nbhkdz.com冰点文库

3.3.2利用导数研究函数的极值与最值(石)


3.3.2;利用导数求 函数的极值与最值

高二数学 选修1-1

第三章

导数及其应用

一、知识回顾:

1.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有
导数,如果在 这个区间内f/(x) >0,那么函数y=f(x) 在 为这个区间内 的增函数

;如果在这个区间内f/(x)<0, 那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数. y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x) f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x)为常数.

2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域;
定义域为R时可省

②求函数的导数 f/(x);

③解不等式 f/(x)>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/(x)<0 得f(x)的单调递减 区间.

3、练习
1. 求出函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 24x ? 20 的单调区间
f ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 24 ? 3( x ? 4)( x ? 2) 解
令 f ?( x ) ? 0, 得临界点 x1

? ?4, x2 ? 2
2 0 (2,+∞)

区间 f ’(x) f(x)

(-∞,-4)

-4 0

(-4,2)

+

-

+

f(x)在(-∞,-4)、 (2,+∞)内单调递增, f ’(x)>0 (x+4)(x-2)>0 x<-4或x>2 f(x)在(-4,2)内单调递减。 f ’(x)<0 (x+4)(x-2)<0 -4<x<2 求导数—求临界点—列表—写出单调性

二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=x3+3x2-24x-20的
图象,从图象我们可以看出下面的结论:
函数在X=0的函数值比它附近所 有各点的函数值都大,这时我们说 f(0)是函数的一个极大值;0是函数 的一个极大值点。函数在X=2的函 数值比它附近所有各点的函数值都 小,我们说f(2)是函数的一个极小 值, 2是函数 的一个极小值点。

y

2 0

x

(1)当x=-4时函数的函数值最大, 导数的符号有什么变化规律? f(x)在此点的导数是多少呢? 在x=-4附近,f(x)先增后减,f ’(x)先正后负, 对于一般函数是否也有同样的性质吗? (2)当x<-4时f(x)的单调性是怎样的呢? f’(x)连续变化,于是有f ’(-4)=0.f(-4)最大。 (3)当x>-4时f(x)的单调性是怎样的呢? f 最高点 f ’(-4)=0
单调递增 f ’(x)>0 单调递减 f’(x)<0

o a

x





x<-4 x=-4

x>-4

2.探索思考:
如图,函数 y=f(x)在x1,x2,x3,x4等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

Y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附 近,y=f(x)的导数的符号有什么规律? y

f ( x4 ) f ( x1 )

o

a

X1

X2

X3

X4

b

x

从而我们得出结论: 若x0满足 f/(x)=0, 且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值 点,f(x0)是极值,并且如果 f/(x) 在x0两侧满足 “左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0) 是极大值;如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右 正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.

极大值与极小值统称为极值.

从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切 线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切 线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左 侧切线的斜率为负,右侧为正.

学案上题
3.(1) 如图,y=f(x)在a、b等点的函 数值与这些点附近的函数值有什么 关系?导数值呢?导数符号呢? y

探究

ca

b

f o g

h

I

j

x

一、复习导入------导入新课
3.(2) 如图,y=f(x)在a、b点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系? 导数值呢?导数符号呢? f ’(b)=0 极大点 y f ?( x ) >0 f ?( x )<0

探究

f ?( x ) <0 a
f ’(a)=0

f ?( x) >0
o 极小值点 b

x y-=f(x)

一、极值
一般地, 设函数

y
f ?(a) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0

?x ? 0
f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(b ? ?x) ? 0

f (x) 在点x0附近有
定义, 如果对x0附近 的所有的点, 都有

f ?(b ? ?x) ? 0
3

f ( x) ? f ( x0 )
-2

-1

1

2

f ?(b) ? 0
4

x

5

我们就说 f (x0)是 f (x)

O

a

b

的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.
反之, 若

f ( x) ? f ( x0 ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极

小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值.

探究:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?
y y

分析y?x3
3

y?f(x)

由f ( x) ? x , 得f ' ( x) ? 3x ,
2

O

x
a

在x ? 0处,f(0) 0, ' ?
f ?(x2)=0 f ?(x3)=0

O

x1

f ?(x1)=0

x2 x

x3 b x ? 0是极值点吗?

结论:极值点处,如果有切线,切线水平的.即: f ?(x)=0

思考;若 f ?(x )=0,则x0是否为极值点?
0

思考
?若寻找可导函数极值点,

y f (x)?x3

可否只由f?(x)=0求得即可? 探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点?
不是该函数的极值点.

O

x

f?(x)=3x2 当f?(x)=0时,x =0,而x =0
f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点

f?(x0) =0

注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值

极小值

即: 极值点两侧单调性互异

练习1
下图是导函数 y

y ? f ?(x) 的图象, 试找出函数 y ? f (x) y ? f ?( x)
x3 x x4 x5

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

x2 a x1 O

x6

b

1 3 例1 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, 所以 f ?( x) ? x ? 4. 3 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2. 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ?2 ; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)


2 0

( 2, +∞)

f ?( x)

+

0

+

f (x) 单调递增

28 / 3 单调递减

? 4 / 3 单调递增

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

例题4图像
y f(x)=1/3 x3-4x+4 + 28/3

-2 -4/3

o

2
+ x

1 解:f(x)= ? x, 所以x ? 0 x 1 x2 ?1 f '( x) ? ? 2 ? 1 ? 2 , f '( x) ? 0时,x ? ?1 x x 当x变化时,f'(x),f(x)变化如下表

1 y? ?x x

导函数的正负是 交替出现的吗?

不是

x
f '( x)

X<-1

+

-1 0
极大值

(-1,0) (0,1) -

1 0
极小值

X>1 +

f ( x)

所以,当x=-1是,函数的极大值是-2,当x=1时,函数的 极小值是2

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤:

(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 x0 f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x0)左正右负,则f(x0)为极大值; 若 f ’(x0)左负右正,则f(x0)为极小值 +

+

求导—求极点—列表—求极值

x0

二、最值
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函 数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并 不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益, 常常遇到如何能使用料最省、产量最高,效益最 大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个 函数的最大值和最小值问题
函数在什么条件下一定有最大、最小值?他们 与函数极值关系如何?

知识回顾
1.最大值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值

2.最小值: 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实 数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最小值

观察下列图形,你能找出函数的最值吗?

x? (a, b) 在开区间内 的连续函数 不一定有最 大值与最小 值.
在闭区间 x ? a, b] [ 上的连续函 数必有最大 值与最小值

y

因此:该函数没 有最值。 y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

y f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

如何求出函数在[a,b]上的最值?
y
y=f(x)

a

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

一般的如果在区间,[a,b]上函数y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它 必有最大值和最小值。

教材p98练习A1

观察右边一个定义在 区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象:

y

y=f(x)

a

x1

o

X2

X3

b

x

f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值,_________是极 f(b) 大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值 f(x3) 是_______。
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

新授课
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值);
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个最小值.

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.

求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).

题型:求函数的最大值和最小值
例3:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大 值与最小值.
y? ? 4 x 3 ? 4 x. 解:

令 y? ? 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y?, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.

单调性的判别法 单 调 1.求导,2.求临界点 性 3. 列表,4.单调性

y

y

y ? f ( x)
A

B

A y ? f ( x)
B

o

a

f ’(x)>0单调弟增
y

b

x

o a

f ’(x)<0单调递减
y

b

x

函 数 的 性 质

单调区间的求法
o

函数极值的定义

x0

x

o

x0

x

函 数 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极 值 求极值的步骤:1.求导,2.求极点,3.列表,4.求极值
y y

函数极值的求法

? ?
o
x0

?
x

?
x0

小 结

o

x

设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数,且在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) ? 0 .

必要条件

练习1
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x

f ?( x)
f (x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表: (2) 令f
2 3

x

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?( x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: ?( x) ? 12 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2. (3) 令f
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 令f ?( x) ? 3 ? 3x 2 ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

练习3:函数 y = x? 3 x? + -9x在 [-4 , 4 ]上的最大 值为 . 76 ,最小值为 -5 分析: (1) 由 f ?(x)=3x? +6x-9=0, 得x1=-3,x2=1 函数值为f (-3)=27, f (1)=-5 (2) 区间[-4 , 4 ]端点处的函数值为 f (-4) =20 , f (4) =76 当x变化时,y′ 、 y的变化情况如下表: x y′ y -4 20 (-4,-3) + -3 0 (-3,1) 1 (1,4) 0 + 4 0 76

27

-5

比较以上各函数值,可知函数在[-4 , 4 ]上的最大 值为 f (4) =76,最小值为 f (1)=-5

总结
? 1.理解极值概念时需注意的几点 ? (1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅 对某一点的左右两侧附近的点而言的. ? (2)极值点是函数定义域内的点,而函数定 义域的端点绝不是函数的极值点. ? (3)若f(x)在[a,b]内有极值,那么f(x)在[a, b]内绝不是单调函数,即在定义域区间上 的单调函数没有极值.

? (4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个 函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大 值,在某一点的极小值可能大于另一点的极大 值.(如图(1))

? (5)若函数f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的 分布是有规律的(如图(2)所示),相邻两个极大值 点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小 值点之间必有一个极大值点.

? 2.导数为0的点不一定是极值点.


3.3.2利用导数研究函数的极值

部分 导学案 3.3.2 利用导数研究函数的极值(1) 【学习目标】 知识与技能:了解函数在某点取得极值的条件,会用导数求多项式函数的极大值、极小值,以及闭区 间...

3.3.2 利用导数研究函数的极值、最值

第三章 导数 学科 课型 数学 新授 编制人 课题 课时 3.3.2 利用导数判断函数极值最值 2 学习目标 1、 理解极值的概念和极值点的意义,通过图像直观引入极...

3.3.2利用导数研究函数的极值

高二数学导学案教学课题:3.3.2 利用导数研究函数的极值 课标要求:结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件;会用导数求函数的极大值,极小值;会求在给定...

利用导数研究函数的极值和最值

利用导数研究函数的极值和最值_数学_高中教育_教育专区。考点 3 利用导数研究...(x)的最小值,并比较 g(x)的最小值与 0 的大小; (2)求证:f(x)在 (...

利用导数研究函数的极值和最值(理)

§3.3 利用导数研究函数的极值和最值 知识要点梳理 一.函数的极值 1.函数极值定义 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都...

2017年江苏数学3.2 利用导数研究函数的极值与最值(测)(解析版)

2017年江苏数学3.2 利用导数研究函数的极值与最值(测)(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。班级___ 姓名___ 学号___ 得分___ (满分 100 分,测试...

3.2导数与函数的单调性、极值、最值

中国教育培训领军品牌 §3.2 教学目标 导数与函数的单调性、极值最值 1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 2...

3-3-2 函数的极值与导数 函数的最大(小)值与导数

3-3-2 函数的极值与导数 函数的大(小)值与导数_数学_自然科学_专业资料。1.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[-2,1]上的最大值、最小值分别 是( ) A....

3.2导数与函数的单调性、极值、最值

§3.2 教学目标 导数与函数的单调性、极值最值 1. 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。 2. 了解函数在某点...