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等差数列与等比数列的有关知识比较一览表

时间:2011-03-19


等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 定 每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.这个 义 常数叫公差. ① an +1 ? an = a2 ? a1 递 推 关 系 ③ an +1 ? an = an ? an ?1 ③ ( n ≥ 2, n ∈ N * ) 通 项 公 式 ① 2 S n = n( a1 + an ) 求 和 公 式
2

差 数 列



比 数 列

一般地,如果一个数列从第 2 项起,

一般地,如果一个数列从第 2 项起,每 一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那 么这个数列就叫等比数列.这个常数叫公 比.

(n∈ N )
*



② an +1 ? an = d

(n∈ N )
*

an +1 a2 = an a1 an +1 =q an an +1 a = n an an ?1
n ?1

(n∈ N )
*



( q ≠ 0, n ∈ N * )

( n ≥ 2, n ∈ N * )

① an = a1 + ( n ? 1) d ② an = pn + q

(n∈ N )
*

① a n = a1 ? q

(n∈ N )
*

( p, q为常数, n ∈ N * ) ② a n = p ? q

n

( p, q是常数, q ≠ 0, p ≠ 0, n ∈ N * ) (n∈ N )
*

? n ? n * ①求积公式 ? ∏ ai ? = ( a1 a n ) ( n ∈ N ) ? ? ? i =1 ?

2

② S n = na1 +

n(n ? 1) d 2

(n∈ N )
*

?na1 , q = 1 ? ② S n = ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ≠ 1 ?
③ Sn = ?

(n∈ N )
*

③ S n = An + Bn ( A, B是常数, n ∈ N * )

?na1 , q = 1
n

? A ? Aq , q ≠ 1

( n ∈ N ,A ≠ 0 )
*

①若 p+q=s+r, p、q、s、r ∈ N*,则

①若 p+q=s+r, p、q、s、r ∈ N*,则

a p + aq = as + ar .
②对任意 c>0,c ≠ 1, c 主 ③ an +1 + an ?1 = 2an , n ∈ N , n ≥ 2 .
*

a p aq = a s ar .
an

{ } 为等比数列.

②对任意 c>0,c ≠ 1, 若 an 恒大于 0,则

{log c an } 为等差数列.
③ a n +1 a n ?1 = a n , n ∈ N , n ≥ 2 .
2 ?

④若 {an } 、 {bn } 分别为两等差数列,则

④若 {an } 、 bn } 为两等比数列, {a n bn }为 则 { 等比数列. ⑤若 an 恒大于 0,则数列 ?n



{an + bn } 为等差数列.
?S ? ⑤数列 ? n ? 为等差数列. ?n?
⑥若 {bn } 为正项等差自然数列,则 abn

? ? ? ?

? ? a i ? 为等比 ∏ ? i =1 ?
n

{ }

数列. ⑥若 {bn } 为正项等差自然数列,则 abn 为 等比数列. ⑦ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , L 为等比数列. ⑧



为等差数列. ⑦ S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n ,L 为 等 差 数 列. ⑧

{ }



S n Sn? m ? Sm * = ,n>2m,m、n ∈ N . n n ? 2m

n

∏ ai = n?2m
i =1
*

n

i = m +1

∏a

n?m

i

, n>2m , m 、
*

⑨ S m + n = S m + S n + mnd . ⑩若 S m = S n , m ≠ n, 则 S m + n = 0 .

n ∈ N , a p > 0, p ∈ N . ⑨ Sm+ n = Sm + q Sn = Sn + q Sm .
m n

⑩若 a1 a 2 L a m = a1 a 2 L a n , m ≠ n, 则

∏a
i =1

m+n

i

= 1.

此外, 还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论, 这些结论之间不具有对偶关系: 等 差 数 列
*



比 数 列
m 2m

重 要 结 论

① 若 a p = q , aq = p , p 、 q ∈ N , 且

① S mn = S m (1 + q + q = S n (1 + q + q
n

+ L + q ( n?1) m )

p ≠ q,
则 a p+q = 0 . ② 若 S p = q , S q = p, 且 p ≠ q , 则

2n

+ L + q ( m ?1) n ) . a1 . 1? q

②若|q|<1,则 lim S n
n→∞

=S=

S p + q = ?( p + q),

p、q ∈ N .
*


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