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等差数列等比数列高考强化练习(经典)


[学业水平训练] S4 1.(2014· 济南高二检测)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 =( a2 A.2 15 C. 2 a1(1-q4) 1-q S4 解析:选 C. = a2 a1q = 1-q4 1-24 15 = = . (1-q)q (1-2)×2 2 B .4 17 D. 2 )

2.在等比数列{an}中,a1+a2

=2,a9+a10=162,则 a3+a4=( ) A.6 B .8 C.9 D.12 解析:选 A.因为数列{an}是等比数列,则 a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8,a9+a10 也 是等比数列,设其公比为 q,则 2×q4=162, ∴q4=81,∴q=3. ∴a3+a4=2×3=6. 3.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和,已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等 于( ) 15 A. 2 33 C. 4 31 B. 4 17 D. 2

解析:选 B.设{an}的公比为 q,q>0,且 a2 3=1,∴a3=1. 1 1 1 1 ∵S3=7,∴a1+a2+a3= 2+ +1=7,即 6q2-q-1=0,解得 q= 或 q=- (舍去), q q 2 3 1 a1= 2=4. q 1? 4×? ?1-25? 1 ? 31 ∴S5= =8×? ?1-25?= 4 . 1 1- 2 4.(2014· 安庆调研)数列 1,x,x2,…,xn 1(x≠0)的前 n 项和为(


)

1-x A. 1-x

n

1-x B. 1-x

n-1

1-xn 1 C. 1-x


D.以上均不正确

1-xn 解析:选 D.在不能确定公比 q 是否为 1 时,要分类讨论.当 x≠1 时,Sn= ;当 x 1-x

=1 时,Sn=n. 5.(2014· 河南省南阳一中月考)某厂去年的总产值是 a 亿元,假设今后五年的年产值平 均增长率是 10%,则从今年起到第 5 年年末该厂的总产值是( ) 5 5 A.11×(1.1 -1)a 亿元 B.10×(1.1 -1)a 亿元 4 C.11×(1.1 -1)a 亿元 D.10×(1.14-1)a 亿元 解析:选 A.由题意可知,今年年末的总产值为 1.1a,从今年起每年年末的总产值构成 1.1a(1-1.15) 一个等比数列,首项为 1.1a,公比为 1.1.所以其前 5 项和为 S5= =11×(1.15 1-1.1 -1)a 亿元,故选 A. S6 S9 6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =________. S3 S6 S6 解析: =3,故 q≠1, S3 ∴ a1(1-q6) 1-q × =1+q3=3, 1-q a1(1-q3)

即 q3=2.
9 1-q S9 a1(1-q ) 所以 = × , S6 1-q a1(1-q6)

1-23 7 = = . 1-22 3 7 答案: 3 7.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 解析:由 a1=1,S6=4S3, ∴ a1(1-q6) a1(1-q3) =4· , 1-q 1-q

∴1-q6=4(1-q3),得 q3=3, 故 a4=a1q3=1×3=3. 答案:3 1 8. 在等比数列{an}中, 若 a1= , a =4, 则公比 q=________; a1+a2+…+an=________. 2 4 a4 解析:由等比数列的性质知 q3= =8,∴q=2. a1 1? n-1 n-2 ∴an=? ?2?·2 =2 , 1 (1-2n) 2 1 - ∴a1+a2+…+an= =2n 1- . 2 1-2 答案:2 1 - 2n 1- 2

9.设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数列的公比 q. 解:当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件; a1(1-q3) 当 q≠1 时, =3a1q2. 1-q

因为 a1≠0,所以 1-q3=3q2(1-q), ∴2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0, 1 解得 q=- . 2 1 综上所述,公比 q 的值是 1 或- . 2 10.(2014· 山西省忻州市联考)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别 加上 2,5,13 后成为等比数列{bn}中的 b3,b4,b5. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d, 则 a-d+a+a+d=15,解得 a=5. ∴数列{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 又∵{bn}为等比数列, ∴(7-d)(18+d)=100, 解得 d=2 或 d=-13(舍去). b4 于是 b3=5,b4=10,q= =2, b3 ∴bn=5· 2n 3.


5 (2)由(1)知数列{bn}是首项 b1= ,公比 q=2 的等比数列,根据等比数列的前 n 项和公 4 5 (1-2n) 4 5 - 式可知 Sn= =5· 2n 2- . 4 1-2 [高考水平训练] 1.(2014· 广州六中月考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 S15∶S5 =( ) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 解析: 选 A.在等比数列{an}中, S5, S10-S5, S15-S10, …成等比数列, 因为 S10∶S5=1∶2, 3 所以 S5=2S10,S15= S5,得 S15∶S5=3∶4,故选 A. 4 1 2.已知等比数列{an}的公比 q≠1,且 a1=1,3a3=2a2+a4,则数列{ }的前 4 项 anan+1 和为________. 解析:∵等比数列{an}中,a1=1,3a3=2a2+a4,∴3q2=2q+q3.又∵q≠1,∴q=2,∴ 1 1 - 1 1 1 - an=2n 1,∴ =( )2n 1,即{ }是首项为 ,公比为 的等比数列, 2 4 anan+1 2 anan+1 1 1 [1-( )4] 2 4 1 85 ∴数列{ }的前 4 项和为 = . 1 128 anan+1 1- 4 85 答案: 128

3.等比数列{an}满足 a3+a4=12,a1a6=32,且公比 q>1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=63,求 n 的值. 解:(1)∵数列{an}为等比数列,∴a1a6=a3a4=32,
? ?a3+a4=12 ∴? , ?a3a4=32 ? ? ?a3=4 ? ?a3=8 解得? 或? . ?a4=8 ? ?a4=4 ? ?a3=4 ? 又∵q>1,∴? , ? ?a4=8

∴q=2,a1=1, - - ∴an=1×2n 1=2n 1. (2)由(1)知在等比数列{an}中,a1=1,q=2, a1(1-qn) 1×(1-2n) n ∴Sn= = =2 -1=63, 1-q 1-2 ∴2n=64,∴n=6. 1 1 4.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ; 2 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1 1 - 1 解:(1)证明:因为 an= ×( )n 1= n, 3 3 3 1 1 1 (1- n) 1- n 3 3 3 1-an Sn= = ,所以 Sn= . 1 2 2 1- 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an n(n+1) =-(1+2+…+n)=- , 2 n(n+1) 所以{bn}的通项公式为 bn=- . 2


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