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河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学理试题

时间:2014-08-23


中原名校联考数学(理)试题(三)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z ? cos A.-1

2? 2? 3 ? i sin (i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为 3 3
B.0 C.i D.l

2.已知集合 A ?

{x | x ? 2n , n ? N *}, B ? {x | x ? 2n, n ? N *},则下列不正确的是 A. A ? B 3.若实数 a ? A.x=0 B. A ? B ? A C. B ? (?Z A) ? ? D. A ? B ? B

?

e

1

1 dx .则函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 的图像的一条对称轴方程为 x 3? ? 5? B. x ? ? C. ? D. x ? ? 4 4 4

4.甲乙丙 3 位同学选修课程,从 4 门课程中选。甲选修 2 门,乙丙各选修 3 门,则不同的 选修方案共有 A.36 种 B.48 种 C.96 种 D.1 92 种 5.已知不共线向量 a, b, a ? 2, b ? 3, a.(b ? a) ? 1, 则 b ? a A. 3
2

B. 2 2
2

C. 7

D. 23
*

(n) ? 6.若 f (n) ? n ?1 ? n, g (n) ? n ? n ?1, ?
小关系 A. f (n) ? g (n) ? ? (n) C. g (n) ? ? (n) ? f (n)

1 , n ?N 2n

,则 f (n), g(n), ?( n) 的大

B. f (n) ? ? (n) ? g (n) D. g (n) ? f (n) ? ? (n) )

7. 从一个正方体中截去部分几何体, 得到的几何体三视图如下, 则此几何体的体积是 ( A.64

122 3 188 C. 3 47 D. 6
B. 8.执行如图所示的程序框图,若输出 a= 341,判断框内应填写( A.k<4? B.k<5? C.k<6? D.k<7? )

?x ? 0 ? 9.若 A 为不等式组 ? y ? 0 所示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化 ?y ? x ? 2 ?

到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域面积为( A.2 B.1 C.



3 4

D.

7 4
) D.4

10.已知过抛物线 y2 =2px(p>0)的焦点 F 的直线 x-my+m=0 与抛物线交于 A,B 两点,且 △OAB(O 为坐标原点)的面积为 2 2 ,则 m6+ m4 的值为( A.1 B. 2 C.2

11. 平行四边形 ABCD 中,AB ·BD =0, 沿 BD 折成直二面角 A 一 BD-C, 且 4AB2 +2BD2 =1, 则三棱锥 A-BCD 的外接球的表面积为( A. ) C.

? 2

B.

? 4

? 48

D.

2 ? 24

12.已知 R 上的函数 y=f(x) ,其周期为 2,且 x∈(-1,1]时 f(x)=1+x2,函数 g(x)

?1 ? sin ? x( x ? 0) ? =? 1 , 则函数 h (x) =f (x) -g (x) 在区间[-5,5]上的零点的个数为 ( 1 ? , ( x ? 0) ? ? x
A.11 B.10 C.9 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ( x ? ) 的展开式中常数项的值是
4 10



D.8

1 4

(数字作答) ;

14 . 已 知 f ( x) ? x3 ? f '( ) x ? x, f ( x) 的 图 像 在 点 ( , f ( )) 处 的 切 线 斜 率
2

2 3

2 3

2 3


2


2 2

15.△ABC 中, sin A ? sin B ? 2sin C ,则∠C 最大值为_



16.下列若干命题中,正确命题的序号是 。 ①“a=3”是直线 ax+2y+2a=0 和直线 3x+(a 一 l)y 一 a+7 =0 平行的充分不必要条件; ②△ABC 中,若 acosA=bcos B,则该三角形形状为等腰三角形; ③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线; ④对于命题 P : ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 .
2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、或演算步骤) 17. (12 分) 已知等差数列 {an } 中, 首项 a1=1, 公差 d 为整数, 且满足 a1 ? 3 ? a3 , a2 ? 5 ? a4 , 数列 {bn } 满足 bn ?

1 前 {bn } 项和为 Sn . an .an ?1

(1)求数列 {an } 的通项公式 an; (2)若 S2 为 Sl, Sm (m ? N * ) 的等比中项,求正整数 m 的值.

18. (12 分)为了保养汽车,维护汽车性能,汽车保养一般都在购车的 4S 店进行,某地大 众汽车 4S 店售后服务部设有一个服务窗口专门接待保养预约。假设车主预约保养登记 所需的时间互相独立, 且都是整数分钟, 对以往车主预约登记所需的时间统计结果如下:
登记所需时间(分) 频率 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

从第—个车主开始预约登记时计时(用频率估计概率) , (l)估计第三个车主恰好等待 4 分钟开始登记的概率: (2)X 表示至第 2 分钟末已登记完的车主人数,求 X 的分布列及数学期望.

19. (12 分)如图所示,四面体 ABCD 中,AB⊥BD、AC⊥CD 且 AD =3.BD=CD=2. (1)求证:AD⊥BC; (2)求二面角 B—AC—D 的余弦值.

x2 y 2 20. (12 分) 若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1, F2, 椭圆的离心率为 2 : a b
2. (1) 过点 C (-1,0) 且以向量 a ? (1, k )(k ? 0) 为方向向量的直线 l 交椭圆于不同两点 A、 B,若 AC ? 2CB ,则当△OAB 的面积最大时,求椭圆的方程。 (2)设 M,N 为椭圆上的两个动点, OM ? ON ,过原点 O 作直线 MN 的垂线 OD, 垂足为 D,求点 D 的轨迹方程.

21. (12 分)已知函数 f(x)=1n(2ax+1)+

x3 2 -x -2ax(a∈R) . 3

(1)若 y=f(x)在[4,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围; (2)当 a= ?

1 (1 ? x)3 b ? 有实根,求实数 b 的最大值. 时,方程 f(1-x)= , 2 3 x

【选考题】 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,△ABC 内接于⊙O,AB =AC,直线 MN 切⊙O 于点 C,弦 BD∥MN,AC 与 BD 相 交于点 E. (1)求证:△ABE≌△ACD; (2)若 AB =6,BC =4,求 AE.

23. (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (t 为参数) 。在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且 ? ?y ? 3 ? 2 t ? ? 2
以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 3 sin ? 。 (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(2, 3 ) ,求|PA|+|PB|. 24. (10 分)选修 4-5,不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+l|,g(x)=2|x|+a. (1)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x) ; (2)若存在 x∈R,使得 f(x)≥g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

参考答案三
一、选择题答案
题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 A 6 B 7 C 8 C 9 D 10 C 11 A 12 C

二、 13.

45
0

14.

-1

15. 60 三、解答题 17.解:

16. (1) (3) (4)

?a ? 3 ? a1 ? 2d , 3 5 (1)由题意,得 ? 1 解得 < d < . 2 2 ?a1 ? d ? 5 ? a1 ? 3d ,

又 d∈Z,∴d = 2.∴an=1+(n-1) ? 2=2n-1. ???????????????? 4 分 1 1 1 1 1 ? (2)∵ bn ? ? ( ? ), an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴ Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( . 10 分 ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
∵ S1 ?

1 2 m , S2 ? , Sm ? ,S2 为 S1,Sm(m∈ N? )的等比中项, 3 2m ? 1 5
2

m ?2? 1 2 ∴ S2 , ? Sm S1 ,即 ? ? ? ? ? 5 ? 3 2m ? 1

解得 m=12. ???????????????? 12 分

18.解:设 Y 表示车主登记所需的时间,用频率估计概率,Y 的分布如下: Y 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.3 0.1

5 0.1

(1)A 表示事件“第三个车主恰好等待 4 分钟开始登记”,则事件 A 对应三种情形: (1)第一个车主登记所需时间为 1 分钟,且第二个车主登记所需的时间为 3 分钟; (2)第一个车主登记所需的时间为 3 分钟,且第二个车主登记所需的时间为 1 分钟; (3)第一个和第二个车主登记所需的时间均为 2 分钟。 所以 P( A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2)

? 0.1? 0.3 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22 ???????????????? 6 分
(2)X 所有可能的取值为:0,1,2.X=0 对应第一个车主登记所需的时间超过 2 分钟,所 以 P( X ? 0) ? P(Y ? 2) ? 0.5 ; X=1 对应第一个车主登记所需的时间为 1 分钟且 第二个车主登记所需时间超过 1 分钟,或第一个车主登记所需的时间为 2 分钟, 所以 P( X ? 1) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) 0.1 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.49 ; X=2 对应两个 车主登记所需的时间均为 1 分钟,所以 P( X ? 2) ? P(Y ? 1) P(Y ? 1) ? 0.1? 0.1 ? 0.01;

???????????????? 10 分 所以 X 的分布列为
X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

EX ? 0 ? 0.5 ? 1 ? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51 . ???????????????? 12 分
19. (1)证明 作 AH⊥平面 BCD 于 H,连接 BH、CH、DH, 易知四边形 BHCD 是正方形,且 AH=1,以 D 为原 点,以 DB 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴, 以垂直于 DB, DC 的直线为 z 轴,建立空间直角坐 标系, 如图所示, 则 B(2,0,0), C(0,2,0), D ? 0,0,0? A(2,2,1),

???????????????? ???????????????? ?2分?

→ 所以BC= ? ?2, 2,0 ? , DC = ? 0,2,0? AC ? ? ?2,0, ?1? , DA ? ? 2, 2,1? ???????????? 4 分 → → 因此BC· DA= ?4 ? 4 ? 0 ,所以 AD⊥BC. ???????????????? ???????????????? 6 分 → → (2) 解:设平面 ABC 的法向量为 n1=(x,y,z), 则由 n1⊥BC知:n1· BC= ?2 x ? 2 y ? 0 → → 同理由 n1⊥AC知:n1· AC= ?2 x ? z ? 0 , 可取 n1= ?1,1 , ? 2? , 同理,可求得平面 ACD 的一个法向量为 n2 ? ?1,0, 2? ???????????????? 10 分

1? 4 n1· n2 ∴cos〈n1,n2〉= = ? |n1||n2| 6? 5
即二面角 B—AC—D 的余弦值为 20.解: (1)

30 6

30 ???????????????? ???????????????? 12 分 6

e?

2 1 ? b2 ? a 2 ,设椭圆的方程为 x2 ? 2 y 2 ? a2 2 2

依题意,直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1)

由?

? y ? k ( x ? 1) ,(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? a 2 ? 0 2 2 2 ?x ? 2 y ? a
4k 2 1 ? 2k 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ? x1 ? x2 ? ?

AC ? 2CB ? x1 ? 2x2 ? ?3
? 3 ? 2k 2 x ? ? ? 1 1 ? 2k 2 ?? 2 ? x ? ?3 ? 2k ? 2 1 ? 2k 2 ?

…………………………4 分

?S

ABC

?

3k 1 k 3 3 3 2 y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? (k ? 0) ? ? ? 2 1 2 2 2 2 1 ? 2k 4 2k ? k

当且仅当 k ? ?

2 时,S 2
2

ABC

取最大值

3 2 4
x2 y 2 ? ? 1 ……………………6 分 5 5 2

? 2) ? a ? 5 ? 椭圆方程为 此时 A(1,

(2)设点 D 的坐标为 ( x0,y0 ) . 当 y0 ? 0 时,由 OD ? MN 知,直线 MN 的斜率为 ?

x0 ,所以直线 MN 的方程 y0

为y??

x0 x x2 ( x ? x0 ) ? y0 ,或 y ? kx ? m ,其中 k ? ? 0 , m ? y0 ? 0 . y0 y0 y0
? y ? kx ? m,
2 2 2 ?x ? 2 y ? a .

点 M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) 的坐标满足方程组 ?

得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? a2 ,整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? a2 ? 0 , 于是 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? a 2 x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
? k2 · 2m 2 ? a 2 ?4km m2 ? a 2 k 2 2 ? km · ? m ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m2 ? a 2 ? a 2 k 2 ?0, 由 OM ? ON 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .? 1 ? 2k 2
?3m2 ? a2 (1 ? k 2 ) 将 k ? ?
x0 x2 1 2 2 整理得 x0 …10 分 ,m ? y0 ? 0 代入上式, ? y0 ? a2 . 3 y0 y0

当 y0 ? 0 时,直线 MN 的方程为 x ? x0 , M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) 的坐标满足方程 组
2 ? x ? x0, a 2 ? x0 所以 x1 ? x2 ? x0 , y1, . ? 2 2 ?? 2 2 2 ?x ? 2 y ? a .
2 a 2 ? x0 ? 0, 2

由 OM ? ON 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x0 ?
2

解得 x0 ?
2

1 2 a . 3

………………11 分
2

这时,点 D 的坐标仍满足 x0 ? y0 ?
2

综上,点 D 的轨迹方程为

1 2 a . 3 1 x 2 ? y 2 ? a 2 ………………12 分 3

21.解: (1) 因为函数 f ( x ) 在 ?4, ??? 上为增函数, 所以 f 在 ?4, ??? 上恒成立。
' ①当 a ? 0 时, f ? x? ? x( x ? 2) ? 0 在 ?4, ??? 上恒成立,所以 f ( x ) 在 ?4, ??? 上为
'

? x? ?

2 2 ? x? ? 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? ? 4a ? 2 ??

2ax ? 1

?0

增 函数,故 a ? 0 符合题意。 ②当 a ? 0 时,由函数 f ( x ) 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 在 ?4, ??? 上恒成立,
2 2 故只能 a ? 0 ,所以 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? 4a ? 2 ? 0 在 ?4, ??? 上恒成立。 .. ( 4

?

?

分)
2 2 令函数 g ? x ? ? 2ax ? ?1 ? 4a ? x ? 4a ? 2 ,其对称轴为 x ? 1 ?

?

?

1 ,因为 a ? 0 , 4a

所以 1?

1 ? 1 , 要 使 g ? x ? ? 0 在 ?4, ??? 上 恒 成 立 , 只 要 g ? 4? ? 0 即 可 , 即 4a

,所以 g ? 4? ? ?4a2 ?16a ? 2 ? 0

4?3 2 4?3 2 ?a? ,因为 a ? 0 ,所以 2 2

0?a?

4?3 2 2
? 4?3 2? ? 2 ? ?
3

综上所述, a 的取值范围为 ?0,

????????????????

(6 分)

1 ?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? 1 ? x 2 ? 1 ? x ? b 。问题转 (2)当 a ? ? ,方程 f (1 ? x) ? ? ? ? ? 2 x 3 x
2 3 化为 b ? x ln x ? x ?1 ? x ? ? x ?1 ? x ? ? x ln x ? x ? x 在 ? 0, ??? 上有解,即求函数 2

y ? x ln x ? x2 ? x3 的值域。令函数 h ? x ? ? ln x ? x ? x2 ( x ? 0)
则 h ? x? ?
'

(10 分)

? 2 x ? 1??1 ? x ? ,所以当 0 ? x ? 1 时, ' 1 ? 1? 2x ? h ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? x x

在 ? 0,1? 上为增函数,当 x ? 1 时, h' ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为减函数,因此

h ? x ? ? h ?1? ? 0 。而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h ? x ? ? 0 ,因此当 x ? 1 时,b 取到最大值 0 。
????????????????
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:(Ⅰ)在 ΔABE 和 ΔACD 中, ∵ AB ? AC ∠ABE=∠ACD………………2 分 又,∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直线是圆的切线,∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD ∴Δ ABE ? Δ ACD (角、边、角) (Ⅱ)∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC ∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4 又 ∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB ∴ BC=BE=4 设 AE= x ,易证 ΔABE∽ΔDEC 12 分

???????????????? 5 分

???????????????? 8 分

DE DC 4 ? ? x AB 6 2 ∴ 4 ? x ? x(6 ? x ) 3


? DE ?

2 x又 3

AE ? EC ? BE ? ED

EC ? 6 ? x

x?

10 3

???????????????? 10 分
???????????????? 4 分

23. (Ⅰ)由 ? ? 2 3sin ? 得 x2 ? ( y ? 3)2 ? 3 (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (2 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 3 , 2 2

2 即 t ? 2 2t ? 1 ? 0 由于 ? ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根,

所以 ? 1

? ?t ? t 2 ? 2 2 故由上式及 t 的几何意义得: t ? t ? 1 ? ? 1 2

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 2 2 。 24.解: x ? 1 ? 2 x ? x ? 2 x ? 1 ? 4 x ? ?
2 2

???????????????? 10 分
1 ? x ?1 3

所以解集为 ? ? ,1?

? 1 ? ? 3 ?

???????????????? 5 分

(1)即 ?x ? R ,使得 x ?1 ? 2 x ? a 成立,令 h( x) ? x ?1 ? 2 x ,则 a ? h( x)max

? 1 ? x, x ? 0 ? h( x ) ? ?3 x ? 1, ?1 ? x ? 0 , ? x ? 1, x ? ?1 ?
所以 a ? ? ??,1? 。

???????????????? 10 分

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