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2011高考数学复习资料汇编:第4单元 数列(真题解析+最新模拟)

时间:2010-09-27


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2011 年最新高考+最新模拟——数列
1.【2010?浙江理数】设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 【答案】D 【解析】解析:通过 (D) ?11

S5 ? S2

/>
8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q 3 ? 0 ,解得 q =-2,

带入所求式可知答案选 D, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式,属中档题

2.【2010?全国卷 2 理数】如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 【答案】C (B)21 (C)28 (D)35

【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

3.【2010?辽宁文数】设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 , 则公比 q ? (A)3 【答案】B 【解析】两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ? (B)4 (C)5 (D)6

a4 ? 4. a3

4. 【2010?辽宁理数】 设{an}是有正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和。 已知 a2a4=1, S3 ? 7 , 则 S5 ? (A) 【答案】B
2 【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q4 ? 1 ,因此 a1 ?

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

1 ,又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q2 ) ? 7 ,联力两式有 2 q

1 1 1 ( ? 3)( ? 2) ? 0 ,所以 q= ,所以 S5 ? 2 q q

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 ,故选 B。 1 4 1? 2
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5.【2010?全国卷 2 文数】如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +?…+ a7 = ? (A)14 【答案】C (B) 21 (C) 28 (D) 35

a ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4 【解析】∵ 3
6.

1 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

【 2010 ? 江 西 理 数 】 等 比 数 列

?an ?

中 , a1 ? 2 , a8 =4 , 函 数

f ? x ? ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a8 ) ,则 f ' ? 0? ? ( )
A. 2
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 f 关;得: a1 ? a2 ? a3 ?a8 ? (a1a8 )4 ? 212 。
'

? 0? 只与函数 f ? x ? 的一次项有

1? ? 1 1 lim ?1 ? ? 2 ? ? ? n ? ? x?? 3 ? ( ? 3 3 7.【2010?江西理数】
5 A. 3 3 B. 2



C. 2

D. 不存在

【答案】B

1 1? n 3 )? 3 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。 lim ( n??? 1 2 1? 3
8.【2010?安徽文数】设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为( (A) 15 【答案】A (B) 16 (C) 49 (D)64 )

【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 9. 【2010?重庆文数】在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为( ) (A)5 (C)8 【答案】A 【解析】由角标性质得 (B)6 (D)10

a1 ? a9 ? 2a5 ,所以 a5 =5

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10. 【2010?浙江文数】设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (C)5 【答案】A 【解析】通过 (B)-8 (D)11

S5 ? S2

8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q 3 ? 0 ,解得 q =-2,带入所

求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式 11. 【2010?重庆理数】在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】

a2010 ?q 3 ? 8 a2007

?q ? 2

12.【2010?北京理数】在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m= ( ) (B)10 (C)11 (D)12

(A)9 【答案】C

13.【2010?四川理数】已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 , 则 lim

an ? n ?? S n
(B)

(A)0 【答案】B

1 2

(C) 1

(D)2

【解析】由 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,且 Sn? 2 ? 2Sn?1 ? a1 作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ? a2=2a1 故{an}是公比为 2 的等比数列 - Sn=a1+2a1+22a1+……+2n 1a1=(2n-1)a1 则 lim

an 2n?1 a 1 ? lim n 1 ? n ?? S n ?? (2 ? 1) a 2 n 1

14. 【2010?天津理数】 已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列,s n 是 ?an ? 的前 n 项和, 9s3 ? s6 , 且
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则数列 ?

?1? ? 的前 5 项和为( ) ? an ?

(A)

15 或5 8

(B)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8

【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然 q ? 1,所以

1 1 9(1 ? q3 ) 1-q6 = ? 1 ? q3 ? q ? 2 ,所以 { } 是首项为 1,公比为 的 2 an 1-q 1? q

1 1 ? ( )5 2 ? 31 . 等比数列, 前 5 项和 T5 ? 1 16 1? 2
15. 【2010?广东理数】 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35 【答案】C 【解析】设{

5 ,则 S5 =( ) 4
B.33 C.31 D.29

an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知,a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2 。由 a4

5 5 1 5 1 5 1 a ? 2a7 ? 2 ? a7 ? (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? a7 的等差中项为 4 知, 4 4 ,即 2 4 2 4 4. 与2

q3 ?


a7 1 1 1 ? q? a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 a ? 16 . a4 8 ,即 2. 8 ,即 1

16.【2010?全国卷 1 文数】已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则

a4 a5a6 =( )
(A) 5 2 【答案】A
3 【解析】 由等比数列的性质知 a1a2a3 ? (a1a3 )? 2 ? a2 ? 5 , 7 a8a9 ? (a7 a9 )? 8 ? a8 ? 10, a a a 3
1

(B) 7

(C) 6

(D) 4 2

所以 a2 a8 ? 50 3 ,
3 所以 a4a5a6 ? (a4a6 )?a5 ? a5 ? ( a2a8 )3 ? (506 )3 ? 5 2 1

17.【2010?湖北文数】已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 ,
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1 a3 , 2a2 成等差数列, 2
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a9 ? a10 ? a7 ? a8
B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2 D3? 2 2

A. 1 ? 2

18. 【2010?安徽理数】设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别 为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是( ) A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

【答案】D 【解析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有选项 D 满足。 对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除 3 个选 项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除.本题也可 以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. 19. 【2010?福建理数】设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 【答案】A C.8 D.9 , 解得 d ? 2 ,

【解析】 设该数列的公差为 d , a4 ?a6 ? 21 ? 8 ? 2 ? 1) ?8 d 6 则 a d ?( 1 ?? 所以 S n ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时,Sn 取最小值。 2
2

20.【2010· 大连市三月双基测试卷】若数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? an ? n(a ? R) ,则下列 关于数列 {an } 的说法正确的是 A. {an } 一定是等差数列 ( )

B. {an } 从第二项开始构成等差数列

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C. a ? 0 时, {an } 是等差数列 【答案】A

D.不能确定其为等差数列

【解析】依题意,当 n≥2 时,由 S n ? an2 ? n(a ? R) ,得 an ? an2 ? n ? a(n ?1)2 ? (n ?1)

? 2an ? a ? 1 ,当 n=1 时,a1=a+1,适合上式,所以 {an } 一定是等差数列,选择 A

21.【2010· 茂名市二模】在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 1, a2 ? a4 ? 10, an ? 39, 则 n = ( ) A.19 【答案】B

B.20

C.21

D.22

【解析】 依题意, 设公差为 d, 则由 ? 选择 B

?a1 ? 1 得d ? 2, 所以 1+2 (n-1) =39, 所以 n=20, ?2a1 ? 4d ? 10

22. 【2010· 北京宣武一模】若 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项和,且 S11 ? 为( A. 3 【答案】B ) B. ? 3 C. ? 3 D. ?

22π ,则 tan a6 的值 3
3 3

2 【解析】由 a1 ? a11 ? a2 ? a10 ? ? ? a5 ? a7 ? 2a6 ,可得 S11 ? 11a6 ,∴ a6 ? π . tan a6 = ? 3 , 3 选择 B
23.【2010· 蚌埠市三检】等差数列 {an }中, 若a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 则a9 ? ( ) A.14 【答案】C

1 a11 的值是 3

B.15

C.16

D.17

【解析】 依题意, a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 , a8 ? 24 , 由 得 所以 a9 ? a11 ?

1 3

1 (3a9 ? a11 ) 3

1 1 2 ? (a9 ? a7 ? a11 ? a11 ) ? ( a9 ? a7 ) ? a8 ? 16 ,选择 C 3 3 3
24. 【 2010·福 建 省 宁 德 三 县 市 一 中 第 二 次 联 考 】 已 知 等 比 数 列 {a n } 的 前 三 项 依 次 为 a ? 1, a ? 1, a ? 4 ,则 a n ? ( ) A. 4 ? ? ? 【答案】C 3 【解析】依题意,(a+1)2=(a-1)(a+4),所以 a=5,等比数列 {a n } 首项 a1=4,公比 q= 2 ,所以
? 3? ? 2?
n

B. 4 ? ? ?

? 2? ? 3?

n

C. 4 ? ? ?

? 3? ? 2?

n ?1

D. 4 ? ? ?

? 2? ? 3?

n ?1

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? 3? an ? 4 ? ? ? ? 2?

n ?1

,选择 C;

25.【2010· 北京丰台一模】已知整数以按如下规律排成一列: ?1 , 1? 、 ?1 , 2 ? 、 ? 2 , 1? 、 ?1 , 3? 、

? 2 , 2? , ? 3 , 1? , ?1 , 4 ? , ? 2 , 3? , ?3 , 2? , ? 4 , 1? ,……,则第 60 个数对是(
A. ?10 , 1? 【答案】C 【解析】 B. ? 2 , 10 ? C. ? 5 , 7 ? D. ? 7 , 5?



6 5 4 3 2 1 O 2 5 6

1

3

4

根据题中规律,有 ?1 , 1? 为第 1 项, ?1 , 2 ? 为第 2 项, ?1 , 3? 为第 4 项,…, ?1 , 11? 为第 56 项, 因此第 60 项为 ? 5 , 7 ? . 26. 2010· 【 北京市海淀区第二学期期中练习】已知等差数列 1,a , b ,等比数列 3,a ? 2, b ? 5 , 则该等差数列的公差为 ( ) A.3 或 ?3 B.3 或 ?1 C.3 D.-3 【答案】C 【解析】依题意得 1+b=2a,(a+2)2=3(b+5),联立解得 a= -2, b= -5(舍)或 a=4, b=7,所以, 则该等差数列的公差为 3,选择 C; 27.【2010· 北京顺义区二模】已知等比数列 ?an ? 中,a2 ? A. 5 【答案】C B. 6 C. 7 D. 8

1 1 1 ,a3 ? ,ak ? ,则 k ? ( 2 4 64

)

【解析】 依题意, 设公比为 q, 则由 a2 ? 选择 C;

1 1 1 1 k ?1 1 ,a3 ? , q= ,ak ? ( ) ? 得 , 解得 k ? 7 2 4 2 2 64

28. 2010· 【 石家庄市教学质量检测(二) 】已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? a8 ? 16 ,则 a17 等 于( ) A.128 【答案】C

B.16

C.256

D.64

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【解析】依题意,设 {an } 公比为 q,则由 a1 ? 1, a2 ? a8 ? 16 得,q8=16,所以 a17 ? (q8 )2 =256, 选择 C 29. 2010 武汉市四月调研】 【 已知等差数列 {an }前n项的和为S n , a3 ? A.

3 , S3 ? 9, 则a1 =( 2



3 2

B.

9 2

C.—3

D.6

【答案】B

3 ? 9 3 ?a1 ? 2d ? 【解析】依题意,设首项为 a1,公差为 d,则 ? 2 ,解得 a1 ? , d ? ? ,选择 B 2 2 ?3a1 ? 3d ? 9 ?

a 30. 【2010· 河北隆尧一中五月模拟】 等差数列 ?an ? 中, n 是其前 n 项和, 1 ? ?11, S
则 S11 = A.-11 【答案】A ( B.11 ) C.10 D.-10

S10 S8 ? ? 2, 10 8

【 解 析 】 Sn ? na1 ?

Sn S S 8 (n ? 1) ? a1 ? d , 由 1 0? ? 2 , 得 n 2 1 0 8 S 10 ? 1 8 ?1 (11 ? 1) a1 ? d ? (a1 ? )d ? 2 , d ? 2 , 11 ? a1 ? d ? ?11 ? 5 ? 2 ? ?1 , 2 2 11 2

n( n ? 1 ) d , 得 2

? S11 ? ?11 ,选 A。
31.【2010· 北京海淀一模】已知等差数列 1 , a , b ,等比数列 3 , a ? 2 , b ? 5 ,则该等差数列的 公差为( ) A. 3 或 ?3 B. 3 或 ?1 C. 3 D. ?3 【答案】C ? 2a ? 1 ? b ? 2 ?a ? 4 ?? a ? 2 ? ? 3 ? ? b ? 5 ? 【解析】 ? ,解得 ? .因此该等差数列的公差为 3 . ?b ? 7 ?a ? b ? 0 ?b ? 5 ? 0 ? 32.【2010· 广东省四月调研模拟】公差不为零的等差数列 {a n } 中, a2 , a3 , a6 成等比数列, 则其公比 q 为( A.1 【答案】 C ) B.2 C.3 D.4

【 解 析 】 ∵ 等 差 数 列 {a n } 中 a2 , a3 , a6 成 等 比 数 列 , ∴ a2 ? a6 ? a32 , 即

2 ?), 0 ∵ 公 差 a a a ? 2d ?3a1 ∴ d ? 2a1 ? 0 ? d ? ?2a1 ,∴所求公比 q ? 3 ? 1 ? ?3 a2 a1 ? d ?a1
1

(a1 ? d ) (a ? 5d ) 1a ? 22 ) ? ( d ? d (? d 1









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33.【2010· 湖南师大附中第二次月考试卷】在等比数列{an}中,已知 a3=

1 ,a9=8,则 a5· 6· 7 a a 2

的值为 ( ) A.±8 B.-8 C. 8 D.64 【答案】A 【解析】因为{an}为等比数列,则 a62=a5· 7=a3· 9=4,所以 a6=±2,a5· 6· 7=±8,故选 A. a a a a
3 a9 34.【2010· 哈尔滨市第九中学第三次模拟】在等比数列中,已知 a a a ? 243,则 的值 a 11

3 1 8 15

为( A. 3 【答案】B

) B. 9

C. 27

D. 81
3 3 a9 a8 q3 2 ? ? a8 ? 9 ,选择 B 3 a11 a8q

3 【解析】依题意,由 a1 a8 a15 ? 243得 a8 ? 3 ,

35.【2010· 河北隆尧一中四月模拟】已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若

??? ? ??? ? ??? ? ? a1OA ? a2009 OB ? 2OC ? 0 ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点),则 S2009 ? ( )
A. 2009 B. 2010 C. -2009 D. -2010

【答案】C 【解析】 由 a1 ? a2009 ? 2 ? 0 , a1 ? a2009 ? ?2 ,得 S2009 ? 36. 【2010· 邯郸市二模】 设 A. 13 【答案】B 【解析】依题意,由 选择B B. 14

a1 ? a2009 ? 2009 ? ?2009 。 2

?an ? 为等差数列,Sn 为其前 n 项和, a1 ? a2 ? a5 ? a8 ? 8 , S7 ? 且 则
C. 15 D. 16

a1 ? a2 ? a5 ? a8 ? 8

得 a3 ? a5 ? 4, S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a3 ? a5 ) ? ? 14 , 2 2

37.【2010· 南宁市二模】设数列 ?an ? 是等差数列,且 a2=-8, a15=5, Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 则( ) A. S10 ? S11 【答案】C 5+8 【解析】设公差为 d,则 d= 15-2 =1 ,所以 an=n-10,因此 S9 ? S10 是前 n 项和中的最小值,选 择 C; B. S10 ? S11 C. S9 ? S10 D. S9 ? S10

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38. 【2010· 抚州市四月质检】 等比数列 的公比 q 等于 ( )

?an ? 的前 n 项和为 S n , S1 , S3 , S 2 成等差数列, ?an ? 若 则

A. 1
【答案】C

1 B. 2

C.

?

1 2

D. 2

【解析】依题意,由 2S3 ? S1 ? S2 得 2(a1 ? a1q ? a1q2 ) ? a1 ? a1 ? a1q ,解得 q ? ? 39. 【2010· 北京东城一模】 已知数列 {an } 的通项公式 an ? log3 则使 Sn ? ?4 成立的最小自然数 n 等于( A. 83 【答案】C B. 82 ) C. 81 D. 80

1 ,选择C 2

n 设其前 n 项和为 Sn , (n ? N* ) , n ?1

【 解 析 】 Sn ? log3 1 ? log3 2 ? log3 2 ? log3 3 ? ? ? log3 n ? log3 (n ? 1) ? ? log3 (n ? 1) ? ?4 , 解 得
n ? 34 ? 1 ? 80 .

40. 【2010· 青岛市二摸】已知在等比数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? 公比 q 的值为 A.

5 ,则等比数列 {an } 的 4

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 8

【答案】B 【解析】依题意,设公比为 q,由于 a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? B 41. 【2010 重庆八中第一次月考】在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 9 , a4 ? a5 ? a6 ? 27 , 则 a7 ? a8 ? a9 ? A. 36 【答案】B ( ) C. 63 D. 81 a4+a6 1 1 5 ,所以 q3= a +a =8 ,q=2 ,选择 1 3 4

B. 45

【 解 析 】 依 题 意 , a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 构 成 等 差 数 列 , 所 以

a7 ? a8 ? a9 ? 9+2×18=45,选择 B
42. 【2010· 宁波市二模】等比数列的首项为 1 ,项数是偶数,所有的奇数项之和为 85 ,所有的 偶数项之和为 170 ,则这个等比数列的项数为 ( ) (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 【答案】C 【解析】设等比数列项数为 2n 项,所有奇数项之和为 S 奇,所有偶数项之和为 S 偶,则 S 奇=85,
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1-4n S 偶=170,所以 q=2,因此 1-4 =85 ,解得 n=4,这个等比数列的项数为 8 ,选择 C

43 . 2010·成 都 石 室 中 学 高 三 “ 三 诊 ” 模 拟 考 试 】 设 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 【

S n , 若S3 ? 9, S6 ? 36, 则 a7 ? a8 ? a9 =
A.63 【答案】B B.45

( C.36

) D.27

【解析】依题意,S3,S6-S3,S9-S6 也构成等差数列,所以 a7 ? a8 ? a9 = S9-S6=9+2×18=45,选 择 B; 44. 【2010· 拉萨中学第七次月考】等差数列{an}的公差不为零,首项 a1 ? 1 , a2是a1和a5 的等比 中项,则数列{an}的前 10 项之和是 A.90 B.100 【答案】B ( ) D.190

C.145

10×9 2 【解析】 依题意, 设等差数列公差为 d (d≠0) 则 , (1+d) =1+4d,解得 d=2, 所以 S10=10+ 2 ×2 =100,选择 B; 45. 【2010· 河北唐山一中三月月考】用数学归纳法证明“ 1 ?

1 1 1 ? ?? ? n ? n, 2 3 2 ?1


(n ? N * , n ? 1) ”时,由 n ? k (k ? 1) 不等式成立推证 n ? k ? 1 ,左边应增加的项数是(
A. 2
k ?1

B. 2

k

C. 2 +1

k

D. 2 -1

k

【答案】B 【解析】增加的项数为 (2
k ?1

?1) ? (2k ?1) ? 2k ?1 ? 2k ? 2k .

46. 【2010·河南郑州市二模】一个 n 层台阶,若每次可上一层或两层,设所有不同上法的总 数为 f ( n) ,则下列猜想中正确的是( A. f (n) ? n )

B. f (n) ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) D. f ( n) ?

C. f (n) ? f (n ? 1) f (n ? 2) 【答案】D

?

n n ?1,2 f ( n ?1) ? f ( n ? 2) n ? 3

【解析】当 n ? 1 时, f (1) ? 1 ,当 n ? 2 时, f (2) ? 2 ,当 n ? 3 时,由于每次只能上一层或 者两层,因此 f (n) ? f (n ? 1) f (n ? 2) ,故选 D. 47. 【2010?辽宁文数】设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则
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a9 ?
【答案】15



3? 2 ? ? S3 ? 3a1 ? 2 d ? 3 ?a ? ?1 ? 【解析】 ? ,解得 ? 1 ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 1 ? 6 2 ?
48. 【 2010 ? 辽 宁 理 数 】 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 __________. 【答案】

an 的最小值为 n

21 2

【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n

an 33 ? ? n ?1 n n 33 ?33 ? n ? 1 ,令 f (n) ? 2 ? 1 ? 0 ,则 f (n) 在 ( 33, ??) 上是单调递增, 设 f ( n) ? n n
所以 在 (0, 33) 上是递减的,因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f ( n) 有最小值。 又因为

a5 53 a6 63 21 a a 21 ? , ? ? ,所以, n 的最小值为 6 ? 5 5 6 6 2 6 2 n

49. 【2010?浙江文数】在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列, 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 【答案】 n ? n
2

50. 【 2010 ? 天 津 文 数 】 设 {an} 是 等 比 数 列 , 公 比 q ?

2 , Sn 为 {an} 的 前 n 项 和 。 记


Tn ?

17 Sn ? S2 n , n ? N * . 设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 = an?1

【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等 题。

17a1[1 ? ( 2)n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 1? 2 1? 2 Tn ? ? ? a1 ( 2)n 1? 2 ( 2) n
? 1 16 16 ? [( 2)n ? ? 17] 因为 ( 2)n ? ≧8,当且仅当 ( 2)n =4,即 n=4 时取等 n n 1? 2 ( 2) ( 2)

号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 51. 【2010?湖南理数】若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n
?

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? 成立,记这样的 m 的个数为 (an )? ,则得到一个新数列 ( an ) .例如,若数列 ?an ? 是

?

?

1, 2,3…,n,…,则数列 ?( an )? ? 是 0,1, 2,…,n ? 1,… .已知对任意的 n ? N? , an ? n2 ,则

(a5 )? ?

, .

((an )? )? ?

52. 【2010?福建理数】在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通 项公式 an ? 【答案】 4
n-1



【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4

n-1



【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 53. 【2010?江苏卷) 】函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________ 【答案】21 【解析】考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ? 所以 ak ?1 ?

ak , 2

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 。 2
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54.【2010· 河北隆尧一中三月月考】在数列 {an } 中, a1 ? 2 , 公式 an = 【答案】

nan?1 ? (n ? 1)an , 则 {an } 通项

an ? 3n ? 1

an?1 an 1 ? ? na ? (n ? 1)an 两边同除以 n(n+1) , 得 n ? 1 n n(n ? 1) , 【解析】 n?1
bn ? an n

bn?1 ? bn ?
, 得



1 a b1 ? 1 ? 2 n(n ? 1) , 1 ,

于 是

bn

? 3?

1 n



1 ? an ? nbn ? n(3 ? ) ? 3n ? 1. n
55. 【2010· 北京丰台一模】 设等比数列{an } 的公比为 【答案】 15
2 3 S4 a1 ?1 ? q ? q ? q ? 1 ? q ? q 2 ? q3 【解析】 ? ? ? 15 . a4 a1q3 q3

q?

1 2 , n 项和为 Sn , S 4 ? 前 则 a4



56. 【2010 黄冈中学 5 月第一模拟考试】在等比数列 {an } 中,若 a7 ? a8 ? a9 ? a10 ?

15 , 8

9 1 1 1 1 a8 a9 ? ? ,则 ? ? ? ? 8 a7 a8 a9 a10
【答案】 ? 【解析】



5 3

a7 ? a10 a8 ? a9 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?( ? )?( ? ) ? ? a7 a8 a9 a10 a7 a10 a8 a9 a7 a10 a8a9

?

a7 ? a8 ? a9 ? a10 5 ?? a8 a9 3

57.【2010· 河北隆尧一中五月模拟】定义:我们把满足 an ? an?1 ? k ( n ? 2, k 是常数)的数 列叫做等和数列,常数 k 叫做数列的公和.若等和数列 ?an ? 的首项为 1,公和为 3,则该 数列前 2010 项的和 S2010 ? 【答案】3015 【解析】 a2 ? a1 ? 3, a4 ? a3 ? 3,……a2010 ? a2009 ? 3, 得 S 2010 ? .

2010 ? 3 ? 3015 。 2

58. 【2010长沙市第一中学第九次月考】公比为 4 的等比数列{bn}中,若 Tn 是数列{bn}的前
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n 项积,则有

T20 T30 T40 , , 仍成等比数列,且公比为 4100;类比上述结论,在公差为 3 的等 T10 T20 T30

差数列{an}中,若 Sn 是{an}的前 n 项和,则有_____________________________也成等差数 列,该等差数列的公差为 【答案】S20-S10,S30-S20,S40-S30 300 【解析】依题意,S20-S10,S30-S20,S40-S30 也构成等差数列公差为 100d=300; 59 . 2010·北 京 丰 台 一 模 】 设 等 比 数 列 {an } 的 公 比 为 q ? 【
S4 ? a4



1 , 前 n 项 和 为 Sn , 则 2



【答案】 15 【解析】
2 3 S4 a1 ?1 ? q ? q ? q ? 1 ? q ? q 2 ? q3 ? ? ? 15 . a4 a1q3 q3

60. 【2010· 浙江省宁波市二模】在计算“ 到了如下一种方法: 先改写第 k 项: 由此得

1 1 1 ? ? ??? ? (n ? N ? ) ”时,某同学学 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 ? ? , k (k ? 1) k k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? , 1? 2 1 2 2 ? 3 2 3 n(n ? 1) n n ? 1

相加,得

1 1 1 1 n ? ??? ? 1? ? . 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ?1 n ?1 1 1 1 ? ? ??? ? (n ? N ? ) ”, 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n(n ? 1)(n ? 2)

类比上述方法,请你计算“ 其结果为 【答案】 .

n 2 ? 3n 4(n ? 1)(n ? 2)
1 1 1 1 n 2 ? 3n ? [ ? ] ,相消得 n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 4(n ? 1)(n ? 2)
*

【解析】裂项

61. 【2010?上海文数】已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ?1 是等比数列; ? (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

5 an ? 1 ? (an?1 ? 1) 6 解:(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 ,
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又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? (2) 由(1)知: ?5? ? ? 由 Sn?1>Sn,得 ? 6 ?
n?1 n ?1

?5? an ? 1 ?15 ? ? ? ?6? ,得

n ?1

?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6? ,从而

n ?1

? n ? 90

(n?N*);

?

2 2 n ? log 5 ? 1 ? 14.9 25 5, 6 ,最小正整数 n?15.

62. 【2010?陕西文数】已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. an (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn. 解 (Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

1 ? 2 d 1 ? 8d 由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 1 = 1 ? 2 d ,
解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
am

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

=2n,由等比数列前 n 项和公式得

2(1 ? 2 n ) Sm=2+22+23+…+2n= 1 ? 2 =2n+1-2.
63. 【2010?重庆文数】已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列,Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) ?bn ? an ? 是首项为 1, 设 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 和 Tn .

64. 【2010?北京文数】已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式

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解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

65. 【2010?北京理数】 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,…,xn ), x1 ?{0,1}, i ? 1, 2,…, n}(n ? 2) 对于 A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1 , b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为

A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 证明: (P)≤ (P).

d

d

mn . 2( m ? 1)

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 证明: (I)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn 因为 ai , bi ??0,1 ,所以 ai ? bi ??0,1? , (i ? 1, 2,..., n) ? 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn

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又 d ( A ? C, B ? C ) ?

?|| a ? c |? | b ? c ||
i ?1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) . 当 ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?|| ai ? bi | ; 当 ci ? 1 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi |

所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?| a ? b | ? d ( A, B)
i ?1 i i

n

(II)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) , d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h . ? k
记 O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k d ( A, C) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 | bi ? ai | (i ? 1,2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 的 1 的 个数为 l 。 设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B) ,其中 ? d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,
A, B?P

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0 则

A, B?P

?

d ( A, B) = ? ti (m ? ti )
i ?1

n

由于 ti (m ? ti ) ?
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m2 (i ? 1, 2,..., n) 4
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所以

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm 2 4

从而 d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm mn ? 2 4Cm 2(m ? 1)
*

2

66. 【2010?四川理数】已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (1)求 a3,a5; * (2)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; - * (3)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20 * (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

a2 n ?1 ? a1 -(n-1)2. 2 a ? a2 n ?1 那么 an+1-an= 2 n ?1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1 2
an= =2n - 于是 cn=2nqn 1. 当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) - 当 q≠1 时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn 1. 两边同乘以 q,可得 qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn. 上述两式相减得 - (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn 1)-2nqn

1 ? qn =2· -2nqn 1? q
=2·

1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 1? q

所以 Sn=2·
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nq n?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2
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?n(n ? 1) (q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1) ? 2? (q ? 1) 2 ?
67. 【2010?天津文数】在数列 ?a n ? 中,a 1 =0,且对任意 k ? N ,a 2k ?1 ,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,
*

其公差为 2k. (Ⅰ)证明 a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)记 Tn ?

3 22 32 n2 2 . ? ?? ?? ,证明 ? 2n ? Tn ? (n ? 2) ? 2 a2 a3 an

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法, 满分 14 分。 解: 证由题设可知,a2 ? a1 ? 2 ? 2 ,a3 ? a2 ? 2 ? 4 ,a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,a5 ? a4 ? 4 ? 12 , (I)

a6 ? a5 ? 6 ? 18 。
从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)由题设可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N * 所以 a2k ?1 ? a1 ? ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ? a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? ...? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4 ? k ?1? ? ... ? 4 ?1 ? 2k ? k ?1? , k ? N *.
由 a1 ? 0 ,得 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? ,从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k 2 .

? n2 ? 1 n ? 2 , n为奇数 n2 ? ?1? ? 1 ? 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 或写为 an ? , n? N * 。 ? 2 4 n2 ? , n为偶数 ?2 ?
(III)由(II)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k 2 , 以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m ? m ? N *?
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若 m ? 1 ,则 2n ? 若 m ? 2 ,则

k2 ? a ? 2, k ?2 k
n
2

m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ?? ? a k ?1 a ? a ? 2k 2 ? 2k ? k ? 1? k ?2 k k ?1 k ?1 k ?1 2k 2 k ?1 n 2 m ?1 ? m ?1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2k ? k ? 1? k ?1 ? ?

1? 1? 3 1 ? 2m ? 2? m ? ? ? ? ? ? ? n2 ? . 1 1 ? 2? m? 2 n
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? ,从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4,6,8,.... ?a 2 n 2 k ?2 k k ? 2 ak n

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1? m ? N *? 。

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ? 4m ? ? ? ?a ??a ? a 2 2m 2m ? m ? 1? k ?2 k k ?2 k 2 m ?1
n 2 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ? 1? 2 n ?1
n k2 3 1 3 k2 所以 2n ? ? ,从而 ? 2n ? ? ? ? ? 2, n ? 3,5,7,.... 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

综合(1)和(2)可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有

3 ? 2n ? Tn ? 2. 2
*

68. 【2010?天津理数】在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N . a2 k ?1 , a2k , a2 k ?1 成等差 数列,其公差为 dk 。 (Ⅰ)若 dk = 2k ,证明 a2k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ? N , a2k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk 。
*

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法。满分 14 分。 解: (Ⅰ)由题设,可得 a

2k ? 1

?a ? 4k , k ? N * 。 2k ? 1
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所以 a

2k ? 1

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k ? 1

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 。 于是 2k ? 1 ? a 2k k a 2k ? 1 k a 2k ? 1 a 2k
所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列。 2k ? 1 2k ? 2

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

2k ? 1

, a2 k , a ,a 成等差数列,及 a , a 成等 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2

比数列,得 2a

a a ?a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1
*

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N 从而

1 q k ?1

? 2?

1 1 q k ?1 ?1

?

1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ? ? ?
4 ? 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

(Ⅱ)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而 q1 ?

1 ? 1 ? k ? 1 ? k , 得q ? k ? 1 , k ? N * k q k k ?1
2 a a a ( ) 2k ? 2 ? 2k ? 1 ? k ? 1 , 从而 2k ? 2 ? k ? 1 ,k ? N * 所以 a a k a k2 2k ? 1 2k 2k

因此,

a2 k ?

a a k2 (k ? 1)2 22 . 2k ? 2 .... 4 .a ? . ... .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k ( k ? 1), k ? N * 2 (k ? 1)2 (k ? 2) 2 12 2k ? 1 2k k a a a 2k ? 2 2 k ? 4 2

a 2k

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

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若 m=1,则 2n ? 若 m≥2,则

k2 ? a ? 2. k ?2 k
n

k 2 m (2k )2 m?1 (2k ? 1)2 m 4k 2 ?? 2 + ?a ? ? a ?? a k ?2 k k ?1 k ?1 k ?1 2k 2k 2 k ?1
n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? ? 2k (k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 k ?1 ? 2k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4,6,8... ?a 2 n 2 k ?2 k k ? 2 ak n
*

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )

k 2 2m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ? 4m ? ? ? ?a ??a ? a 2 2m 2m(m ? 1) k ?2 k k ?2 k 2 m?1
n 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1
所以 2n ?

?a
k ?2

n

k2
k

?

n 3 1 3 k2 · ? , 从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 3,5,7 ·· 2 n ?1 2 k ? 2 ak n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 2 k ? 2 ak

综合(1) (2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有

?

证法二: (i)证明:由题设,可得 dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

dk ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?1 ? qk 2a2k ? qk a2k ? a2k qk (qk ?1), 所以 dk ?1 ? qk dk
qk ?1 ? a2 k ?3 a2 k ?2 ? d k ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ?2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 ? k ? ?1, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ? 1可知 qk ? 1, k ? N * 。可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ?

(ii)证明:因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 。
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所以 a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而 q1 ?

? 1 ? a3 1 ?2, ? 1 。于是,由(i)可知所以 ? ? 是公 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1 ?
k ?1 1 = 1 ? ? k ?1? ? k ,故 qk ? 。 k qk ? 1

差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得

从而

d k ?1 k ?1 。 ? qk ? dk k dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d1 d k ?1 d k ?2 d1 k ? 1 k ? 2 1

所以

dk ? 2k 。
于是,由(i)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k , k ? N *
2

以下同证法一。 69. 2010?山东理数】 【 已知等差数列 ?an ? 满足:a3 ? 7 ,a5 ? a7 ? 26 , an ? 的前 n 项和为 Sn . ? (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

解:(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

70.

【 2010 ? 湖 南 理 数 】 数 列

?an? (n ? N * )

中 ,

是 函 数

f n ( x) ?

1 3 1 x ? (3an ? n )2x ? 2 n an x 2 3 的极小值点 3 2

(Ⅰ)当 a=0 时,求通项 an ;

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(Ⅱ)是否存在 a,使数列 ?an ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请 说明理由。

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71. 【2010?江苏卷】设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数 列

? S ?是公差为 d 的等差数列。
n

(1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) ; (2) c 为实数, 设 对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k , 不等式 S m ? S n ? cSk 都 成立。求证: c 的最大值为

9 。 2

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分 析及论证的能力。 解: (1)由题意知: d ? 0 ,

Sn ? S1 ? (n ? 1)d ? a1 ? (n ? 1)d

2a2 ? a1 ? a3 ? 3a2 ? S3 ? 3(S2 ? S1 ) ? S3 , 3[( a1 ? d )2 ? a1 ]2 ? ( a1 ? 2d )2 ,
化简,得: a1 ? 2 a1 ? d ? d 2 ? 0, a1 ? d , a1 ? d 2

Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd , Sn ? n2d 2 ,
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当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2d 2 ? (n ?1)2 d 2 ? (2n ?1)d 2 ,适合 n ? 1 情形。 故所求 an ? (2n ?1)d 2 (2) (方法一)

Sm ? Sn ? cSk ? m2d 2 ? n2d 2 ? c ? k 2d 2 ? m2 ? n2 ? c ? k 2 , c ?

m2 ? n2 恒成立。 k2

m2 ? n 2 9 ? , 又 m ? n ? 3k且m ? n , 2(m ? n ) ? (m ? n) ? 9k ? k2 2
2 2 2 2

故c ?

9 9 ,即 c 的最大值为 。 2 2

(方法二)由 a1 ? d 及 Sn ?

a1 ? (n ? 1)d ,得 d ? 0 , Sn ? n2d 2 。

于是,对满足题设的 m, n, k , m ? n ,有

( m ? n) 2 2 9 2 2 9 S m ? S n ? (m ? n )d ? d ? d k ? Sk 。 2 2 2
2 2 2

9 。 2 9 3 3 另一方面,任取实数 a ? 。设 k 为偶数,令 m ? k ? 1, n ? k ? 1 ,则 m, n, k 符合条件, 2 2 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 且 S m ? S n ? (m ? n )d ? d [( k ? 1) ? ( k ? 1) ] ? d (9k ? 4) 。 2 2 2
所以 c 的最大值 cmax ? 于是,只要 9k ? 4 ? 2ak ,即当 k ?
2 2

1 2 2 2 时, S m ? S n ? d ? 2ak ? aS k 。 2 2a ? 9

所以满足条件的 c ? 因此 c 的最大值为

9 9 ,从而 cmax ? 。 2 2

9 。 2

72.【2010· 重庆八中第四次月考】设数列 ?an ? 满足: a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? 2n (n ? N * ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? n2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
n 解: (1)∵ a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? 2 ①,∴ n ? 2 时,

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)an?1 ? 2n?1 ②

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①—②得 nan ? 2n?1 , an ?

2n?1 (n ? 2) ,在①中令 n ? 1 得 a1 ? 2 , n

?2(n ? 1) ? ∴ an ? ? 2n ? 2 (n ? 2) ? ? n
(2)∵ bn ? ?

? 2( n ? 1) ?n ? 2
n ?1

( n ? 2)

则当 n ? 1 时, S1 ? 2

∴当 n ? 2 时, Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 则 2Sn ? 4 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n 相减得 Sn ? n ? 2n ? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? (n ? 1)2n ? 2(n ? 2) 又 S1 ? 2 ∴ Sn ? (n ? 1) ? 2n ? 2

(n ? N * )

73.【2010· 福建省宁德三县市一中第二次联考】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5, S15=225。 (1)求数列{an}的通项 an; (2)设 bn= 2 n +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
a

?a1 ? 2d ? 5 ? 解: (1)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,由题意,得 ? ,解得 15?14 ?15a1 ? 2 d ? 225 ?

?a1 ? 1 ,∴an=2n-1 ; ? ?d ? 2
(2) bn ? 2 ∴
an

? 2n ?

1 n ? 4 ? 2n , 2 ? 1 (4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ) ? 2(1 ? 2 ? ? ? n) 2

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

=

4 n ?1 ? 4 ? n2 ? n 6
? 2 n 2 ? 4 ? n2 ? n ? 3 3

74.【2010· 北京石景山一模】在数列 {an } 中, a1 ? 3 , an ? ?an ?1 ? 2n ? 1 (n≥ 2 且 n ? N* ) . ⑴求 a 2 , a 3 的值;

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⑵证明:数列 {an ? n} 是等比数列,并求 {an } 的通项公式;⑶求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . 解:⑴∵ a1 ? 3 ,an ? ?an ?1 ? 2n ? 1 (n ≥ 2, n ?N* ) ,∴ a2 ? ?a1 ? 4 ? 1 ? ?6 ,a3 ? ?a2 ? 6 ? 1 ? 1 . ⑵∵
an ? n (?an ?1 ? 2n ? 1) ? n ?an ?1 ? n ? 1 ? ? ? ?1 ,∴数列 {an ? n} 是首项为 a1 ? 1 ? 4 , an ?1 ? (n ? 1) an ?1 ? n ? 1 an ?1 ? n ? 1

n 公 比 为 ?1 的 等 比 数列 . ∴ an ? n ? 4 ? (?1)n?1 , 即 an ? 4 ? (? 1) ?1 ? n , ∴ {an } 的 通 项公 式为

an ? 4 ? (?1)n?1 ? n (n?N* ) .

⑶∵ {an } 的通项公式为 an ? 4 ? (?1)n?1 ? n (n?N* ) ,所以,
Sn ? ? ak ? ? [4 ? (?1) k ?1 ? k ] ? ? [4 ? (?1) k ?1 ] ? ? k
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 n n n n

? 4?

1 ? (?1) n(n ? 1) 1 n2 ? n ? 4 ? ? 2 ?1 ? (?1) n ? ? (n2 ? n) ? ? ? 2(?1)n . ? ? 2 1 ? (?1) 2 2
n

75. 【2010· 云南省玉溪一中、 楚雄一中、 昆三中五月联考】 在等比数列 {an } 中,an ? 0(n ? N*) , 公比 q ? (0,1) ,且 a3 ? a5 ? 5 ,又 a3 与 a5 的等比中项为 2 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 b n ? 5 ? log2 an ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求数列 {S n } 的通项公式;

1 1 1 ,求 Tn . ? ??? S1 S 2 Sn 解: (1) an ? 0,? a3 ? a5 ? 5 ,又 a3 与 a5 的等比中项为 2 ,? a3 a5 ? 4 , 而 1 1 q ? (0,1) , ? a3 ? a5 ,? a3 ? 4, a5 ? 1 , ? q ? , a1 ? 16 , ? a n ? 16 ? ( ) n ?1 ? 2 5? n 2 2
(3)设 Tn ? ; (2) bn ? 5 ? log2 an ? 5 ? (5 ? n) ? n ,? bn ?1 ? bn ? 1 ,?{bn } 是以 b1 ? 1 为首项,1 为公

n(n ? 1) ; 2 2 (3)由(2)知 1 ? ? 2( 1 ? 1 ) S n n(n ? 1) n n ?1
差的等差数列? Sn ?

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] S1 S2 Sn 2 2 3 n n ?1 1 2n ? 2(1 ? )? ; n ?1 n ?1

2 76.【2010· 石家庄市教学质量检测(二) 】已知数列 {an } 满足 S n ? S n?1 ? tan (t>0,n≥2) ,且

a1 ? 0 ,n≥2 时, an >0.其中 S n 是数列 an 的前 n 项和.
(I)求数列 {an } 的通项公式; (III)若对于 n≥2,n∈N *,不等式

1 1 1 ? ??? ? 2 恒成立,求 t 的取值 a 2 a3 a3 a 4 a n a n ?1

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范围.
2 ? ?S n ? S n ?1 ? ta n ; (n ? 2) 解: I) ( 依题意, ? 2 ?S n ?1 ? S n ? 2 ? ta n ?1 . ?

(1) ( 2)

2 , (1) (2) an ? an?1 ? t an ? an?1 ) - 得 ( 2

1 (n≥3) ,由已知 an ? an?1 ? 0 ,故 an ? an?1 = t (n≥3) ,



a1 ? 0



1 2 2 即数列 {an } 从第二项开始 S 2 ? S1 ? ta2 ,得 a2 ? ta2 , ? a 2 ? 0(舍)或a 2 ? . , t 1 1 是首项为 ,公差为 t 的等差数列. t n ?1 1?1 n ?1 (n ? 2) ,又当 n ? 1 时, a1 ? ? 0. ,所以 a n ? (n ? N * ). 。 所以 an ? t t t
( II ) 设

Tn ?

1 1 1 ? ??? a 2 a3 a3 a 4 a n a n?1
要 使

?

t2 t2 t2 t2 1 ? ? ??? ? t 2 (1 ? ) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 (n ? 1) ? n n
只要 Tn ? t (1 ?
2

Tn ? 2 ,对于 n ? 2, n ? N * 恒成立,
0?t ? 2

1 ) ? t 2 ? 2 成立, 所 n



77. 【2010· 银川一中二模】在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N .
*

(1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,求 S n?1 ? 4S n 的最大值。 解: (1)由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ?1) ? 4( an ? n) , n ? N .又 a1 ? 1 ? 1 ,所
*

以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列. (2) (Ⅰ) 由 可知 an ? n ? 4n?1 , 于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

Sn ?1 ? 4Sn ?
最大 0.

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 1 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) 2 ? ? 4? ? ? = ? 2 (3n ? n ? 4) , 故 n=1, 3 2 2 ? ? 3

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78. 【2010· 湖南师大附中第二次月考试卷】设数列 ?an ? 的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,
2 已知对任意 n ? N * , S n 是 an 和 an 的等差中项.

(Ⅰ)证明数列 ?an ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 2; S1 S 2 Sn
若存在 m ∈M, 使对满足 n ? m ? k ? 10 } , 50

k (Ⅲ) 设集合 M ? {m m ? 2k , ? Z , 10 且 00
的一切正整数 n ,不等式 S n ? 1005 ?

2 an 恒成立,求这样的正整数 m 共有多少个? 2 2 2 解: (Ⅰ)由已知, 2S n ? an ? an ,且 an ? 0 .,当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 。

2 2 2 当 n ? 2 时 , 有 2S n?1 ? an?1 ? an?1 . 于 是 2S n ? 2S n?1 ? an ? an?1 ? an ? an?1 , 即 2 2 2 2 . 于 是 , 即 2an ? an ? an?1 ? an ? an?1 an ? an?1 ? an ? an?1 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? an ? an?1 。因为 an ? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 1(n ? 2) .故数列 ?an ?是首项为1 ,公差为1 的等差数列,且 an ? n . 2 1 1 ? 2( ? ) .,所以 (Ⅱ)因为 an ? n ,则 S n ? n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] ? 2(1 ? ) ? 2; ? ??? ? 2( [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 S1 S 2 Sn

(Ⅲ)由 S n ? 1005 ?

2 an n n(n ? 1) n2 ? 1005 ? ,得 ,即 ? 1005 ,所以 n ? 2010 . ,由题 2 2 2 2

2002 , 2008 , 2010 ,2012 , 2998 } , M 设, ? { 2000, …, …, 因为 m ∈M, 所以 m ? 2010 ,
2012 ,…, 2998 均满足条件,且这些数组成首项为 2010 ,公差为 2 的等差数列.设这个等差
数列共有 k 项, 2010? 2(k ? 1) ? 2998, 则 解得 k ? 495 . 故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有 495 个。
2 79. 2010 青岛市二摸】 【 已知函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 的导函数 f ?( x) ? ?2 x ? 7 ,数列 ?an ?

的前 n 项和为 S n ,点 Pn (n, S n )(n ? N? ) 均在函数 y ? f (x) 的图象上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式及 Sn 的最大值; (Ⅱ)令 bn ?

2an ,其中 n ? N ? ,求 {nbn } 的前 n 项和.

2 解:(Ⅰ)? f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) ,? f ?( x) ? 2ax ? b ,由 f ?( x) ? ?2 x ? 7 得: a ? ?1, b ? 7 ,
2 所以 f ( x) ? ? x ? 7 x,又因为点 Pn (n, S n )(n ? N? ) 均在函数 y ? f (x) 的图象上,所以有

Sn ? ?n2 ? 7n , 当 n ? 1 时 , a1 ? S1 ? 6 , 当 n ? 2 时 , an ? Sn ? Sn?1 ? ?2n ? 8 , ?an ? ?2n ? 8(n ? N? ) -,令 an ? ?2n ? 8 ? 0 得 n ? 4 ,? 当 n ? 3 或 n ? 4 时, Sn 取得最大值

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12 ,综上, an ? ?2n ? 8(n ? N? ) ,当 n ? 3 或 n ? 4 时, Sn 取得最大值 12 ;
(Ⅱ)由题意得 b1 ?

26 ? 8, bn ? 2?2 n ?8 ? 2? n ? 4 ,所以

bn ?1 1 ? ,即数列 ?bn ? 是首项为 8 ,公比 bn 2



1 的等比数列,故 {nbn } 的前 n 项和 Tn ? 1? 23 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2?n?4 , ① 2

1 Tn ? 1? 22 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2? n ? 4 ? n ? 2? n ?3 ② 2 1 Tn ? 23 ? 所 以 ① ② 得 : ? 2

?? ? 22

? n?

? n? 2

? n? 4

, 2

3

1 16[1 ? ( )n ] 2 ? n ? 24?n ? 32 ? (2 ? n)24?n ?Tn ? 1 1? 2 。
2 2 80. 【2010· 河北省石家庄市二模】各项都为正数的数列 {an } ,满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ? ? ? ? 2n ? 1 对一切 n ? N ? 恒成立. a1 a2 an
2 2

2 解: (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? 2 ,∴ {an } 为首项为 1,公差为 2 的等差数列, 2 ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,又 an ? 0 ,则 an ?

2n ? 1.

(Ⅱ)只需证: 1 ?

1 3

???

1 2n ? 1

? 2n ? 1 .

① 当 n =1 时,左边=1,右边=1,所以命题成立. 当 n =2 时,左边<右边,所以命题成立 ②假设 n =k 时命题成立,即 1 ?

1 3

??? 1 2k ? 1

1 2k ? 1 ? 1

? 2k ? 1 ,

当 n=k+1 时,左边= 1 ?

1 3
.

???

2k ? 1

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