nbhkdz.com冰点文库

2014版高考数学一轮总复习 第7讲 二次函数与一元二次方程课件 理 新人教A版


掌握二次函数的概念、图象特征;掌握二
次函数的性质,会求二次函数在给定区间上的 最值;掌握二次函数、二次方程、二次不等式 之间的联系,提高综合解题能力.

1.函数① ___________________ 叫做二次函数, 它的定义域是R,这是二次函数的一般形式,另 外,还有顶点式:② ________________ ,其中 (h,k )是

抛物线顶点的坐标.两根式:③ _____ , 其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标.

2.二次函数的图象是一条④ ________ , 经过配方,可得y =ax +bx+c=⑤
2



顶点为⑥

,对称轴为直线⑦ _____.

其图象及主要性质如下表:

3.一元二次方程根的分布.

?1? 方程ax 2+bx+c=0(a ? 0)两根:一正一负 ? ac ? 0;
? ? ?? ? 0 ?? ? 0 ? ? b b ? ? 两正根 ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 两负根 ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0; a a ? ? c c ? ? ? x1 ? x2 ? a ? 0 ? x1 ? x2 ? a ? 0 ? ? 一零根 ? c=0.

? 2 ? 实系数二次方程ax 2+bx+c=0 ? a ? 0 ?的两根x1、x2
的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示:

【要点指南】 ①y=ax 2+bx+c(a ? 0);②y=a ( x-h) 2 +k (a ? 0); ③y=a( x-x1 )( x-x2 )(a ? 0);④抛物线; b 2 4ac-b 2 b 4ac-b 2 ⑤a( x+ ) + ;⑥(- , ); 2a 4a 2a 4a 2 2 b 4ac-b 4ac-b ⑦x=- ;⑧[ ,+?);⑨(-?, ]; 2a 4a 4a b b 11 ⑩- ; 最小值;12 - ;13 最大值; 2a 2a 14减;15 增;16 增; 减 17

1.已知二次函数 f(x)满足:?x∈R,f(x)≥f(1)=4,且 f(2) =5,则 f(x)的 表达式是( A.f(x)=-x2+2x+5 C.f(x)=-x2-2x+5 ) B.f(x)=x2-2x+5 D.f(x)=x2+2x+5

【解析】由已知可知,f(x)=a(x-1)2+4,又 f(2)=5, 所以 a+4=5,所以 a=1,所以 f(x)=x2-2x+5,故选 B.

2.函数 f(x)=2+2x-x2,x∈[0, 3]的值域是( A.(-∞,3] C.[-2,3] B.[-1,3] D.(-3,+∞)

)

【解析】因为 f(x)=-(x-1)2+3,x∈[0,3], 所以[f(x)]max=f(1)=3,[f(x)]min=f(3)=-1, 所以 f(x)的值域是[-1,3],故选 B.

3.设 abc>0, 二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可 能是( )

【解析】若 f(0)=c<0,又 abc>0, b 所以 ab<0,对称轴-2a>0; 若 f(0)=c>0,又 abc>0, b 所以 ab>0,对称轴 x=-2a<0, 故可排除 A、B、C,选 D.

4.若 x1,2 是方程 x2-2ax+a+6=0 的两根, x2+x2的 x 则 1 2 最小值是 8 .

【解析】因为 x1,x2 是方程的两根, 故 Δ=4a2-4(a+6)≥0, 所以 a≤-2 或 a≥3, x1+x2=2a, 1x2=a+6, 且 x 所以 x2+x2=(x1+x2)2-2x1x2=4a2-2a-12, 1 2 所以当 a=-2 时,x2+x2取最小值为 8. 1 2

5.当 x∈(1,2)时,x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范 围是 (-∞,-5] .

【解析】方法 1:设 f(x)=x2+mx+4,
?f?1?≤0 ?m+5≤0 则? ?? ?m≤-5. ?f?2?≤0 ?4+2m+4≤0

x2+4 4 方法 2:m<- x =-(x+x )(1<x<2). 4 因为 g(x)=x+x 在(1,2)上是递减的, 所以 4<g(x)<5,所以 m≤-5.



二次函数及它在闭区间上的值域

【例 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=0,f(1)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[m,n]上的值域是[m,n],求 m、n 的 值.

【解析】(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
? b ?- =1 ? 2a 由已知得?c=0 ? ?a+b+c=1 ? ?a=-1 ? ,解得?b=2 ? ?c=0

.

所以 f(x)=-x2+2x.

(2)f(x)=-(x-1)2+1,显然 n≤1, 所以区间[m,n]在函数的对称轴 x=1 的左边,
?f?m?=m 所以? ,即 m、n 是方程-x2+2x=x 的两根. ?f?n?=n

又 m<n,所以 m=0,n=1.

【点评】1.求二次函数的解析式,常用待定系数法,若能 恰当选择其形式,将可化繁为简. 2.条件二次问题,注意一看开口方向,二看轴的位 置,三算端点数值.若盲目分类,“前途”将很渺茫.

素材1

已知二次函数 f(x)满足 f(-1)=f(3)=2,且 f(x)的最大 值为 6,则 f(x)= -x2+2x+5 ;若 x∈[0,5],则 f(x)的 最小值是 -10 .

【解析】由 f(-1)=f(3)=2,得 y=f(x)图象对称轴为 x=1. 又[f(x)]max=6,可设 f(x)=a(x-1)2+6. 由 f(3)=2,得 a=-1,所以 f(x)=-(x-1)2+6, 当 x∈[0,5]时,[f(x)]max=f(1)=6,[f(x)]min=f(5)=-10.



二次函数的性质及二次方程根的分布
【例 2】已知函数 f(x)=x2+2mx+2m+1. (1)若方程 f(x)=0 有两根, 其中一根在区间(-1,0)

内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若函数 f(x)有两个零点均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

【解析】 (1)若方程 f(x)=0 有两根, x2+2mx+2m+1 即 =0 有两根分别在(-1,0)和(1,2)内,
?f?-1?>0 ? ?f?0?<0 则? ?f?1?<0 ?f?2?>0 ? ?2>0 ? ?2m+1<0 ?? ?4m+2<0 ?6m+5>0 ?

5 1 ?-6<m<-2,

5 1 所以 m 的范围是(-6,-2).

(2)若函数 f(x)有两个零点均在(0,1)内,则函数 y=f(x)的图 象与 x 轴的交点有两个,其横坐标在区间(0,1)内,由二次函数 图象性质,则需满足:
?Δ=4m2-4?2m+1?>0 ? ? 2m ?0<- <1 2 ? ? ?f?0?=2m+1>0 ?f?1?=4m+2>0 ? ?m<1- 2或m>1+ 2 ? ?-1<m<0 ?? ? 1 ?m>-2 ?

1 ?-2<m<1- 2, 1 所以 m 的取值范围是(-2,1- 2).

【点评】一元二次方程根的分布,即二次函数零点的分布, 关键在于作出二次函数的草图,由此列出不等式组,要注意 二次函数的对称轴与 Δ 与方程根的关系.

素材2

已知 f(x)=-3x2+(6-a)x+b. (1)若 a=1 时,f(x)<0 在 R 上恒成立,则 b 的取 值范围是 25 (-∞,-12) ;

(2)若 b=3 时,方程 f(x)=0 有一根小于 1,另一 根大于 1,则 a 的取值范围是 (-∞,6) .

【解析】(1)方法 1:因为 a=1, 则 f(x)=-3x2+5x+b<0 恒成立, 25 所以 Δ=25+12b<0,所以 b<-12. 25 故 b 的取值范围是(-∞,-12). 方法 2:f(x)=-3x2+5x+b<0 恒成立, 5 2 25 25 所以 b<3x -5x,而 3x -5x=3(x-6) -12≥-12,
2 2

25 所以 b<-12.

52 25 方法 3: f(x)=-3x +5x+b=-3(x-6) +b+12<0 恒成立,
2

25 25 所以 b+12<0,所以 b<-12. (2)若 b=3,则 f(x)=-3x2+(6-a)x+3=0 一根大于 1, 另一根小于 1,由其图象可知,f(1)>0,即 6-a>0, 所以 a<6,所以 a 的取值范围是(-∞,6).



二次函数、二次方程等综合应用

【例 3】 f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0), a+b+c=0, 设 若 f(0)· f(1)>0,求证: (1)方程 f(x)=0 有实根; b (2)-2<a<-1; 3 2 (3)设 x1,2 是方程 f(x)=0 的两实根, 3 ≤|x1-x2|<3. x 则

【解析】(1)因为 a+b+c=0,a≠0,所以 b=-a-c, 则由 f(x)=0, Δ=4b2-12ac=4(-a-c)2-12ac c2 3 2 =4(a +c -ac)=4[(a-2) +4c ]>0,
2 2

所以方程 f(x)=0 有实根.

(2)因为 f(0)=c,f(1)=3a+2b+c,又 f(0)· f(1)>0, 所以 c(3a+2b+c)>0,
?c>0 ? 所以? ?3a+2b+c>0 ? ?c<0 ? 或? ?3a+2b+c<0 ?

.

因为 a+b+c=0,所以 3a+2b+c=a-c=2a+b, a+b=-c,

?c>0 ? 所以?a-c>0 ? ?2a+b>0
?a>c>0 ? 所以? ?0<2a+b<a ?

?c<0 ? 或?a-c<0 ? ?2a+b<0



?a<c<0 ? 或? ?a<2a+b<0 ?



b 所以-2<a<-1.

(3)因为 x1,x2 是方程 f(x)=0,即 3ax2+2bx+c 2b 1 b c =0 的两根,所以 x1+x2=-3a,x1x2=3a=-3-3a, 所以|x1-x2|= 2 =3 2 =3 4b2 4b 4 9a2+3a+3

b2 b ?a? +3?a?+3 b 32 3 ?a+2? +4.

b 又因为-2<a<-1, 2 所以|x1-x2|min=3× 2 且|x1-x2|=3 3 3 4= 3 ,

2 b 32 3 2 ?a+2? +4<3 1-3+3=3,

3 2 所以 3 ≤|x1-x2|<3.

【点评】与二次函数、二次方程相关综合问题要充分利用 二次函数性质、图象特点、二次方程根与系数关系及方程与函 数之间的联系综合应用处理问题.

素材3

设关于 x 的方程 x2-mx-1=0 有两个实根 α, 且 α<β, β, 2x-m 定义函数 f(x)= 2 . x +1 (1)求 αf(α)+βf(β)的值; (2)判断 f(x)在区间(α,β)上的单调性,并加以证明; (3)若 x1,x2∈(α,β),求证:|f(x1)-f(x2)|<|α-β|.

【分析】(1)依题意,确定 α,β 与 m 的关系,代入 αf(α)+βf(β) 化简计算; (2)求 f′(x),确定 f′(x)在区间(α,β)的符号,进行判断; (3)利用(1)、(2)所得结论,转化证明.

【解析】 (1)因为 α,β 是方程 x2-mx-1=0 的两根,
?α+β=m 则? . β=-1 ?α·

2α-m 2α-α-β α-β 1 又 f(α)= 2 = 2 = = , α +1 α -αβ α?α-β? α 1 同理 f(β)=β,所以 αf(α)+βf(β)=2.

2x-m (2)因为 f(x)= 2 , x +1 2?x2+1?-?2x-m?· 2x 所以 f′(x)= ?x2+1?2 -2?x2-mx-1? -2?x-α??x-β? = = . ?x2+1?2 ?x2+1?2 当 x∈(α,β)时,f′(x)>0, 2x-m 所以 f(x)= 2 在区间(α,β)上为增函数. x +1

(3)证明:若 x1,x2∈(α,β), 由(2)可知 f(α)<f(x1)<f(β),f(α)<f(x2)<f(β), 所以 f(α)-f(β)<f(x1)-f(x2)<f(β)-f(α), 所以|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|. 1 1 又由(1)知 f(α)=α,f(β)=β,α· β=-1, 所以 f(α)=-β,f(β)=-α, 所以|f(x1)-f(x2)|<|α-β|.

备选例题

t+2 t2 已知二次函数 y=f(x)在 x= 2 处取得最小值- 4 (t≠0),且 f(1)=0. (1)求 y=f(x)的表达式; 1 (2)若函数 y=f(x)在区间[-1,2]上的最小值为-5, 求此时 t 的值和对应的 x 的值.

t+2 2 t2 【解析】(1)设 f(x)=a(x- 2 ) - 4 (a>0). t2 因为 f(1)=0,所以(a-1) 4 =0. t+2 2 t2 又 t≠0,所以 a=1,所以 f(x)=(x- 2 ) - 4 (t≠0).

t+2 2 t2 (2)因为 f(x)=(x- 2 ) - 4 (t≠0), t+2 t+2 2 当 2 <-1, t<-4 时, min=f(-1)=(-1- 2 ) 即 f(x) t2 9 - 4 =-5,所以 t=-2; t+2 1 t+2 当-1≤ 2 ≤2,即-4≤t≤-1 时,f(x)min=f( 2 ) t2 =- 4 =-5,所以 t=± 5(舍去); 2

t+2 1 1 1 t+2 2 t2 当 2 >2, t>-1 时, min=f(2)=(2- 2 ) - 4 =-5, 即 f(x) 21 所以 t=- 2 (舍去). 9 综上得,所求的 t=-2,对应的 x=-1.

1.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是 一个有机的整体,要深刻理解他们之间的关系, 运用函数与方程的思想将他们进行转化,这是 准确迅速解决此类问题的关键. 2.对二次函数y=ax 2+bx+c(a ? 0)在[m,n]上的 最值的研究是本讲内容的重点.对如下结论必须 熟练掌握:

b 4ac-b 2 是它的一个最值, ?1?当x=- ? [m,n]时, 2a 4a b 另一最值在区间端点处取得;当x=- ? [m,n]时, 2a 最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.

? 2 ? 含参数的二次函数在某个区间上的最值问题常需
分类讨论.要抓住顶点的横坐标是否属于该区间, 结合开口方向及单调性进行分类讨论求解. 3.二次函数f ? x ?=ax 2+bx+c. 当a ? 0且? ? 0时,对?x ? R,f ? x ? ? 0成立; 当a ? 0且? ? 0时,对?x ? R,f ? x ? ? 0成立.


2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练:第7讲《二次函数与一元二次方程》 Word版含解析

2014高考数学()一轮复习热点针对训练:第7讲二次函数与一元二次方程》 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。第 7讲 2 二次函数与一元二次方程 1.已...

2014届高考数学一轮复习 第7讲《二次函数与一元二次方程》热点针对训练 理

2014高考数学一轮复习 第7讲二次函数与一元二次方程》热点针对训练 _数学...【新课标人教A版2014届... 暂无评价 4页 免费 2011届高考数学第一轮复....

2014版学海导航数学(理)总复习(第1轮)同步测控 第7讲 二次函数与一元二次方程 Word版含答案

2014版学海导航数学()总复习(第1轮)同步测控 第7讲 二次函数与一元二次方程 Word版含答案_高中教育_教育专区。2014版学海导航数学()总复习(第1轮)同步测...

第7讲二次函数与一元二次方程

第7讲二次函数与一元二次方程_数学_高中教育_教育专区。二次函数第7 讲 二次函数与一元二次方程 1.二次函数 y=x2+bx+c 的图象上有两点(3,-8)和(-5...

第7讲二次函数与一元二次方程

第7讲二次函数与一元二次方程_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 7 讲 二次函数与一元二次方程 1.“a=1”是“函数 f(x)=x2-4ax+3 在区间[2,+...

2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步测控 第7讲 二次函数与一元二次方程 Word版含答案]

2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步测控 第7讲 二次函数与一元二次方程 Word版含答案]_高中教育_教育专区。2014版学海导航数学(文)总复习(第1轮)同步...

2014年中考数学二次函数与一元二次方程综合训练一

第一讲:二次函数与一元二次方程综合训练一 2014 年中考数学专项训练考点:与一元二次方程相结合,偏向于计算、数形结合,讨论参数范围;或整数根或特殊解或与坐标...

第4讲 一元二次方程与二次函数

第4讲 一元二次方程二次函数_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 78...1/3 专题推荐 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《... 2014年...

2014高中数学(预习自测+课内练习+巩固提高)3.1.1 二次函数与一元二次方程(一)新人教A版必修1

2014高中数学(预习自测+课内练习+巩固提高)3.1.1 二次函数与一元二次方程(一)新人教A版必修1 隐藏>> 二次函数与一元二次方程(一) [自学目标] 1. 掌握二...