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2014年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题参考答案


2014 年全国高中数学联赛黑龙江预赛试题(高二) 参 考 答 案

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)

题号 答案

1 C

2 B

3 D

4 C

>5 A

6 A

7 D

8 D

9 A

10 C

11 B

12 D

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2015

13.

3 3

14.

3 5 k ? 或k ? 4 4

15.

?1? ?? ? ?2?

16. ? 2 , ? ? e 2e ?

?1

1 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. 解: (Ⅰ)由正弦定理: sin A cos C ? 2 sin B cos A ? sin C cos A

? sin( A ? C ) ? 2 sin B cos A

? sin B ? 2 sin B cos A ,又 sin B ? 0 ? 1 ………………………………4 分 ? cos A ? 0? A?? ?A? 2 3 b a (Ⅱ)由正弦定理得, ? ? 2,? b ? 2sin B sin B sin A
由余弦定理得,

a 3 ?a? AD ? b ? ? ? ? 2? b cos C ? 4sin 2 B ? ? 2 3 sin B cos C 2 4 ?2? 3 2? 3 ? 4sin 2 B ? ? 2 3 sin B cos( ? B ) ? sin 2 B ? 3 sin B cos B ? 4 3 4 3 1 5 ? 5 sin 2 B ? cos 2 B ? ? sin(2 B ? ) ? ………………………………………8 分 ? 2 2 4 6 4 2 ? ? ? 7 ? ? ? ? ? ? B ? ? 0, ? ? ? 2B ? ? ? ? , 6 ? 6 6 ? ? 3 ? ? ? 1 ? sin(2 B ? ) ? ? ? ,1? 6 ? 2 ? ? 3 3? ………………………………………10 分 ? AD ? ? ? 2 , 2? ? ?
2 2

2

18. 解: (Ⅰ)因为 C1 F / / 平面 AEG 又 C1 F ? 平面 ACC1 A1 ,平面 ACC1 A1 ? 平面 AEG ? AG ,
第 1 页 共 5 页

所以 C1 F / / AG .

---------------------------------2 分

因为 F 为 AA1 中点,且侧面 ACC1 A1 为平行四边形 所以 G 为 CC1 中点,所以

CG 1 ? . CC1 2

------------------------3 分

(Ⅱ)因为 AA1 ? 底面 ABC , 所以 AA1 ? AB , AA1 ? AC , 又 AB ? AC , 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz , 设 AB ? 2 ,则由 AB ? AC ? AA1 可得 C (2,0,0), B (0, 2,0), C1 (2,0, 2), A1 (0,0, 2) ------------5 因为 E, G 分别是 BC , CC1 的中点, 所以 E (1,1,0), G (2,0,1) .
C1 z A1 B1 G F

x C E y B

A

??? ? ???? EG ? CA1 ? (1, ?1,1) ? (?2, 0, 2) ? 0 .
所以 EG ? CA1 ,所以 EG ? A1C . (Ⅲ)设平面 AEG 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ??? ? ? ? n ? AE ? 0, ? x ? y ? 0, 即? --------------------------10 分 ? ???? ? ?n ? AG ? 0, ?2 x ? z ? 0. 令 x ? 1 ,则 y ? ?1, z ? ?2 ,所以 n ? (1, ?1, ?2) . 由已知可得平面 A1 AG 的法向量 m ? (0,1,0) 所以 cos ? n, m ?? ---------------9 分

??? ?

????

---------------------------7 分

n?m 6 ?? | n |?| m | 6

由题意知二面角 A1 ? AG ? E 为钝角, 所以二面角 A1 ? AG ? E 的余弦值为 ? 19. (Ⅰ)解: a ? 0.15 , b ? 30 .

6 . 6

-----------------------12 分 ……………… 2 分

(Ⅱ)解:由表可知:灯泡样品中优等品有 50 个,正品有 100 个,次品有 50 个, 所以优等品、正品和次品的比例为 50 :100 : 50 ? 1: 2 :1 . 所以按分层抽样法,购买灯泡数 n ? k ? 2k ? k ? 4k ( k ? N ) , 所以 n 的最小值为 4 .
第 2 页 共 5 页
?

…………… 5 分

(Ⅲ)解: X 的所有取值为 0,1, 2,3 . 由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为 0.1 ? 0.15 ? 0.25 , 从本批次灯泡中购买 3 个,可看成 3 次独立重复试验,
0 所以 P ( X ? 0) ? C3 ? (1 ? )3 ?

1 4

27 , 64

1 1 27 , P ( X ? 1) ? C1 ? (1 ? ) 2 ? 3? 4 4 64
………… 9 分

1 1 9 1 3 1 . 2 , P ( X ? 3) ? C3 P ( X ? 2) ? C3 ? ( ) 2 (1 ? )1 ? 3 ?( ) ? 4 4 64 4 64
所以随机变量 X 的分布列为:

X P

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64
…………11 分

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ……………12 分 64 64 64 64 4 1 k 1 k (注:写出 X ? B (3, 1 ) , P ( X ? k ) ? C3 ( ) (1 ? )3? k , k ? 0,1, 2, 3 . 请酌情给分) 4 4 4 20. 解:如图,从 D 向 ?ABC 三边引垂线,垂足分别为 E,F,G, 连结 EF,FG,EG 因 A,F,D,E 四点共圆,AD 为直径,由正弦定理得
所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

EF BC , ( R 为 ?ABC 的外接圆半径) ? sin ?A ? AD 2R 1 故 EF ? ………6 分 AD? BC 2R 1 1 同理 FG ? AC ? BD , GE ? AB?CD 2R 2R 因为 AC ? BD ? AD ? BC ,所以 EF ? FG .
由 ?ADB ? ?ACB ? 90 得 ?1 ? ?2 ? 90 ,
? ?

而 ?3 ? ?1 , ?4 ? ?2 , 因此 ?EFG ? 90 , ?EFG 为等腰直角三角形,故
?

AB?CD GE ? ? 2 AC ? BD FG

………12 分

另解:如图,AD , BD , CD 的延长线与的外接圆分别相交于 G , E , F, 连接 GE , EF , FG

EF BC ? FD BD FG AC 由 ?FGD ∽ ?ACD ,得 ? FD AD BC AC 由 AC ? BD ? AD ? BC 得 ,故 EF ? FG ? BD AD ?EFD ∽ ?CBD ,故

……………6 分

第 3 页 共 5 页

由 ?ADB ? ?ACB ? 90 得 ?1 ? ?2 ? 90 ,而 ?3 ? ?1 , ?4 ? ?2 ,
? ?

因此 ?EFG ? 90 , ?EFG 为等腰直角三角形,
?

AB GE , ? BD GD CD GD AB ?CD GE GD GE ?ACD ∽ ?FGD , ,故 ? ? ? ? 2 ? AC ? BD GD FG FG AC FG ?ABD ∽ ?EGD ,
21. 解(Ⅰ)依题意有 c ? 2 ,

………12 分

c 6 . ? a 3

可得 a 2 ? 6 , b 2 ? 2 .

故椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 6 2

………3 分

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .

? y ? k ( x ? 2), ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6
………5 分

消去 y 并整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12 k 2 x ? 12 k 2 ? 6 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) . 故 x1 ? x2 ?

12 k 2 12k 2 ? 6 , . ? x x 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2

则 AB ? 1 ? k

x1 ? x 2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ?

2 6( k 2 ? 1) .………7 分 3k 2 ? 1

设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) .

6k 2 2k 可得 x0 ? , y0 ? ? 2 . 2 3k ? 1 3k ? 1
直线 MP 的斜率为 ? 所以 MP ? 1 ?

1 ,又 xP ? 3 , k

1 ? x0 ? xP ? k2

k 2 ? 1 3( k 2 ? 1) . ? k 2 (3k 2 ? 1)

………10 分

当△ ABP 为正三角形时, MP ?

3 AB , 2

可得

k 2 ? 1 3( k 2 ? 1) 3 2 6( k 2 ? 1) , 解得 k ? ?1 . ? ? ? k 2 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1
………12 分

即直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 .
第 4 页 共 5 页

22. 解: (Ⅰ)对一切 x ? (0,??), f ( x) ? g ( x) 恒成立, 即 x ln x ? ax ? ? x ? 2 恒成立.
2

也就是 a ? ln x ? x ? 令 F ( x) ? ln x ? x ?

2 在 x ? (0,?? ) 恒成立. x

2 , x 1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) , ? 则 F ? ( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x2 x2 上 F ? ( x) ? 0 , 在 (0, 1) 上 F ? ( x) ? 0 ,在 (1 , ? ?) 上 因此, F ( x) 在 x ? 1 处取极小值,也是最小值, 即 Fmin ( x) ? F (1) ? 3 ,
所以 a ? 3 . f ( x) ? x ln x ? x , (Ⅱ)当 a ? ?1时, ………3 分

f ? ( x ) ? ln x ? 2 ,由 f ? ( x ) ? 0 得 x ?
①当 0 ? m ?

1 . e2

………4 分

1 1 1 时,在 x ? [ m, 2 ) 上 上 f ? ( x ) ? 0 ,在 x ? ( 2 , m ? 3]上 上 f ? ( x) ? 0 2 e e e 1 1 因此, f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,也是最小值. f min ( x) ? ? 2 . e e 由于 f (m) ? 0, f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ? 0 因此, f max ( x) ? f ( m ? 3) ? ( m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ………6 分 1 ②当 m ? 2 时 , f ' ( x ) ? 0 ,因此 f ( x)在[m, m ? 3] 上单调递增, e 所以 f min ( x) ? f (m) ? m(ln m ? 1) , f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ………8 分 x 2 ………9 分 (Ⅲ)证明:问题等价于证明 x ln x ? x ? x ? ( x ? (0,?? )) , e e 1 1 由(Ⅱ)知 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x 的最小值是 ? 2 ,当且仅当 x ? 2 时取等, e e x 2 1? x 设 G ( x) ? x ? ( x ? (0,??)) ,则 G? ( x ) ? x ,易知 e e e 1 Gmax ( x) ? G (1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e
但?

1 1 1 2 ?? , 从而可知对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? x ? 成立 2 e e e ex

………12 分

第 5 页 共 5 页


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