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竞赛专题

时间:2014-03-09


竞赛专题 圆锥曲线(附答案)
(2006 浙江集训)1.过椭圆 C:
x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作椭圆 C 的右准线的垂 3 2

线 PH(H 为垂足) ,延长 PH 到点 Q,使|HQ|=λ |PH|(λ ≥1)。当点 P 在椭圆 C 上 运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围为( C ) A. (0,
3 ] 3

B. (

3 3 , ] 3 2

C. [

3 ,1) 3

D. (

3 ,1) 2

解:设 P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为 x=3,所以 H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH,

3(1 ? ? ) ? x ? HP ?1 ? x1 ? 所以 ,所以由定比分点公式,可得: ? ,代入椭圆方程,得 Q ? ? PQ 1 ? ? ? ? y1 ? y
点轨迹为 C。

3?2 ? 2 2 3 [ x ? 3(1 ? ? )] 2 y 2 ? 1 ? 2 ?[ ,1) 。故选 ,所以离心率 e = ? ? 1 2 3 2 3? 3? 2 3?

(2007 浙江 B)2.已知椭圆
4 3 的距离为( 3

x2 ? y 2 ? 1 上一点 A 到左焦点的距离为 3 ,则点A到 4

直线 x ?

C


2(4 3 ? 3) 3 4 3 ?3 3

A. 2

B.

2(2 3 ? 3) 3

C.

D.

x2 y2 (2009 浙江)3. 已知椭圆 ? ? 1 上一点 P 到点(4, 0)距离等于 4,则 P 点 25 9

到直线 x ? ? A.4

25 的距离为( 4

C

) 。 D.
5 4

B. 6

C.

15 2

(2009 全国)4.椭圆
OP ? OQ 的最小值为
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上任意两点 P , Q ,若 OP ? OQ ,则乘积 a 2 b2



2a b a 2 ? b2 【解析】 设 P ? OP cos? ,OP sin ? ? ,

【答案】

? π? π ?? ? ? Q ? OQ cos ? ? ? ? ,OQ sin ? ? ? ? ? . 2 2 ?? ? ? ? ?

由 P , Q 在椭圆上,有
1 OP
2

?

cos 2 ? sin 2 ? ? 2 a2 b

① ②

1 OQ
2

?

sin 2 ? cos 2 ? ? a2 b2

①+② 得 1 1 1 1 ? ? 2? 2. 2 2 a b OP OQ

于是当 OP ? OQ ?

2a 2b 2 2a 2b2 时, 达到最小值 . OP OQ a 2 ? b2 a 2 ? b2

三. 解答题
y (2005 浙江预)5.(20 分)设双曲线 x ? y ? 1 的左、 P
2 2

右焦点分别为 F1 ,F2 , 若 ?PF1 F2 的顶点 P 在第一象 限的双曲线上移动, 求 ?PF1 F2 的内切圆的圆心轨迹 以及该内切圆在边 PF2 上的切点轨迹。 BO

K H A G x

【解】 如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0),G 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 H 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF2 上的切点, K 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF1 上 F1 F2 上的切点, 的切点。则有

GF1 ? GF2 ? KF1 ? HF2 ? ( KF1 ? KP ) ? ( HF2 ? HP ) ? PF1 ? PF2
--------------------------------5分

由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点。 而 F2 G ? F2 A ?

2 ? 1 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,所以 ?PF1F2 的内切

圆在边 PF2 上的切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心, 2 ? 1 为半径的圆弧。------- 10 分 因为 P( x, y ) 是在 x ? y ? 1 第一象限的曲线上移动,当 PF2 沿双曲线趋于无穷时,
2 2

与 x 轴正向的交角 ? 的正切的极限是

x ? ??

lim tan? ? lim

x2 ?1 x? 2

x ? ??

?1

即 ? ?

?
4

。 故点 H 的轨迹方 P ,

程为 (极坐标形式)

? x ? 2 ? ( 2 ? 1) cos? ? y ? ( 2 ? 1) sin ? ?
分 也可以用直角坐标形式。



?
4

?? ?? )

--------------------------------- 15

由于 G 与 A(1, 0)重合,是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直线段,方程为 。 x ? 1 ( 0 ? y ? 1) -------------------------------- 20 分

1 1 11 1 1 (2007 浙江 A)6.已知抛物线 y ? ?2 x 2 ? x ? 和点 A( , ) 。过点 F ( , ? ) 任作 8 4 8 4 8 直线,交抛物线于 B,C 两点.

(1)求△ABC 的重心轨迹方程,并表示成 y ? f ( x) 形式; (2)若数列 ? xk ? , 0 ? x1 ?
1 4 1 8
n 3 1 ,满足 xk ?1 ? f ( xk ) 。试证: ? xkk?1 ? 。 5 2 k ?1

解: (1)设过 F ( , ? ) 的直线方程为 y ? 立方程组,

1 1 ? k ( x ? ) 。又设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,联 8 4

1 1 ? y ? ? k(x ? ) ? ? 8 4 ? ? y ? ?2 x 2 ? x ? 1 ? 8 ?

消去 y ,得 2 x ? (k ? 1) x ?
2

k ? 0 。从而有, 4

x1 ? x2 ? ?

1 1 k2 1 k ?1 ? 。 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? ) ? ? ? 2 4 2 4 2

设△ABC 的重心坐标为 ( x, y ) ,则

1 ? x1 ? x2 ? ? 4 x? ? ? 3 ? 11 ? y1 ? y2 ? ?y ? 8 ? 3 ?

3 ? 2k ? x ? ? ? 12 ?? 2 ?y ? ? k ? 3 ? 6 8 ?

消去 k,即得

y ? ?6 x 2 ? 3x 。

(2)因为 0 ? x1 ?

1 2 , x2 ? f ( x1 ) ? ?6 x1 ? 3x1 ? 3 x1 (1 ? 2 x1 ) ,所以 2
3 ? 2 x ? (1 ? 2 x1 ) ? 3 0 ? x2 ? 3x1 (1 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? ? , 2? 2 ? 8
2

上式右边等号成立当且仅当 x1 ?

1 3 。假设 0 ? xk ? ,则 4 8
2

3 ? 2 x ? (1 ? 2 xk ) ? 3 0 ? xk ?1 ? 3 xk (1 ? 2 xk ) ? ? k ? ? , 2? 2 ? 8
上式右边等号成立当且仅当 xk ?

1 3 。由此得到 0 ? xk ? ( k ? 2,3,? ) 。从而有 4 8
k n 3 ? ?3? ? 3 ?3? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 。 5? k ?1 ? 8 ? ? 5 ? ?8? ? n

0??x
k ?1

n

k k ?1

(2008 浙江)7.已知椭圆 C: 为

x2 y 2 4 ,其离心率为 ,两准线之间的距离 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b 5

25 。 (1)求 a, b 之值; (2)设点 A 坐标为(6, 0),B 为椭圆 C 上的动点,以 A 为直角 2 顶点,作等腰直角△ABP(字母 A,B,P 按顺时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方程。 解: (1)a=5,b=3

(2) 解法一:设 B 点坐标为 ( s, t ) ,P 点坐标为 ( x, y ) 。于是有
??? ? ??? ? AB ? (s ? 6,t), AP ? ( x ? 6,y )。

??? ? ??? ? 因为 AB ? AP ,所以有 (s ? 6,t) ( x ? 6,y) ? (s ? 6)( x ? 6) ? ty ? 0 。
又因为 ABP 为等腰直角三角形,所以有 AB=AP,即
2 2 (s ? 6) ? t 2 ? (x ? 6) ? y2 。

(A1 )

(A2 )

由(A1)推出 s ? 6 ? ?

ty t 2 y2 ? ( s ? 6) 2 ? ,代入(A2) ,得 x?6 ( x ? 6) 2
2 t2 ? (x ? 6)

(s ? 6),即 s ? 6 ? y (不合题意,舍去)或 s ? 6 ? y 。 从而有 y ?
2 2

代入椭圆方程,即得动点 P 的轨迹方程
2 2 (x ? 6) (y ? 6) ? ? 1。 9 25

解法二: 设 B( x1 , y1 ) , P( x, y ), AB ? r ,则以 A 为圆心,r 为半径的圆的参数方程 为
? x ? 6 ? r cos ? 。 ? ? y ? r sin ?

设 AB 与 x 轴正方向夹角为 ? ,B 点的参数表示为
? x1 ? 6 ? r cos ? , ? ? y1 ? r sin ?

P 点的参数表示为
? x ? 6 ? r cos(900 ? ? ) ? x ? 6 ? r sin ? ? ,即 ? . ? 0 ? y ? r sin(90 ? ? ) ? y ? ? r cos ? ?

从上面两式,得到
? x1 ? 6 ? y 。 ? ? y1 ? x ? 6

又由于 B 点在椭圆上,可得
( x ? 6)2 ( y ? 6)2 ? ? 1。 9 25
此即为 P 点的轨迹方程。

(2009 浙江)8.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上两个动点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,O 为坐 标原点, OA ? OB 。 (1) 求线段 AB 中点的轨迹方程 C; (2)若在 C 上的点 到直线 x ? 2 y ? 2 5 ? p ? 0 的距离为 d,求 d 的最小值。
解: 设 y12 ? 2 px1 ,y22 ? 2 px2 , 则 x1 x 2 ? 从而有 y1 y2 ?

1 2 ( 又因为 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 。 1y 2 y ) 。 4 p2
(5 分)

1 ( y1 y2 )2 ? 0 ,即有 y1 y2 ? ?4 p 2 。 4 p2

(1)设 AB 的中点坐标为 ( x, y ) ,则 x ?

x1 ? x2 y ? y2 。于是有 ,y? 1 2 2 1 1 2 1 1 2 x ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )? [( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ] ? [4 y 2 ? 8 p 2 ] , 2 4p 4p 4p

即 y 2 ? px ? 2 p 2 为该中点的轨迹方程。
1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y ? 2 5 ? p p 5

(11 分)

(2) d ?

x ? 2y ? 2 5 ? p 5

?

?

( y ? p)2 ? 2 5 p 5p

?2。

当 y ? p 时, x ? 3 p , dmin ? 2 。

(17 分)

(2010 浙江)9.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , Rt ?ABC 以 A (0,1)为直角顶点, 2 a

27 ,求 a 的值。 8 1 解: 不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ? x ? 1 。 k

边 AB、BC 与椭圆交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为

?y ? kx?1 ?2a 2 k ? 2 2 2 2 由 ? x2 得: ( 1 ? a k ) x ? 2 a kx ? 0 ? x ? , B 2 2 2 1 ? a k ? y ? 1 ? 2 ?a

1 ? y ? ? x ?1 ? 2a 2 k ? k 由? 2 得: (a 2 ? k 2 ) x 2 ? 2a 2 kx ? 0 ? xC ? 2 , a ? k2 ? x ? y2 ? 1 ? ? a2
从而有

AB ? 1 ? k 2

2a 2 k 1 2a 2 k , AC ? 1 ? , 1 ? a2k 2 k 2 a2 ? k 2

--------5 分

1 k? 2 1 k (1 ? k ) k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 2a 4 。 ? 2a 4 2 2 2 2 1 2 (1 ? a k )(a ? k ) 2 2 4 a (k ? 2 ) ? a ? 1 k
令t ? k ?

1 ? 2 ,有 k

S

?ABC ?

2a 4 t ? a 2t 2 ? (a 2 ? 1)2

2a 4 , (a 2 ? 1) 2 2 a t? t

--------- 10 分

因为 a t ?
2

(a 2 ? 1) 2 a2 ?1 ? 2a(a 2 ? 1), t ? 时等号成立。 t a a2 ?1 a3 , ( S?ABC )max ? 2 , a a ?1
------------- 14 分

因此当 t=



a3 27 3 ? 297 ? ? (a ? 3)(8a 2 ? 3a ? 9) ? 0 ? a ? 3, a ? 2 a ?1 8 16
--------- 17 分

a2 ?1 3 ? 297 ? 2 ? a ? 1 ? 2,? a ? (不合题意,舍去), ? a ? 3. a 16

(2009 全国)10.(小题满分 14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭
x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 交于不同两点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是 16 12 4 12 ???? ??? ? 否存在直线 l ,使得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不



存在,请说明理由.
? y ? kx ? m ? 【解析】 由 ? x 2 y 2 消去 y 化简整理得 ?1 ? ? ?16 12

? 3 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m 2 ? 48 ? 0

设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ?
?1 ? ? 8km ? ? 4 ? 3 ? 4k 2 ?? 4m2 ? 48 ? ? 0
2

8km 3 ? 4k 2



………………………………………………4 分 y ? ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 ?1 ? ? ? 4 12

?3 ? k ? x
2

2

? 2kmx ? m2 ? 12 ? 0

设 C ? x3 ,y4 ? , D ? x4 ,y4 ? ,则 x3 ? x4 ?
? 2 ? ? ?2km ? ? 4 ? 3 ? k 2 ?? m2 ? 12 ? ? 0
2

2km 3 ? k2



………………………………………………8 分 ???? ??? ? 因为 AC ? BD? 0 ,所以 ? x4 ? x2 ? ? ? x3 ? x1? ?0 ,此时 ? y4 ? y2 ? ? ? y3 ? y1? ?0 .由
x1 ? x2 ? x3 ? x4得 8km 2km . ? ? 2 3 ? 4k 3 ? k2

4 1 .由上式解得 k ? 0 或 m ? 0 .当 k ? 0 时,由①和 ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 ②得 ?2 3 ? m ? 2 3 . 因 m 是整数, 所以 m 的值为 ?3 ,?2 ,?1 ,0 ,1 ,2 ,3 . 当

所以 2km ? 0 或 ?

m ? 0 ,由①和②得 ? 3 ? k ? 3 .因 k 是整数,所以 k ? ?1 , 0 , 1 .于是满足条 件的直线共有 9 条.………14 分


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