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上海市高二(下)数学期末复习(含答案)


高 二 ( 下 ) 数 学 期 末 复 习
一.填空题: 1.计算: (1 ? 2i )(3 ? 2i ) ? 2. ? ∈ (

?,

3? ) ,直线 l : x sin ? + y cos? +1=0 的倾角 ? = 2

2 = 1? i

. .

3. 与两

平行直线 l1 :3 x - y +9=0 与 l 2 :3 x - y -3=0 等距离的直线方程 为: . 4. 在复平面上, 满足条件 2<| z |≤4 的复数 z 所对应的点 Z 组成的图形的面积是 5.一条渐近线方程 3 x +4 y =0,且经过点是 ( 4,6 ) 的双曲线标准方程是 6.与直线 y = x +1 平行,被椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 截得的弦长为 2 的直线 l 的方程 是: 7.若| . . .

2 ? 2ai |= 2 ,则实数 a 的值是: a ? 2i



8.已知复数 z 1 =3+4 i , z 2 = t + i ,且 z1 ? z 2 是实数,则实数 t 等于 9.直线 a ∥平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,则 a 、 b 的位置关系是

. .

10. 在空间四边形 ABCD 中,AD ? BC ? 2 ,E , F 分别是 AB 、CD 的中点, 若 EF ? 3 , 则 AD, BC 所成角为 .

M , N 分别是 AA1 和 BB1 的中点, 11. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 则异面直线 C1M 与 DN
所成角的大小为 .

x2 y2 x2 y2 12.已知命题:椭圆 + =1 与双曲线 - =1 的焦距相等.试将此命题推广到 25 11 9 5
一般情形,使已知命题成为推广后命题的一个特例: . 二.选择题: 13.设 M、N 是空间四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点,则下列答案中正确的是( )

1 ( AB+CD ) ; 2 1 (C)MN> ( AB+CD ) ; 2
(A)MN=

1 ( AB+CD ) ; 2 1 (D)MN 与 ( AB+CD ) 的大小关系不确定. 2
(B)MN<

14.命题甲: “双曲线 C 的方程为

x2 y2 - =1 ( a >0, b >0 ) ” ,命题乙: “双曲线 C 的 a2 b2

渐近线方程为 y =±

b x” ,那么甲是乙的( a



(A)充分不必要条件; (B)必要不充分条件; (C)充要条件; (D)非充分非必要条件. 15.设 z 1 , z 2 为复数,则下列四个结论中正确的是( )

(A)若 z12 ? z22 ? 0 ,则 z12 ? ? z22 ; (B)若 z12 ? z22 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? 0 ; (C) z1 ? z2 ?

( z1 ? z2 ) 2 ? 4 z1 z2 ; (D) z1 ? z1 是纯虚数或零.

16.在实数集 R 上定义运算 ? : x ? y ? 2 x 2 ? y 2 ? 1 ? y ,则满足 x ? y ? y ? x 的实数 对 ( x, y) 在平面直角坐标系内对应点的轨迹是( )

(A)一个圆; (B)双曲线; (C)一条直线; (D)两条直线. 三.解答题: 17.已知 z 、 ? 为复数, (1 ? 3i) z 为实数, ? = 解:

z ,且| ? |=5 2 ,求复数 ? . 2?i

18.已知 z 1 、 z 2 是实系数一元二次方程 x + px + q =0 的两个虚根,且 z 1 、 z 2 满足方程 2 z 1 + (1 ? i) z 2 = 解:

2

? 2 ? 8i ,求 p 、 q 的值. 1? i

19.已知动圆过定点 F ?

1 ?1 ? , 0 ? ,且与定直线 l : x =- 相切. 2 ?2 ?

(1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2)设点 O 为坐标原点, P, Q 两点在动点 M 的轨迹上,且满足 OP ? OQ , OP ? OQ , 求等腰直角三角形 POQ 的面积.

解:

20. 如图: 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB=4, BC=6, AA 1 =2, M、 N 分别是 A 1 B 1 和 BC 的中点.求: (1)A 1 B 与 B 1 C 所成的角; (2)MN 与 AC 所成的角; (3)MN 与平面 ABCD 所成的角. 解:

高 二 ( 下 ) 数 学 期 末 复 习
一.填空题: 1.计算: (1 ? 2i )(3 ? 2i ) ? 2. ? ∈ (

3? ) ,直线 l : x sin ? + y cos? +1=0 的倾角 ? = 2 ? -? . 2 3. 与两平行直线 l1 :3 x - y +9=0 与 l 2 :3 x - y -3=0 等距离的直线方程 为: 3 x - y +3=0 . 4. 在复平面上, 满足条件 2<| z |≤4 的复数 z 所对应的点 Z 组成的图形的面积是 12 ? . y2 x2 5.一条渐近线方程 3 x +4 y =0,且经过点是 ( 4,6 ) 的双曲线标准方程是 - = 1. 27 48 6.与直线 y = x +1 平行,被椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 截得的弦长为 2 的直线 l 的方程

2 = 1? i

8+3 i



?,

是: 7.若|

y =x±

55 4

. ± 3 .

2 ? 2ai |= 2 ,则实数 a 的值是: a ? 2i

8.已知复数 z 1 =3+4 i , z 2 = t + i ,且 z1 ? z 2 是实数,则实数 t 等于 9.直线 a ∥平面 ? ,直线 b ? 平面 ? ,则 a 、 b 的位置关系是

3 4

. .

平行或异面

10.在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E、F 分别是 AB、CD 的中点,若 EF= 3 , 则 AD、BC 所成角为 60
o



11.正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,M、N 分别是 AA 1 和 BB 1 的中点,则异面直线 C 1 M 与 DN 所成角的大小为 12.已知命题:椭圆

arccos

1 9



x2 y2 x2 y2 + =1 与双曲线 - =1 的焦距相等.试将此命题推广到 25 11 9 5


一般情形,使已知命题成为推广后命题的一个特例: 椭圆

x2 y2 x2 y2 2 2 2 2 + = 1 与双曲线 - =1 (a ? b ? c ? d ) 的焦距相等 a2 c2 b2 d2
B

二.选择题: 13. 设 M、 N 是空间四边形 ABCD 的边 AD、 BC 的中点, 则下列答案中正确的是 (



1 ( AB+CD ) ; 2 1 (C)MN> ( AB+CD ) ; 2
(A)MN=

1 ( AB+CD ) ; 2 1 (D)MN 与 ( AB+CD ) 的大小关系不确定. 2
(B)MN<

14.命题甲: “双曲线 C 的方程为 渐近线方程为 y =±

x2 y2 - =1 ( a >0, b >0 ) ” ,命题乙: “双曲线 C 的 a2 b2
A )

b x” ,那么甲是乙的( a

(A)充分不必要条件; (B)必要不充分条件; (C)充要条件; (D)非充分非必要条件. 15.设 z 1 , z 2 为复数,则下列四个结论中正确的是( D )

(A)若 z12 ? z22 ? 0 ,则 z12 ? ? z22 ; (B)若 z12 ? z22 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? 0 ; (C) z1 ? z2 ?

( z1 ? z2 ) 2 ? 4 z1 z2 ; (D) z1 ? z1 是纯虚数或零.

16.在实数集 R 上定义运算 ? : x ? y ? 2 x 2 ? y 2 ? 1 ? y ,则满足 x ? y ? y ? x 的实数 对 ( x, y) 在平面直角坐标系内对应点的轨迹是( D )

(A)一个圆; (B)双曲线; (C)一条直线; (D)两条直线. 三.解答题: 17.已知 z 、 ? 为复数, (1 ? 3i) z 为实数, ? = 解:设? = x + yi ( x , y ∈R), ? =

z ,且| ? |=5 2 ,求复数 ? . 2?i

z ? z = (2 ? i)? . 2?i (1 ? 3i) z = (1 ? 3i)(2 ? i)? = (?1 ? 7i)(x ? yi) =- x -7 y + (7 x ? y )i ,

依题意 (1 ? 3i) z 为实数,且| ? |=5 2 , ∴?

?7 x ? y ? 0
2 2 ? x ? y ? 50

,解之得 ?

? x ? 1 ? x ? ?1 或? ,∴ ? =1+7 i 或 ? =-1-7 i . ? y ? 7 ? y ? ?7

18.已知 z 1 、 z 2 是实系数一元二次方程 x + px + q =0 的两个虚根,且 z 1 、 z 2 满足方程 2 z 1 + (1 ? i) z 2 = 解:

2

? 2 ? 8i =3+5 i . 1? i 设 z 1 = a + bi ( a , b ∈R) ,则 z 2 = a - bi .
代入并化简得: ( 3 a - b ) + (b ? a)i =3+5 i ,解得 ?
2

? 2 ? 8i ,求 p 、 q 的值. 1? i

?a ? 4 ?b ? 9
2



∴ p =- ( z 1 + z 2 ) =-2 a =-8, q = z1 ? z 2 = a + b =97.

19.已知动圆过定点 F (

1 1 ,0 ) ,且与定直线 l : x =- 相切. 2 2

(1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2)设点 O 为坐标原点, P、Q 两点在动点 M 的轨迹上,且满足 OP⊥OQ,OP=OQ,求 等腰直角三角形 POQ 的面积. 解: (1)根据抛物线定义可得动圆圆心 M 的轨迹方程为 y 2 =2 x ; (2)因为 OP⊥OQ,设直线 OP 的方程为 y = kx ,则直线 OQ 的方程为 y =- 解得点 P、Q 的坐标分别为 ( 由 OP=OQ,得:

1 x, k

2 2 2 3 , ) , ( 2 k ,2 k ) . 2 k k

4 4 4 6 8 + 4 =4 k +4 k , k =1, 2 k k 可得点 P、Q 坐标分别为 ( 2,2 ) , ( 2,-2 ) . 1 2 ∴ S ?POQ = | OP | =4. 2

20. 如图: 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB=4, BC=6, AA 1 =2, M、 N 分别是 A 1 B 1 和 BC 的中点.求: (1)A 1 B 与 B 1 C 所成的角; (2)MN 与 AC 所成的角; (3)MN 与平面 ABCD 所成的角. 解: (1) arccos

2 ; 10

(2) arctan

2 13 ; 13 2 13 . 13

(3) arctan


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