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2.2.1直线与平面平行的判定 (2)


2.2.1直线与平面平行的判定

复习引入: 1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面?内 直线a与平面?相交 直线a与平面?平行

a ? a a ?? ?

a

A

? a//?

a∩?=A

2.如何判定一

条直线和一个平面平行呢?

实例探究:
在黑板的上方装一盏日光灯,怎样才能使 问题1: 日光灯与天花板平行呢?

问题2: 将课本的一边紧贴桌面,沿着这条边转动 课本,课本的上边缘与桌面的关系如何呢? 问题3:把门打开,门上靠近把手的边与墙面所 在的平面有何关系?

抽象概括:
直线与平面平行的判定定理:

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行. a

a ?? b ?? a // b

a //?

?

b
a//?

简述为:线线平行?线面平行

应用巩固:
例1.空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的 中点,试判断EF与平面BCD的位置关系,并予 以证明. A E D B F C

解:EF∥平面BCD。 证明:如图,连接BD。在△ABD中, E, F分别为AB,AD的中点,

∴EF ∥BD,
BD

? ?

又EF

? 平面BCD,

平面BCD,

∴EF ∥平面BCD。

解后反思:通过本题的解答,你可以总结出什么解题 思想和方法?

反思1:要证明直线与平面平行可以运用判定定理; 线线平行 线面平行

反思2:能够运用定理的条 件是要满足六个字,

a ?? b ?? a // b

a //?

“面外、面内、平行”。

反思3:运用定理的关键是找平行线。找平行线又经 常会用到三角形中位线定理。

例2. 如图,四面体ABCD中,E,F,G,H分别 是AB,BC,CD,AD的中点. (1)E、F、G、H四点是否共面? (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系;

(3)你能说出图中满足线面平行位置
关系的所有情况吗? E B H D

A

G F C

解:(1)E、F、G、H四点共面。 ∵在△ABD中,E、H分别是AB、 AD的中点.

A E

1 ∴EH∥BD且 EH= BD 2 1 同理GF ∥BD且 GF= BD 2 EH ∥GF且EH=GF
∴E、F、G、H四点共面。 (2) AC ∥平面EFGH

H
D G F

B

C

(3)由EF ∥HG ∥AC,得 EF ∥平面ACD AC ∥平面EFGH HG ∥平面ABC

A E B H

D
G

由BD ∥EH ∥FG,得 BD∥平面EFGH EH ∥平面BCD FG ∥平面ABD

F

C

思考交流:
如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D 中, P 是棱A1B1 1 的中点,过点 P 画一条直线使之与截面A1BCD1 平行.
D1 A1 D A P ? B1 C C1

B

如何证明线面平行?
线线平行 线面平行
关键:找平行线 面内 条件 面外

平行

课堂练习
1、如图,在长方体ABCD——A1B1C1D1六个表面中,

(Ⅰ)与AB平行的直线有: A1B1、CD、C1D1 (Ⅱ)与AB平行的平面有: 平面A1C1、平面D1C
D1 A1 B1 C1

D A B

C

2、如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1中, E为DD1的中点。试判断BD1与平面AEC的位 置关系,并说明理由。
D1 A1 E D A
F

C1 B1 C B

3、如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1 中,E、F分别是棱BC与C1D1的中点。 求证:EF//平面BDD1B1.
D1 A1 B1 F C1 A1 D1 F C1 B1

M

ND M
A B E

C A

D E B

C

4、如图,已知1-37,在三棱柱ABC—— A1B1C1中,D是AC的中点。

求证:AB1//平面DBC1

A1

C1

B1

P
D A C

B

小结:
1.直线与平面平行的判定: (1)运用定义; (2)运用判定定理: 线线平行?线面平行 2.应用判定定理判定线面平行时应注意六个字:

(1)面外,(2)面内,(3)平行。
3.应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线
方法一:三角形的中位线定理;

方法二:平行四边形的平行关系。

课外探讨:
1、如何证明面面平行呢?

2、如图,已知有公共边AB的 两个全等矩形ABCD和ABEF 不在同一个平面内,P、Q对 角线AE、BD上的动点。
当P、Q满足什么条件时, PQ∥平面CBE?

E

F P B C Q A D


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