问题,必须依据条件准 确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。 3.求函数的解析式,常见命题规律是:先给出一定的条件确定函数的解析式,再研究函数的有关性质; 解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。 4.映射个数的计算一般要分类计数。

例 3: (2011 福建文)8.已知函数 f(x)= A.-3 B.-1
x

。若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 C.1 D.3

(2011 山东文)3.若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan=

a? 的值为 6

(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3
( )

(2011 陕西文)6.方程 x ? cos x 在 ? ??, ?? ? 内 (A)没有根 (C) 有且仅有两个根 (B)有且仅有一个根 (D)有无穷多个根

(湖南文)8.已知函数 f ( x) ? e ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3, 若有 f (a) ? g (b), 则 b 的取值范围为
x 2

A. [2 ? 2, 2 ? 2]

B. (2 ? 2, 2 ? 2)

C. [1,3]

D. (1,3)
2

(2011 安徽文) (11)设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x) = 2x ? x ,则 f (1) ? 要点考向三:函数图象问题

..

考情聚焦:1.函数图象作为高中数学的一个“重头戏” ,是研究函数性质、方程、不等式的重要武器, 已成为各省市高考命题的一个热点。 2.常以几类初等函数的图象为基础,结合函数的性质综合考查,多以选择、填空题的形式出现。 考向链接:1.基本初等函数的图象和性质,函数图象的画法以及图象的三种变换。 2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。

3.在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。 例 4: (2011 陕西文)4. 函数 y ? x 3 的图像是 (
1



(2010·山东高考·T11)函数 y ? 2 ? x 的图象大致是(
x 2



【命题立意】本题考查函数的图象,函数的基础知识以及数形结合的思维能力, 考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。 要点考向四:函数性质问题 考情聚焦:该考向是各省市高考命题大做文章的一个重点。常与多个知识点交汇命题,且常考常新, 既有小题,也有大题,主要从以下三个方面考查: 1.单调性(区间)问题,热点有: (1)确定函数单调性(区间)(2)应用函数单 调性求函数值域(最 ; 值) 、比较大小、求参数的取值范围、解(或证明)不等式。 2.奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。 3.最值(值域)问题,考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。 (2011 四川文)16.函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单 函数.例如,函数 f ( x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 (x ? R)是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 x (x ? R)是单函数; ③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) 答案:②③④ 解析:对于①,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ,不满足;②是单函数;命题③实际上是单函数命题的逆 否命题,故为真命题;根据定义,命题④满足条件.

1.已知 loga2=m,loga3=n,则 a2m A.6 C.12

+n

的值为(

) B.18 D.7 )

1 2 4 2.(2011· 重庆文)设 a=log1 ,b=log1 ,c=log3 ,则 a、b、c 的大小关系是( 2 3 3 3 3 A.a<b<c C.b<a<c
2 2

B.c<b<a D.b<c<a

3.(2012· 沈阳一模)若函数 f(x)=(a -2a-3)x +(a-3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的取值范围 是( ) A.a=-1 或 3 C.a>3 或 a<-1 B.a=-1 D.-1<a<3 )

?x+2, x≤0 ? 4.(2012· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集为( ? ?-x+2, x>0,

A.[-1,1] C.[-2,1]

B.[-2,2] D.[-1,2] )

1 5.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则 f[f(5)]=( f?x? A.-5 1 C. 5 1 B.- 5 D.5

6.(2012· 温州调研)已知函数 f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(其中 a>0,且 a≠1)在同一坐标系中画出 其中两个函数在第一象限的图像,其中正确的是( )

7.(2012· 镇江调研)函数 f(x)=log2(2x+1)的单调增区间是________. 8.(2012· 合肥模拟)设奇函数 f(x)的定义域为 R,且周期为 5,若 f(1)<-1,f(4)=loga2(a>0,且 a≠1), 则实数 a 的取值范围是________. 9.(2012· 温州十校模拟)函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1]则 b-a 的最小值为________.
? ?2x+a, x<1 10.(2011· 江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? ,若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为 ?-x-2a, x≥1 ?

________.

参考答案 课堂练习 ABDAD CB, B -3, BA ②③④ (1,2) 2 3 3 - 4

课前练习 CBBAB

1 (-2,+∞)


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