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2013年长宁区一模数学试卷(文理科附答案)

时间:2013-01-16


长宁区 2012 学年第一学期高三数学质量调研试卷(理科)
一、填空题(本大题满分 56 分) 1、计算: lim

3n2 ? 4n ? 2 =________ . n?? (2n ? 1)2

2、记函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) 如果函数 y ? f ( x) 的图像过点 (1, 2 )

,那么函数

y ? f ?1 ( x) ?1 的图像过点________ .
3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的 16 个小球,其中 8 个白球、 8 个黑球,则从口袋 中任意摸出 8 个球恰好是 4 白 4 黑的概率为________ .(结果精确到 0.001) 4、 ( 2 ?

x ) 8 展开式中含 x 4 项的系数为________ .

5、设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数) , 则 f ( ?1) ? ________ .

1 6、已知 z ?C , z 为 z 的共轭复数,若 0

z 1

0 ,则 z ? ________ . 1 ? 0 ( i 是虚数单位)

z iz 0
7、从数列 { 各项和为

1 }( n ? N * ) 中可以找出无限项构成一个新的等比数列 {bn } ,使得该新数列的 2n
开始
s ? 0, n ? 1

1 ,则此数列 {bn } 的通项公式为________ . 7

8、阅读如图所示的程序框图,输出的 S 值为________ .

3 ? 9、已知 ?ABC 的面积为 , AC ? 3, ?ABC ? , 2 3
则 ?ABC 的周长等于 _______ . 10、给出下列命题中

n ? 11?
s ? s ? sin n? 4

输出 s 结束

b ① 非零向量 a、 满足 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为 30 ;
0

? ?

?

?

? ?

? ? ?

n ? n ?1

b ② a ? b >0,是 a、 的夹角为锐角的充要条件;
③ 将 y ? x ? 1 的图象按向量 a ? ? ?1,0? 平移得到的图象对应的函数表达式为 y ? x ; ④ 在 ?ABC中,若 ( AB? AC) ? ?( AB? AC ) ? 0 ,则 ?ABC为等腰三角形; 以上命题正确的是________ .(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
?? ??
?? ??

? ?

?

11、我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那么凸多边形的面积 S、周长 c 与 内切圆半径 r 之间的关系为 S ?

1 cr 。类比这个结论,在空间中,如果已知一个凸多面体有 2

内切球,且内切球半径为 R,那么凸多面体的体积 V、表面积 S'与内切球半径 R 之间的关 系是________ . 12、设 0 ? m ?

1 1 2 ? k 恒成立,则 k 的最大值为________ . ,若 ? 2 m 1 ? 2m

13 、 已 知 函 数 f ( x) ? ?x 2 ? ax ? b(a, b ? R) 的 值 域 为 (?? ,0] , 若 关 于 x 的 不 等 式

f ( x) ? c ? 1 的解集为 (m ? 4, m ? 1) ,则实数 c 的值为________ .
14、给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记 2 2
1 2 k (k∈ Z)对 2

作 {x} ,即 {x} ? m . 在此基础上给出下列关于函数 y = f (x)= | x – {x}|的四个命题: ① 函数 y = f (x)的定义域是 R,值域是 [0, ] ;② 函数 y = f (x)的图像关于直线 x =

称; 函数 y = f (x)是周期函数, ③ 最小正周期是 1; 函数 y = f (x)在 [? , ] 上是增函数. 则 ④ 其中真命题是________ . (写出所有真命题的序号). 二、选择题(本大题满分 20 分) 15、“φ=

1 1 2 2

? ”是“函数 y=sin(x+φ)为偶函数的”( 2



A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ( )

2 16、若 AB ? BC ? AB ? 0 ,则 ?ABC 必定是

? ??? ??? ???? ? ?

A.锐角三角形

B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形 )

17、已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题中的假命题的是( A. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? B. 若m // n, m ? ? , 则n ? ?

C. 若m // ? , ? ? ? ? n, 则m // n 18、函数 y ?

D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ? )

x , x ? (?? , 0) ? (0, ? ) 的图象可能是下列图象中的 ( sin x

三、解答题(本大题满分 74 分)

?? ? ?? ? m ? (2 cos x ? 2 3 sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . 19、 (本题满分 12 分)已知
(1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f( 求 b ? c 的取值范围.

A ) ? 3 ,且 a ? 2 , 2

0 0 20、 (本题满分 12 分)如图,△ ABC中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 30 , BC ? 3 ,在

三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M ,与 ,将△ ABC绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 BC 交于点 N ) (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; A (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. M

C

O 第 20 题

N

B

21、 (本题满分 14 分)经过统计分析,公路上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流 密度 x (单位:辆/千米)的函数,当公路上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此 时车速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当

20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数.
(1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过公路上某观测点的车辆数,单位:辆/

v 小时) f ( x) ? x? ( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

22. (本小题满分 18 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x 。 (1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域; (2)设 F ( x) ?

a ,求 ? ? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ( a 为实数) F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g (a) ; ? 2 ?

2 (3)对(2)中 g (a) ,若 ? m ? 2tm ? 2 ? g ( a) 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1] 恒成

立,求实数 m 的取值范围。

23. (本题满分 18 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? m,当x ? [a1 , b1 ] 时,f (x ) 的值域为 [a 2 , b2 ] , x ?[a2 , b2 ] 时,f (x ) 当 的值域为 [a3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ?[an?1 , bn?1 ] 时, f (x ) 的值域为 [an , bn ] ,其 中 k、m 为常数,且 a1 ? 0, b1 ? 1. (1)若 k=1,求数列 {an }, {bn }的通项公式; (2)若 m=2,问是否存在常数 k ? 0 ,使得数列 {bn } 满足 limbn ? 4 ? 若存在,求 k 的值;
n??

若不存在,请说明理由; (3)若 k ? 0 ,设数列 {an }, {bn }的前 n 项和分别为 Sn,Tn, 求 (T1 ? T2 ? ?? T2013) ? (S1 ? S2 ? ?? S2013).

长宁区 2012 学年第一学期高三数学质量调研试卷(文科)
一、填空题(本大题满分 56 分) 1、计算: lim

3n2 ? 4n ? 2 =______ . n?? (2n ? 1)2

2、记函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ?1 ( x) 如果函数 y ? f ( x) 的图像过点 (1, 2 ) ,那么函数

y ? f ?1 ( x) ?1 的图像过点______ .
3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的 16 个小球,其中 8 个白球、 8 个黑球,则从口袋 中任意摸出 8 个球恰好是 4 白 4 黑的概率为______ . (结果精确到 0.001) 4、 ( 2 ?

x ) 8 展开式中含 x 4 项的系数为______ .

5、设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数) , 则 f ( ?1) ? ______ . 6、已知 z 为复数,且 i ( z ? 2i ) ? 1 ,则 z=______ . 7、从数列 { 各项和为

1 }( n ? N * ) 中可以找出无限项构成一个新的等比数列 {bn } ,使得该新数列的 n 2
开始
s ? 0, n ? 1

1 ,则此数列 {bn } 的通项公式为______ . 7
3 ? , AC ? 3, ?ABC ? ,则 ?ABC 的周长 2 3

8、阅读如图所示的程序框图,输出的 S 值为______ . 9、已知 ?ABC 的面积为 等于______ . 10、给出下列命题中

n ? 11?
s ? s ? sin n? 4

输出 s 结束

? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 b ① 非零向量 a、 满足 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为 30 ; b ② a ? b >0,是 a、 的夹角为锐角的充要条件; ? ?

n ? n ?1

③ 将 y ? x ? 1 的图象按向量 a ? ? ?1,0? 平移得到的图象对应的函数表达式为 y ? x ; ④ 在 ?ABC中,若 ( AB? AC) ? ?( AB? AC ) ? 0 ,则 ?ABC为等腰三角形; 以上命题正确的是______ . (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 11、已知长方体的三条棱长分别为 1 , 1 , 2 ,并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面 上,则此球的表面积为______ .
?? ??
?? ??

?

x y 12、已知向量 a = ( x ? 1,2), b = (4, y) ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小值为______ .

?

?

?

?

13、 a 为非零实数, 设 偶函数 f ( x) ? x ? a x ? m ? 1( x ? R) 在区间 (2, 3) 上存在唯一零点,
2

则实数 a 的取值范围是______ . 14、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? 的最大值为______ . 二、选择题(本大题满分 20 分) 15、“φ=

1 1 an?1 ? ( )n (n ? 2 ,且 n? N* ) ,则数列 ?an ? 中项 3 3

? ”是“函数 y=sin(x+φ)为偶函数的”( 2



A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ( )

? ??? ??? ????2 ? ? AB ? BC ? AB ? 0 ,则 ?ABC 必定是 16、若
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.等腰直角三角形 )

17、已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题中的假命题的是( A. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? C. 若m // ? , ? ? ? ? n, 则m // n 18、已知函数 f ( x) ? ? A (??, ?1) ? (2, ??) B. 若m // n, m ? ? , 则n ? ? D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ?

? x2 ? 4 x x ? 0 ,若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是( 2 x?0 ?4 x ? x
B ( ?1, 2) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)



三、解答题(本大题满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x,1), n ? (cos x, ? y ) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? [0,

??

?

?? ?

?
3

] 时, f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围。

0 0 20、 (本题满分 12 分)如图,△ ABC中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 30 , BC ? 3 ,在

三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M ,与 ,将△ ABC绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 BC 交于点 N ) (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. A

M

C

O 第 20 题

N

B

21、 (本题满分 14 分)某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生 产这种产品的总件数,则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元。 (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成 本费; (2) 如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件, 且产品能全部销售, 根据市场调查: 每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系: Q( x) ? 170 ? 0.05 x ,试问生产多少 件产品,总利润最高?(总利润=总销售额-总的成本)

22. (本小题满分 18 分)已知二次函数 f ? x? ? ax2 ? ? a ?1? x ? a 。 (1)函数 f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上单调递增,求实数 a 的取值范围;

? 2 在 x??1, 2? 上恒成立,求实数 a 的取值范围; x 1 ? ? a ? 1? x2 (3)函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 在 ? 2 , 3? 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 x
(2)关于 x 的不等式

f ? x?

23. (本题满分 18 分) 设 f ( x) ? x 3 ,等差数列 ?an ?中 a3 ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 12,记 S n = f

?

3

an?1 ,令

?

bn ? an Sn ,数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn . bn

(1)求 ?an ?的通项公式和 S n ; (2)求证: Tn ?

1 ; 3

(3)是否存在正整数 m, n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出 m, n 的 值,若不存在,说明理由.

长宁区 2012 学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 3 1、 2、 ( 2,2) 3、 0.381 4、1 5、 ? 4 6、 (理) 0 , ? i (文) ? 3i 4 1 7、 bn ? n 8、 1? 2 9、 3 ? 3 10、① ④ ③ 8 21 1 10 5 11、 (理) ? S ?R , (文)6? 12、 (理)8 , (文)6 13、 (理)? , (文)(? ,? ) V 4 3 3 2
14、 (理)① ③ (文)1 ② ,

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 A 16、 B 17、 C 18、 C 三、解答题 ?? ? 2 19、解(1)由 m ? n ? 0 得 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 …………3 分
即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ?
2

?
6

) ?1

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .

…………6分

(2) (理)因为 f ( ) ? 3 ,则

A?

?
6

? 2 k? ?

?
2

A 2

, k ? Z .因为 A 为三角形内角,所以 A ? 4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

?
3

…………9分

法一:由正弦定理得 b ?

b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin( B ? ) 3 3 3 3 3 6

,? sin( B ?

?

1 ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 6 2
…………12分

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] 法二: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos 因为 bc ?

?
3

,因此 4 ? (b ? c) 2 ? 3bc ,

(b ? c) 2 (b ? c) 2 2 ,所以 4 ? (b ? c ) ? , (b ? c) 2 ? 16 , 4 4
…………12分

?b ? c ? 4 .又 b ? c ? 2 ,所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]
(文) (2)? 0 ? x ?

?
3

,?

?
6

? 2x ?

?
6

?

1 5? ? ,因此 sin( x ? ) 的最小值为 ,……9分 2 2 6 6

由 a ? f (x) 恒成立,得 a ? [ f ( x)]min ? 2 , 所以实数 a 的取值范围是 (?? ,2) . ………12分

20、解(1)连接 OM ,则 OM ? AB

? BC ? 3 , ?ABC ? 30 0 ,? AC ? 1, AB ? 2 ,
设 OM ? r ,则

…………3 分

OB ? 2r ,又 OB ? 3 ? r ,所以 2r ? 3 ? r , r ?
所以,

3 ,…………6 分 3

4 S 球表 ? 4?r 2 ? ? . 3

…………8 分

(2) V ? V圆锥 ? V球 ?

1 4 5 3 ? ? AC 2 ? BC ? ?r 3 ? ? . …………12 分 3 3 27

21、 (理)解(1)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ; 当 20 ? x ? 200 时,设 v ( x ) ? ax ? b. …………………………2 分 再由已知得

1 ? a?? , ? ? 200a ? b ? 0, ? 3 …………………………4 分 解得 ? ? 20a ? b ? 60. ? ?b ? 200 . ? 3 ?
0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v(x)的表达式为 v( x) ? ? 1 ………………7 分 ? 3 (200 ? x), 20 ? x ? 200. ? 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (2)依题意并由(1)可得 f ( x) ? ? 1 , …………9 分 x(200 ? x), 20 ? x ? 200. ?3 ?
当 0 ? x ? 20 时, f ( x ) 为增函数.故当 x=20 时,其最大值为 60× 20=1200; 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ?

1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x(200 ? x) ? [ ] ? . 3 3 2 3

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

10000 . …12 分 3 10000 综上,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[0,200]上取得最大值 ? 3333 . 即当车流密度为 3
所以,当 x ? 100 时, f ( x ) 在区间[20,200]上取得最大值 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.……………14 分 (文)解: (1) P( x) ?

12500 ? 40 ? 0.05x x

………………………………………3 分

由基本不等式得 P ( x) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90

12500 ? 0.05x ,即 x ? 500 时,等号成立 ……………………6 分 x 12500 P( x) ? ? 40 ? 0.05x ,成本的最小值为 90 元. ……………………7 分 x (2)设总利润为 y 元,则
当且仅当

y ? xQ( x) ? xP( x) ? ?0.1x 2 ? 130x ?12500 ? ?0.1( x ? 650 2 ? 29750 )

……………10 分

当 x ? 650 时, ymax ? 29750 ……………………………………………………13 分 答:生产 650件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元.… ……14 分 22、 (理)解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] …………2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] …………4 分

a ? ? f 2 ( x) ? 2? ? f ( x) ? a 1 ? x2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 1 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x 2 ? t 2 ? 1 , 2 1 2 1 2 ∴F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ?[ 2, 2] …………6 分 2 2 1 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at 2 ? t ? a, t ?[ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at 2 ? t ? a 的对称轴。…………7 分 a 2
(2)因为 F ( x) ? 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ? [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, ① t ?? 若

2 1 则 g (a) ? m( 2) ? 2 …………8 分 ? (0, 2] ,即 a ? ? 2 a 2 1 1 1 1 ? a ? ? 则 g (a) ? m(? ) ? ?a ? …………10 分 ? ( 2, 2] ,即 ? 2 2 a a 2a

② t ?? 若 ③ t ?? 若

1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2

…………11 分

?a ? 2, ? 1 2 1 ? , ? ?a?? , 综上有 g (a ) ? ??a ? 2a 2 2 ? ? 2, 2 ? a?? 2
(3)易得 g min (a) ?

a??

1 2

…………12 分

2,

…………14 分

2 由 ? m ? 2tm ? 2 ? g ( a ) 对 a ? 0 恒成立,

即要使 ?m ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ?
2

2 恒成立,…………15 分

? m2 ? 2tm ? 0 ,令 h ? t ? ? ?2mt ? m2 ,对所有的 t ?? ?1,1? , h ? t ? ? 0 成立,

?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 只需 ? , 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0
求出 m 的取值范围是 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 .

…………17 分

…………18 分

(文)解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ,不合题意;……………1 分 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上不可能单调递增;……………2 分 当 a ? 0 时,图像对称轴为 x ? ? 由条件得 ?

a ?1 ? ?1 ,得 a ? ?1. 2a f ( x) 1 (2)设 h( x) ? ? a( x ? ) ? a ? 1 , x x 1 5 当 x ? [1,2] 时, x ? ? [2, ] , x 2
因为不等式 所以, ?

a ?1 , 2a

……………4 分 ……………5 分 ……………7 分

f ? x? x

所以 h (x ) 在 x ? [1,2] 时的最小值大于或等于 2, ? 2 在 x??1, 2? 上恒成立,

a?0 ? a?0 ? 或? 5 , ……………9 分 ? a ? a ?1 ? 2 ?2 a ? a ? 1 ? 2 ? 2 ? 解得 a ? 1。 ……………10 分 1 2 (3) g ( x) ? ax ? ? a 在 ? 2 , 3? 上是增函数,设 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , x

? ?

ax1 ?
2

x ? x2 1 1 2 ? a ? ax 2 ? ? a , a( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 1 ,……………12 分 x1 x2 x1 x2

因为 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,所以 a ?

1 , x1 x2 ( x1 ? x2 )

……………14 分



1 1 1 ?( , ) , x1 x2 ( x1 ? x2 ) 54 16

……………16 分

所以 a ?

1 . 16

……………18 分

23、 (理)解: (1)因为 f ( x) ? x ? m,当x ?[an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数 , 所以其值域为 [an?1 ? m, bn?1 ? m] …………2 分
* 于是 a n ? a n ?1 ? m, bn ? bn ?1 ? m(n ? N , n ? 2) …………4 分

又 a1 ? 0, b1 ? 1, 所以 n ? (n ? 1)m, bn ? 1 ? (n ?1)m. a

…………6 分

(2)因为 f ( x) ? x ? mf ( x) ? kx ? m(k ? 0),当x ?[an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数 所以 f ( x)的值域为kan?1 ? m, kbn?1 ? m],因m ? 2, 则bn ? kbn?1 ? 2(n ? 2) ……8 分 [ 法一:假设存在常数 k ? 0 , 使得数列 {bn }满足limbn ? 4, 则limbn ? k limbn?1 ? 2 ,…………10 分
n?? n?? n??

得 4 ? 4k ? 2, 则k ?

1 符合。…………12 分 2
n??

法二:假设存在常数 k>0,使得数列 {bn } 满足 limbn ? 4. 当 k=1 不符合。……7 分

2 2 ? k (bn?1 ? )(n ? 2) ,…………9 分 k ?1 k ?1 2 2 2 1 则 bn ? (1 ? )k n?1 ? , 当 0 ? k ? 1时, limbn ? ? 4, 得k ? 符合. n?? k ?1 k ?1 1? k 2
当 k ? 1 , bn ? kbn?1 ? 2(n ? 2) ? bn ? 时 …………12 分 ( 3 ) 因 为 k ? 0,当x ?[an?1 , bn?1 ]时, f ( x)为 单 调 减 函所 以 f (x ) 的 值 域 为 , 数

[kbn?1 ? m, kan?1 ? m]

…………13 分

* 于是 a n ? kbn ?1 ? m, bn ? kan ?1 ? m(n ? N , n ? 2)

则 bn ? an ? ?k (bn?1 ? an?1 ) …………14 分 因此 ? n ? an ?是以 ? k 为公比的等比数列, b

?i, (k ? ?1) ? 又 b1 ? a1 ? 1则有 Ti ? S i ? ?1 ? (?k ) i …………16 分 , (k ? 0, k ? ?1) ? ? 1? k
进而有

2027091 k ? ?1) ,( ? ? 2013? 2014 ? k 2014 k (T1 ? T2 ? ? ? T2013) ? (S1 ? S 2 ? ? ? S 2013) ? ? , (k ? 0, k ? ?1) ? (1 ? k ) 2 ?
(文)解: (1)设数列 ?an ?的公差为 d ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 ,

a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12.解得 a1 ? 1 , d =3 ,
∴an ? 3n ? 2 ∵ f ( x) ? x 3 , ∴ n= f S

……………2 分 ……………4 分

?

3

an?1 = an?1 ? 3n ? 1.

?

……………6 分

(2) bn ? an Sn ? (3n ? 2)(3n ? 1) ∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

……………8 分

1 1 1 (1 ? )? 3 3n ? 1 3 n (3)由(2)知, Tn ? 3n ? 1
∴Tn ? 比数列. ∴ (

……………10 分 ∴T1 ?

1 m n , Tn ? ,∵T1 , Tm , Tn 成等 , Tm ? 4 3m ? 1 3n ? 1

m 2 1 n ……………12 分 ) ? 3m ? 1 4 3n ? 1 6m ? 1 3n ? 4 即 ? n m2 3n ? 4 1 3 3n ? 4 当 m ? 1 时,7 ? , n =1,不合题意;当 m ? 2 时, , n =16,符合题意; ? n n 4 2 5 3n ? 4 1 9 3n ? 4 当 m ? 3 时, , n 无正整数解;当 m ? 4 时, , n 无正整数解; ? ? n 16 n 9 3 1 3n ? 4 3 7 3n ? 4 当 m ? 5 时, , n 无正整数解;当 m ? 6 时, , n 无正整数解; ? ? 25 n 36 n
……………15 分

6m ? 1 3n ? 4 4 当 m ? 7 时, m2 ? 6m ?1 ? (m ? 3) 2 ?10 ? 0 ,则 ? 1 ,而 ? 3 ? ? 3, 2 n n m
所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……………17 分 综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……………18 分

另解:

1 m n , Tn ? , Tm ? 4 3m ? 1 3n ? 1 m 2 1 n ∵T1 , Tm , Tn 成等比数列. ∴ ( , ……………12 分 ) ? ? 3m ? 1 4 3n ? 1 6m ? 1 3n ? 4 取倒数再化简得 ? n m2 1 3 3n ? 4 当 m ? 2 时, , n =16,符合题意; ……………14 分 ? n 4
(3)由(2)知, Tn ? ∴T1 ?

n 3n ? 1

1 1 6m ? 1 6 1 ? 1 19 ? m ? 3时, 0 ? ? , ? ? 2 ? ? ? 3? ? 9 ? ? 3, 2 m 3 m m m ?m 9 ?
2



3n ? 4 4 ? 3 ? ? 3, n n

所以,此时不存在正整数 m、n , 且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……………17 分 综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列.


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