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平面向量的线性运算

时间:2016-07-06


龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 科目 课题
教学 重点 教学 难点 教学 目标 曹澜 数学

学校 教师

44 王双云

年级 日期

高一 2016-3-16

次数 时段

第7次 7-9

平面向量的线性运算<

br />1 平面向量的概念和性质 2 平面向量的共线法则
弧度制转化、三角函数定义、诱导公式

1 把握平面向量的线性运算法则
2 灵活运用平面向量的线性关系处理平面向量知识点 一、课前热身:

教 学 步 骤 及 教 学 内 容

二、内容讲解: 知识点一:知识点一.向量的基本概念与基本运算 知识点二:知识点二.平面向量的坐标表示 知识点三: 1 向量的线性运算法则 2 向量的加减的运算之间的转换 知识点四:1 平面向量共线定理及推论 2 平面向量共线共线的做题技巧表达 三、课堂总结: 四、作业布置:

管理人员签字:

日期:







作 业 布 置

1、学生上次作业评价: 备注: 2、本次课后作业: 见学案:

○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差

家 长 意 见
家长签字: 日期: 年 月 日

曹澜同学 2016 年 3 月 16 日学案

【第 7 次】

课题:平面向量的线性运算学案
1.向量的定义 既有大小,又有方向的量统称为向量. 注意:向量与数量的区别在于数量没有方向,而向量有方向. 2.向量的表示方法

3.向量的长度(模) → → |AB|(或|a|)表示向量AB(或a)的大小,即长度(也称模)且|a|≥0. 4.与向量有关的概念 长度为零的向量称为零向量,记作0,且方向不定 零向量 ,0与任一向量平行 长度为单位1的向量叫作单位向量,与向量a同方向 单位向量 的单位向量叫作a方向上的单位向量,记作a0,且|a 0|=1 长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量.向量 相等向量 a与b相等,记作a=b (注:相等向量一定是共线向量) 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重 平行(共线) 合,则称这两个向量平行或共线.a与b平行或共线 向量 ,记作a∥b.零向量与任一向量平行 (注:共线向量不一定是相等向量) 5 三角形法则: → → → 已知向量a,b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,再作向量AC, 6 平行四边形法则: 已知不共线的两个向量a,b,在平面内任取一点O,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作 → OACB,对角线OC就是a与b的和。 7 向量加法的运算律 交换律 a+b=b+a 运算律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)

?

向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相等的向量. (2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是 不同的有向线段. 3.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然,同一直线上的向 量也是平行向量.

4.注意两个特殊向量——零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同 的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆. 1.对向量加法的三角形法则的四点说明 (1)适用范围:任意向量. (2)注意事项:①两个向量一定首尾相连; ②和向量的起点是第一个向量的起点,终点是第二个向量的终点. (3)方法与步骤:第一步,将b(或a)平移,使一个向量的起点与另一个向量的终点相连; 第二步:将剩下的起点与终点用有向线段相连,且有向线段的方向指向终点,则该有向线段表示的向 量即为向量的和.也称“首尾相连,连首尾”. 2.对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用范围:任意两个非零向量,且不共线. (2)注意事项:①两个非零向量一定要有相同的起点; ②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量. (3)方法与步骤:第一步:先把两个已知向量a与b的起点平移到同一点; 第二步:以这两个已知向量为邻边作平行四边形,则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a与b的和 . 例1.下列说法正确的个数是( ) ①零向量没有方向; ②单位向量的方向任意; ③长度为1 cm的向量是一个单位向量; ④与一个非零向量共线的单位向量有两个. A.0 B .1 C.2 D.4 变式练习: 1.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120° ,则以下说法错误的是( ) → → A.与AB相等的向量只有一个(不含AB) → → B.与AB的模相等的向量有9个(不含AB) → → C.BD的模恰为DA模的 3倍 → → D.CB与DA不共线 2.给出下列说法: ①若a是单位向量,b也是单位向量,则a与b的方向相同或相反; → → ②若向量AB是单位向量,则向量BA也是单位向量; ③两个相等的向量,若起点相同,则终点必相同. 其中正确说法的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3 给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0,其中能使a∥b成立的条件是_ _______ 例2.如图,D,E,F分别是△ABC边AB,BC,CA的中点,有下列4个结论:

→ → → → → → → → → → ①AD=FE,AF=DE;②DF∥CB; ③|CF|=|DE|;④FD=BE. 其中正确的为( ) A.①②④ B.①②③ C.②③ D.①④ 变式练习: → → → → 1.若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形 ABCD 的形状是________.

→ → → 2 如图所示,在梯形ABCD中,若E,F分别为腰AB,DC的三等分点,且| AD |=2,| BC |=5,则| EF |=________. 例3 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量.( ) (2)|a+b|≤|a|+|b|等号成立的条件是a∥b.( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.(

)

变式练习: 1.若a,b为非零向量,则下列说法中不正确的是( ) A.若向量a与b方向相反,且|a|>|b|,则向量a+b与a的方向相同 B.若向量a与b方向相反,且|a|<|b|,则向量a+b与a的方向相同 C.若向量a与b方向相同,则向量a+b与a的方向相同 D.若向量a与b方向相同,则向量a+b与b的方向相同 2 下列等式不正确的是( ) → → → → → → ①a+(b+c)=(a+c)+b;②AB+BA=0;③AC=DC+AB+BD. A.②③ B.② C.① D.③ 例4 (1) 设A,B,C,D是平面上任意四点,试化简: → → → ①AB+CD+BC; → → → → ②DB+AC+BD+CA.

变式练习: 1)下列等式不正确的是(

)

→ → → → → → ①a+(b+c)=(a+c)+b;②AB+BA=0;③AC=DC+AB+BD. A.②③ B.② C.① D.③ 2 化简下列各向量: → → → → ①(AD+MB)+(BC+CM)=________. → → → → → ②AB+DF+CD+BC+FA=________. 3.(1)在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,下列结论正确的是( → → → → A.AB=CD,BC=AD → → → B.AD+OD=DA → → → → C.AO+OD=AC+CD → → → → D.AB+BC+CD=DA

)

课堂小测: 1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b或a=-b; ②向量的模一定是正数; ③起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量. 其中正确命题的序号是________. 2.(1)在下列说法中,正确的是( ) A.两个有公共起点且共线的向量,其终点必相同 B.模为0的向量与任一非零向量平行 C.向量就是有向线段 D.两个有公共终点的向量一定是共线向量 3 (1)如图所示,已知AD=3,B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点,长度大于1的

向量的个数为( A.3 C.5

) B .4 D.6

(2)如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中分别写 出: → → ①与DO,CO相等的向量; → ②与DO共线的向量.

4 给出下列说法: → → → → ①|AB|=|BA|;②若a与b方向相反,则a∥b;③若AB,CD是共线向量,则A,B,C, D四点共线.其中所有正确的序号是________.

→ → → (3)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且OA=a,OB=b,OC=c. ①与a的模相等的向量有多少个? ②与a的长度相等、方向相反的向量有哪些? ③与a共线的向量有哪些? ④请一一列出与a,b,c相等的向量.

5 如图,在等腰梯形ABCD中. → → ①AB与CD是共线向量;

→ → ②AB=CD; → → ③AB>CD. 以上结论中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6 给出下列几种说法: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ②若|a|≠|b|,则a≠b; → → ③若AB=DC,则ABCD是平行四边形; → → ④平行四边形ABCD中,一定有AB=DC; ⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.

其中正确的有________(填所有正确说法的序号) 7 .(1)下列命题中,正确的是( ) A.|a|=1?a=± 1 B.|a|=|b|且a∥b?a=b C.a=b?a∥b D.a∥0?|a|=0 → → → (2)已知圆心为O的⊙O上三点A,B,C,则向量BO,OC,OA是( ) A.有相同起点的相等向量 B.长度为1的向量 C.模相等的向量 D.相等的向量 8 下列说法正确的是( ) A.向量可以比较大小 B.平面直角坐标系中的x轴和y轴都是向量 C.有向线段就是向量 D.体积、面积和时间都不是向量 9 如图所示,C,D是线段AB的三等分点,分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量个数为( ) A.3 B .6 C.8 D.12 10 .下列说法正确的是( ) A.若|a|>|b|,则a>b B.若|a|=|b|,则a=b C.若a=b,则a与b共线 D.若a≠b,则a一定不与b共线 11.把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O,则这些向量的终点所构成的图形 的面积为( ) A.4π B.π C.2π D.3π → → 12.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量AB是平行向量,与BC是共线向量,则m=________.

作业布置: → → → 1.在四边形ABCD中,若AC=AB+AD,则( ) A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形 C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形 → → → 2.如图所示,在平行四边形ABCD中,BC+DC+BA=(

)

→ → A.BD B.DB → → C.BC D.CB 3.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b +c相等的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 → → 4.如图所示的方格中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则OP+OQ=( )

→ → → B.OG C.FO D.EO → → → → 5.设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为( ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|; ⑤|a+b|=|a|+|b|. A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤

→ A.OH

)

6.当非零向量a,b满足________时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角. → → → → 7.矩形ABCD中,|AB|= 3,|BC|=1,则向量AB+AD+AC的长度等于________. → → → → 8.在平行四边形ABCD中,若|BC+BA|=|BC+AB|,则四边形ABCD是________(图形). → → → → 9.如图所示,P,Q是三角形ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:AB+AC=AP+AQ.

10.如图,在重300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30° ,60° ,当整个系统处于 平衡状态时,求两根绳子的拉力.

→ → → → → → 11.( 选 做 题 )在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且| AB |=| AD |=1, OA + OC = OB + OD 1 → → → → =0,cos∠DAB= .求|DC+BC|与|CD+BC|. 2


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