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2.4.1抛物线及其标准方程

时间:2015-11-23


2.4.1 抛物线及其标准方程
●三维目标 1.知识与技能 掌握抛物线的定义,掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点、准线. 2.过程与方法 掌握对抛物线标准方程的推导, 进一步理解求曲线方程的方法——坐标法. 提高学生观 察、类比、分析和概括的能力. 3.情感、态度与价值观 通过本节的学习, 体验研究解析几何的基本思想, 感受圆锥曲线在刻画现实和解决实际 问题中的

作用,进一步体会数形结合的思想. ●重点难点 重点:(1)抛物线的定义及焦点、准线; (2)抛物线的四种标准方程和 p 的几何意义. 难点:在推导抛物线标准方程的过程中,如何选择适当的坐标系. 以多媒体课件为依托,课件可增强课堂教学的直观性、趣味性,促进学生积极思维,能 够在动态演示过程中化解教学难点,突出教学重点.

(教师用书独具)

●教学建议 本节课主要采用启发引导法.在整个教学过程中,引导学生观察、分析、归纳,使学生 思维紧紧围绕“问题”层层展开,培养学生学习的兴趣,也充分体现了以教师为主导,学生 为主体的教学理念, 同时, 采用多媒体辅助教学,借助多媒体快捷、 形象、 生动的辅助作用, 突出知识的形成过程,符合学生的认识规律,也可以增加趣味. 本节课从引入课题开始, 尽可能让学生参与知识的产生及形成过程, 充分发挥学生的主

体作用,使学生全方位地参与问题结论的得出,教师只起到点拨作用.这样做增加了学生的 参与机会,提高了参与意识,教给了学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成 了教学的主体.

●教学流程 创设问题情境,引出问题:抛物线上的点应满足什么条件? 引导学生结合二次函数图象,比较、分析导出抛物线的定义以及焦点和准线的概念. 类比椭圆、双曲线标准方程的导出过程,推导抛物线的四种标准方程. 通过例1及其变式训练,使学生掌握求抛物线标准方程的方法. 通过例2及其变式训练,使学生掌握抛物线的概念的理解与应用. ? ? ? ? ?

在学会求抛物线标准方程的前提下,完成例3及其变式训练,从而解决抛物线的实际应用问题. ? 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. ?

完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.

课 标 解 读 1.掌握抛物线的定义及其标准方程.(重点、难点) 2.会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程.(易错点)

抛物线的定义 【问题导思】

图 2-4-1 如图 2-4-1,把一根直尺固定在图板内直线 l 的位置,一块三角板的一条直角边紧靠 直尺的边缘,再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点 A,截取绳子的长等

于 A 到直线 l 的距离 AC,并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F,用一支铅笔扣着绳 子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑动,这样铅笔 描出一条曲线,思考下面两个问题: 1.笔尖(设为动点 M)在运动过程中满足的条件是什么? 【提示】 笔尖到直线 l 的距离和到定点 F 的距离相等. 2.此曲线是否为椭圆或一支双曲线?为什么?如果不是,猜想它是什么? 【提示】 不是,因为它不满足椭圆或双曲线的定义,抛物线. 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 抛物线的标准方程 【问题导思】 抛物线的开口方向不同,所对应的方程不同,抛物线有几种不同形式的方程? 【提示】 随开口方向的不同,抛物线有四种形式的方程.

图形

标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

焦点坐标 p ( ,0) 2

准线方程 p x=- 2

p (- ,0) 2

p x= 2

p (0, ) 2

p y=- 2

p (0,- ) 2

p y= 2

求抛物线的标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点 M(-6,6); (2)焦点 F 在直线 l:3x-2y-6=0 上. 【思路探究】 (1)过点 M(-6,6)的抛物线有几种情况? (2)所求抛物线的焦点是什么?有几种情况? 【自主解答】 (1)由于点 M(-6,6)在第二象限, ∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,焦点在 x 轴上, 设其方程为 y2=-2px(p>0), 将点 M(-6,6)代入,可得 36=-2p×(-6), ∴p=3. ∴抛物线的方程为 y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在 y 轴上,设其方程为 x2=2py(p>0), 将点 M(-6,6)代入可得,36=2p×6,∴p=3, ∴抛物线的方程为 x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-6x 或 x2=6y. (2)①∵直线 l 与 x 轴的交点为(2,0), ∴抛物线的焦点是 F(2,0), p ∴ =2,∴p=4, 2 ∴抛物线的标准方程是 y2=8x. ②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0,-3), 即抛物线的焦点是 F(0,-3), p ∴ =3,∴p=6, 2 ∴抛物线的标准方程是 x2=-12y.

综上所述,所求抛物线的标准方程是 y2=8x 或 x2=-12y.

1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,其步骤为:(1)依据条件设出抛物线的标 准方程的类型; (2)求参数 p 的值; (3)确定抛物线的标准方程. 2.当焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设 y2=ax 或 x2=ay(a≠0)的形式,以简 化讨论过程.

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点在直线 x+3y+15=0 上; (2)开口向下的抛物线上一点 Q(m,-3)到焦点的距离等于 5. 【解】 (1)∵直线 x+3y+15=0 与 x 轴交点(-15,0),与 y 轴交点(0,-5), ∴抛物线方程为:y2=-60x 或 x2=-20y. (2)∵Q(m,-3)到焦点的距离等于 5. ∴Q 到准线的距离也等于 5. p ∴准线:y=2,即 =2,∴p=4. 2 即:抛物线标准方程为:x2=-8y.

抛物线定义的应用 1 1 已知点 A(3,2),点 M 到 F( ,0)的距离比它到 y 轴的距离大 . 2 2 (1)求点 M 的轨迹方程; (2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由. 1 【思路探究】 (1)根据“动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ”你能得出动点 M 2 到 F 的距离与它到哪条直线的距离相等?M 的轨迹是什么图形? (2)怎样通过抛物线的定义对|MA|+|MF|进行转化?M 在什么位置时该式取得最小值?

1 1 【自主解答】 (1)由于动点 M 到 F( ,0)的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M 到 2 2 1 1 F( ,0)的距离比它到直线 l:x=- 的距离相等.由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 2 2 p 1 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程应为 y2=2px(p>0)的形式,而 = ,所以 p=1,2p=2, 2 2 故轨迹方程为 y2=2x.

(2)如图,由于点 M 在抛物线上,所以|MF|等于点 M 到其准线 l 的距离 |MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当 A,M,N 三点共线时,|MA| +|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,这时 M 的纵坐标为 2,可设 M(x0,2)代入抛物线方程得 x0=2,即 M(2,2).

1.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此, 抛物线定义的功能是可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题. 2.本题求解两点间距离和的最小值,可以用抛物线的定义进行转化,再化折线为直线 解决问题.

已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为( A. 17 2 B.3 ) C. 5 9 D. 2

【解析】 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图 可得,

1 ∴点 P 到准线 x=- 的距离 d=|PF|, 2 易知点 A(0,2)在抛物线 y2=2x 的外部, 连结 AF 交 y2=2x 于点 P, 欲使所求距离之和最小,只需 A,P,F 共线,

∴其最小值为 |AF|= 1 17 ?0- ?2+?2-0?2= . 2 2

【答案】 A

抛物线的实际应用 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米, 3 高 2 米,载货后船露出水面上的部分高 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小 4 船开始不能通航? 【思路探究】 【自主解答】 建系 → 设方程 → 求方程 → 求出相关量 → 解决问题

如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为 x2=-2py(p>0),由题意,将 B(4,-5)代入 8 方程得 p= , 5 16 ∴抛物线方程为 x2=- y. 5 ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航. 设此时船面宽为 AA′,则 A(2,yA), 16 5 由 22=- yA,得 yA=- . 5 4 3 3 又知船露出水面上部分为 米,设水面与抛物线拱顶相距为 h,则 h=|yA|+ =2(米),即 4 4 水面上涨到距抛物线拱顶 2 米时,小船不能通航.

1. 本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题, 利用数学模型, 通过数学语言(文字、 符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题. 2.以抛物线为数学模型的实例很多,如拱桥、隧道、喷泉等,应用抛物线主要体现在: (1)建立平面直角坐标系,求抛物线的方程.(2)利用已求方程求点的坐标.

如图 2-4-2 所示,

图 2-4-2 水池中央有一喷泉,水管的长|O′P|=1 m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线的形状,先向 上至最高点后落下,若最高点距水面 2 m,点 P 距抛物线的对称轴 1 m,则水池的直径至少 应设计为多少米?(精确到个位) 【解】如图所示,建立平面直角坐标系. 设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0). 1 由题意得 P(-1,-1),∴p= , 2 故抛物线的方程为 x2=-y. 设 B(x,-2),则 x= 2,∴|O′B|=1+ 2. ∴水池的直径为 2(1+ 2)≈5(m),即水池的直径至少应设计为 5 m.

忽略对焦点位置的讨论致误 顶点在原点,焦点在 x 轴上,过焦点作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 A,B 两 点,AB 的长为 8,求抛物线的方程. 【错解】 由于抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上, 因此设所求抛物线的方程为 y2=2px(p>0). 因为|AB|=2p=8,所以所求抛物线的方程为 y2=8x. 【错因分析】 错解中只考虑到焦点在 x 轴正半轴上的情况,而忽略了焦点也可能在 x 轴的负半轴上,因此漏解. 【防范措施】 抛物线有四种标准方程,每一种所对应的焦点与准线都不同,因此,在 求抛物线的方程时,要仔细考虑各种情况,以免因漏解而失分. 【正解】 由于抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上, 因此设所求抛物线的方程为 y2=2ax(a≠0). 因为|AB|=|2a|=8,所以 2a=± 8. 故所求抛物线的方程为 y2=± 8x.

1.利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互 转化关系能给解题带来很大的方便,要注意运用定义解题. 2.在求抛物线的标准方程时,由于其标准方程有四种形式,易于混淆,解题时一定要 做到数形结合,按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数 p 的值)”的程序求解.

1.若动点 P 到定点 F(-4,0)的距离与到直线 x=4 的距离相等,则 P 点的轨迹是( A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线

)

【解析】 动点 P 的条件满足抛物线的定义. 【答案】 A 2.抛物线 x2=-16y 的焦点坐标是( )

A.(0,-4) B.(0,4) C.(4,0) D.(-4,0) 【解析】 p p =4,焦点在 y 轴上,开口向下,焦点坐标应为(0,- ),即(0,-4). 2 2

【答案】 A 3.抛物线 y=2x2 的准线方程为________. 1 p 1 【解析】 化方程为标准方程形式为 x2= y,故 = ,开口向上,∴准线方程为 y=- 2 2 8 1 . 8 1 【答案】 y=- 8

4.抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M 的横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,求此抛 物线方程和 M 点的坐标. p 【解】 设焦点为 F(- ,0), 2 M 点到准线的距离为 d, 则 d=|MF|=10, p 即 9+ =10, 2 ∴p=2, ∴抛物线方程为 y2=-4x. 将 M(-9,y)代入抛物线的方程, 得 y=± 6. ∴M 点坐标为(-9,6)或(-9,-6).

一、选择题 1.抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为( A.2 B.3 C.4 D .5 )

【解】 抛物线准线 y=-1,由抛物线定义知,点 A 到焦点的距离等于到准线的距离 为 5. 【答案】 D 2.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 B.1 C.2 D.4 )

p 【解析】 由抛物线的标准方程得准线方程为 x=- . 2 ∵准线与圆相切,圆的方程为(x-3)2+y2=16, p ∴3+ =4,∴p=2. 2 【答案】 C 3.(2013· 海口高二检测)焦点在 y 轴上,且抛物线上一点 A(m,3)到焦点的距离为 5,则 抛物线的标准方程为( )

A.y2=8x C.y2=-8x

B.x2=8y D.x2=-8y

p 【解析】 设抛物线方程为 x2=2py(p>0),∵A(m,3)到焦点的距离为 5,∴ +3=5, 2 ∴p=4,∴抛物线为 x2=8y. 【答案】 B 4.(2013· 济南高二期末)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|=( A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 )

【解析】 由抛物线定义得|PF|=|PA|,又由直线 AF 的斜率为- 3可知,∠PAF=60° , 所以△PAF 是等边三角形, 4 即|PF|=|AF|= =8. cos 60° 【答案】 B 5.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A、B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( 3 A. 4 B.1 ) 5 C. 4 7 D. 4

1 【解析】 如图,设 AB 中点为 P,分别为 A,B,P 向准线 x=- 作垂线,垂足分别 4 为 A′,B′,P′.

则|AA′|=|AF|,|BB′|=|BF|, 于是|PP′|= |AA′|+|BB′| |AF|+|BF| 3 = = . 2 2 2

1 3 1 5 故 P 到 y 轴的距离为|PP′|- = - = . 4 2 4 4 【答案】 C 二、填空题 1 6.(2013· 金乡高二检测)抛物线 y= x2(a≠0)的焦点坐标为________. a

1 a 【解析】 抛物线 y= x2 的标准形式为 x2=ay,故焦点在 y 轴上,坐标为(0, ). a 4 a 【答案】 (0, ) 4 x2 y2 7.(2013· 三明高二检测)以双曲线 - =1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦 4 5 点的抛物线方程为________. x2 y2 【解析】 由 - =1 知 a2=4,b2=5, 4 5 ∴c2=a2+b2=9,双曲线右焦点为(3,0), p 依题意,抛物线的焦点 F(3,0), =3,∴p=6, 2 ∴抛物线方程为 y2=12x. 【答案】 y2=12x 8.对标准形式的抛物线,给出下列条件; ①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为 y2=10x 的是________.(要求填写适合条件的序号) 【解析】 抛物线 y2=10x 的焦点在 x 轴上,②满足,①不满足;设 M(1,y0)是 y2=10x p 5 7 5 上一点,则|MF|=1+ =1+ = ≠6,所以③不满足;由于抛物线 y2=10x 的焦点为( ,0), 2 2 2 2 5 过该焦点的直线方程为 y=k(x- ),若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则 k=-2, 2 此时存在,所以④满足. 【答案】 ②④ 三、解答题 x2 y2 9.求焦点在 x 轴上,且焦点在双曲线 - =1 上的抛物线的标准方程. 4 2 【解】 由题意可设抛物线方程为 y2=2mx(m≠0), m 则焦点为( ,0). 2 x2 y2 ∵焦点在双曲线 - =1 上, 4 2 ∴ m2 =1,求得 m=± 4, 4×4

∴所求抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-8x. 10.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图 2-4-3 所示,某卡车空车时

能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽 3 米,车与箱共高 4.5 米,问此车能否通过此隧道?说 明理由.

图 2-4-3 【解】 建立如图所示的平面直角坐标系,

则 B(-3,-3),A(3,-3). 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 将 B 点的坐标代入,得 9=-2p· (-3), 3 ∴p= ,∴抛物线方程为 x2=-3y(-3≤y≤0). 2 ∵车与箱共高 4.5 m, ∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5 m. 设抛物线上点 D 的坐标为(x0,-0.5),D′的坐标为(-x0,-0.5), 则 x2 0=-3×(-0.5),解得 x0=± 3 6 =± . 2 2

∴|DD′|=2|x0|= 6<3,故此时车不能通过隧道. 11.在抛物线 y=-x2 上求一点 M,使 M 点到焦点 F 的距离与到点 A(1,-2)的距离之 和最小. 【解】 由题意知 A 在抛物线内部,如图,设 M 是抛物线上任意一点,l 是抛物线的准 线,过 M 作 MM1⊥l,垂足为 M1,过 A 作 AA1⊥l,垂足为 A1,且交抛物线于点 P,|MA|+ |MF|=|MA|+|MM1|≥|AA1|=|PA|+|PA1|=|PF|+|PA|.

即 P 点为所求,把 x=1 代入得:y=-1,故 P(1,-1).

(教师用书独具)

设圆 A 的方程为 x2+y2-10x=0,求与 y 轴相切,且与已知圆 A 相外切的动圆圆心 M 的轨迹方程.

【自主解答】 如图所示,圆 A 的方程可化为(x-5)2+y2=52,所以 A(5,0),设直线 l 的方程为 x=-5. 结合已知条件,得动圆圆心 M 到定点 A 和定直线 l 的距离相等,所以动圆圆心 M 的轨 迹为抛物线. 根据抛物线的定义可得其轨迹方程为 y2=20x(x>0). 又由于圆 M 与 y 轴相切, 若圆 M 与 y 轴切于原点, 则必与圆 A 相切. 根据外切的条件, 得 M 的轨迹方程为 y=0(x<0),当 x>0 时,圆 M 与圆 A 内切,不符合条件. 所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 y2=20x(x>0)或 y=0(x<0).

如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与到直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )

A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线

【解析】 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,C1D1⊥平面 BB1C1C,连结 PC1,则 PC1⊥

C1D1,所以 P、C1 两点间的距离 PC1 即为 P 到直线 C1D1 的距离.所以在平面 BB1C1C 内, 动点 P 到定点 C1 的距离等于到定直线 BC 的距离.根据抛物线的定义,知点 P 的轨迹所在 的曲线是以点 C1 为焦点,以直线 BC 为准线的抛物线. 【答案】 D


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