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河北省唐山市开滦二中2014-2015学年高二6月月考数学(文)试卷


开滦二中 2014~2015 学年第二学期高二年级 6 月考试 文科数学试卷
说明: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第(1)页至第(2)页,第Ⅱ卷 第(3)页至第(6)页。 2、本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 命题人:韩留柱

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、 选择题: (在每小题给出的四

个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分. 1.已知集合 A ? {0,1, 2}, B ? {x | x ? 2 ? 0} ,则 A A. ?0 , 2? 2. B. ?0 , 1? ) C.-2-i D.2-i )

B? (
C. ?1 , 2?

) D. ?0 , 1 , 2?

5 的共轭复数是( i?2
B.i-2

A.i+2

3.已知点 A(1,1) , B (4, 2) 和向量 a ? (2 , ? ) ,若 a// AB ,则实数 ? 的值为 ( A. ?

2 3

B.

3 2

C.

2 3

D. ?

3 2


4.已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ( A. 45 5. 已知 tan ? ? 4, B. 43 C. 40 D. 42 )
3 3

1 ? cos 2? ? 8sin 2 ? 的值是 ( sin 2?
65 4
C. 4

A.

20 3 3
( )

B.

4 2 D.
2 正视图 2 1 1 1 侧视图

6.已知某几何体的三视图如上图所示,则该几何体 积为

的 体

1 2 C. 3
A.

B.

3 2 D. 1
2

俯视图

7.已知函数 f ( x) ? 2 x ? x , g ( x) ? x ? log 1 x , h( x) ? log 2 x ? x 的零点分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 , x2 , x3 的 大小关系是 A. x1 > x2 > x3 C. x1 > x3 > x2 B. x2 > x1 > x3 D. x3 > x2 > x1

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8.执行如图的程序框图,输出的 T = ( A.30 B.25 C.20

) D.12

?x ? 2 y ? 8 ? 9.若变量 x , y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 , ?0 ? y ? 3 ?
则 z ? 2 x ? y 的最大值等于 ( A.7 ) D. 10

8 B.

C. 11

10.已知曲线 f(x)=ln x 在点(x0,f(x0))处的切线 经过点(0,-1),则 x0 的值为( ) A.

1 e

B.1 中, B.

C.e 的对边分别为 C.

D.10 ,若 D. 成等差数列,则 ( )

11.在 A.

12. 若直角坐标平面内的两个不同点 P 、 Q 满足条件:① P 、 Q 都在函数 y ? f ( x) 的图 像上;② P 、 Q 关于原点对称,则称点对 [ P, Q] 是函数 y ? f ( x) 的一对“友好点对” (注:

? 1 x ?( ) , x ? 0 点对 [ P, Q] 与 [Q, P ] 看作同一对“友好点对” ) .已知函数 f ( x) = ? 2 ,则此 2 ? ? x ? 4 x, x ? 0 ?
函数的“友好点对”有 ( A.0 B.1 ) 对. C.2 D.3

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考场号 座位号 准考证号

——————————————————————————————————————————————————————————————— ——————————————————————————————————————————————————————————— 密 密 封 封 线 线 内 内 不 不 要 要 答 答 题 题 ——————————————————————————————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————————————————

开滦二中 2014~2015 学年度高二年级 6 月考试 文科数学试题 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,把答案填在题中的横线上) 13.设 a ? 0, b ? 0 ,若 2 是 2a 与 2b 的等比中项,则 14.极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ?

?
3

1 1 ? 的最小值为 a b

(? ? R) 的距离是

15.从高二年级随机抽取 100 名学生,将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方 图.由图中数据可知成绩在[130,140)内的学生人数为 .

16.函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 4 在 x ?
3 2

处取得极小值.

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分) 17 . ( 满分 10 分 ) 已 知函 数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ( A ? 0 , ? ? 0) 的 最小正 周期为

T ? 6? ,且 f (2? ) ? 2 . (1) 求 f ( x) 的表达式; ? 16 5? 20 (2) 设 ? , ? ? [0, ] , f (3? ? ? ) ? , f (3? ? ) ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 5 2 13

姓 名 班 级 学 校

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,在所有棱长都为 2a 的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面ABC , D 点
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C1

1

A1

为棱 AB 的中点. (1)求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; (2)求四棱锥 C1 ? ADB1 A1 的体积.

19.若正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,首项 a1 ? 1 , P

?

S n , S n ?1 ,( n ? N * )在曲线

?

y ? ( x ? 1) 2 上.:(1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ;
(2)设 bn ?

1 1 , Tn 表示数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? an ?1

20.(本小题满分 12 分) 学校组织高考组考工作,为了搞好接待组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动,其余不喜爱。 (1)根据以上数据完成以下 2×2 列联表: 喜爱运动 男 女 总计 10 6 不喜爱运动 总计 16 14 30
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(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与喜爱 运动有关? (3)如果从喜欢运动的女志原者中(其中恰有 4 人会外语) ,抽取 2 名负责翻译工作,则抽 出的志愿者中 2 人都能胜任翻译工作的概率是多少? 参考公式: K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
P ( K 2 ? k0 )

参考数据:

0.40

0.25

0.10

0.010

k0

0.708

1.323

2.706

6.635

21.、 (本小题满分 12 分)已知方程 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0
2 2

(1)若此方程表示的曲线是圆 C,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆 C 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P,Q 两点,且 OP ? OQ (O 为原点) ,求圆 C 的方程.

22. (本题 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??)
3 2

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上是减函数, 又 f ?( ) ?

1 2

3 . 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

(Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范围.

开滦二中 2014-2015 学年第二学期高二年级 6 月月考考试 数学试题(文科)答案
一、选择 BBCDB BDADB CB 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上) 13. 4 14.1 15. 30 16 . 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 。 17.解:(1)依题意得 ? =

2π 2π 1 = ? ,∴ T 6π 3
……………………1 分

x π f(x) = Asin( + ) , 3 6
由 f (2? ) ? 2 ,得 Asin(

2π π 5π + ) = 2 ,即 Asin = 2 ,∴ 3 6 6
…………………4 分

A? 4,

……………………3 分

∴ f ( x) ? 4sin( ? (2) 由 f(3α + π) =

x ? ) 3 6

16 1 π 16 ,得 4sin[ (3α + π) + )] = , 5 3 6 5 π 16 4 即 4sin(α + ) = ,∴ cos? ? , ……………………5 分 2 5 5 π 3 ……………………6 分 α ? [0, ] sin? ? , 2 5 5π 20 1 5π π 20 由 f(3? + ) = ? ,得 4sin[ (3? + ) + )] = ? , 2 13 3 2 6 13 5 5 即 sin(? + π) = ? ……………………7 分 sinβ ? , 13 13 π 12 又∵ β ? [0, ] ,∴ cosβ ? , ……………………8 分 2 13 4 12 3 5 63 ………………10 分 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
C
1

18. (本题满分 12 分) 解:(1)连结 BC1 ,设 BC1 与 B1C 交于点 E , 则点 E 是 BC1 的中点,连结 DE , 因为 D 点为 AB 的中点, 所以 DE 是 ?ABC1 的中位线,

B A E
1 1

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C D A

B

所以 AC1 ∥ DE ,

………………2 分

因为 DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 面 CDB1 , 所以 AC1 ∥平面 CDB1 . (2)取线段 A1 B1 中点 M ,连结 C1M , ∵ C1 A1 ? C1 B1 ,点 M 为线段 A1 B1 中点, ∴ C1M ? A1 B1 . 又 A1 A ? 平面 ABC 即 A1 A ? 平面 C1 A1 B1 , C1M ? 平面 C1 A1 B1 ∴ A1 A ? C1M , ∵ A1 A ………………7 分 ………………5 分

A1 B1 ? A1 ,

∴ C1M ? 平面 ADB1 A1 ,则 C1M 是四棱锥 C1 ? ADB1 A1 的高 ………………9 分

1 (2a + a) ? 2a VC1 -ADB1A1 = ? ? 3a = 3a 3 . ………………12 分 3 2
19(本小题满分 12 分) 解:(1)因为点 P

?

2 2 S n , S n ?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上,所以 S n ?1 ? ( S n ? 1) . 2

?

由 S n ?1 ? ( S n ? 1) 得 S n ?1 ? S n ? 1 . 且 S1 ? 所以数列

……………3 分

a1 ? 1

? S ? 是以1为首项,1 为公差的等差数列
n

所以 S n ?

S1 +(n ? 1) ?1 ? n ,

即 Sn ? n2

……………5 分

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1 当 n ? 1 时, an ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 也成立 所以 n ? N * , an ? 2n ? 1 (2) 因为 bn ? ……………9 分

1 1 , ? an ? an ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)
+ 1 1 1 1 ? + ? ) 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 = (1 ? + ? + 2 3 3 5

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1 1 1 1 1 = (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2
20. 解: (1) 喜爱运动 男 女 总计 10 6 16 不喜爱运动 6 8 14 总计 16 14 30

……………12 分

……2 分 (2)假设:是否喜爱运动与性别无关,由已知数据可求得:

K2 ?

30 ? (10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? 1.1575 ? 2.706 ……………4 分 (10 ? 6)(6 ? 8)(10 ? 6)(6 ? 8)

因此,在犯错的概率不超过 0.10 的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6 分 (3)喜欢运动的女志愿者有 6 人, 设分别为 A、B、C、D、E、F,其中 A、B、C、D 会外语,则从这 6 人中任取 2 人有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种取法,其中两人都会外语的有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种。 故抽出的志愿者中 2 人都能胜任翻译工作的概率是 P ?

6 2 ? . 12 分 15 5 1 37 37 21.解(1) ( x ? ) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ……………4 分 ? m ? 0?m ? 2 4 4

(2)设 P( x1 , y1 ) ,Q( x 2 , y 2 ) , OP ? OQ 即 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 由?

?x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 x ? 2y ? 3 ? 0 ?
2

得 5 y ? 20 y ? 12 ? m ? 0 ……………6 分

? y1 ? y 2 ? 4, y1 y 2 ?

12 ? m 5

? x1 x 2 ? (3 ? 2 y1 )(3 ? 2 y 2 ) ? 9 ? 6( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ……………8 分 ? 5 y1 y 2 ? 6( y1 ? y 2 ) ? 9 ? 0
圆 C 的方程为: ( x ? ) 2 ? ( y ? 3) 2 ?
2

? m ? 3 (满足 ? ? 0 )
25 4
……………12 分

1 2

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2

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? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax 2 ? 3ax ,? f ? ? ? ? ? ? , 2 2 ?2? 4

? a ? ?2 ,? f ( x) ? ?2 x 3 ? 3 x 2 .………………………………………6 分
(Ⅱ)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x 3 ? 3 x 2 ? x ≤ 0 ,

1 ? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤ 或 x ≥ 1 . 2
又 f ( x) ≤ x 在区间 ? 0,m ? 上恒成立,? 0 ? m ≤

1 .……………12 分 2

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