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四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期10月月考试题 数学(文)


2015 年 10 月

绵阳南山中学 2015 年秋季高 2017 届 10 月月考 数学试题(文科)
命题人:尹
至 4 页.满分 110 分.考试时间 100 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名.考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上,并 将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答

题卡对应题目标号的位置上, 非选择题用 0.5 毫米的黑色 签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸.试题卷上答题 无效. 3.考试结束后,将答题卡收回.



审题人:刘群建

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题(本题满分 40 分,共 10 小题)

1.过点 M(- 3, 2),N(- 2, 3)的直线的斜率是 A.1 B.2 C.-1 D. 3 2

2.在空间直角坐标系中,一定点 P 到三个坐标平面的距离都是 1,则该点到原点 的距离是 A. C. 3 6 2 B. 3 D.1

3.已知两条直线 l1 :( ? -1)x+2y+1=0, l2 :x+ ? y+1=0 平行,则 ? = A.-1 或 2 C.-1 B.2 D.0 或 1

4.若直线 l 恒过 0, ? 3 ,与直线 3 x+3y-3=0 的交点位于 x 轴上方,则直线 l 的倾斜角的取值范围是
? ? 2? ? A. ? , ? ?4 3 ? ? ? 5? ? B. ? , ? ?4 6 ?

?

?

?? ? C. ? , ? ? ?4 ?

? ? ? ? ? ? 5? ? D. ? , ? ? ? , ? ?4 2? ?2 6 ?

x2 y2 3 5.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2 a b 3 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为 x2 A. +y2=1 3 C. x2 y2 + =1 3 2 x2 y2 B. + =1 12 4 D. x2 y2 + =1 12 8

6.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-16=0 的距离等于 1 的点有 A. 1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

7.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方 程 A.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 B.2x+y-3=0 D.4x+y-3=0

8.若实数 x,y 满足(x+5)2+(y-12)2=196,则 x2+y2 的最大值为 A.1 B. 3 3 C. 27 D. 729

2 9.已知圆 C 的圆心在曲线 y= 上,圆 C 过坐标原点 O,且分别与 x 轴、y 轴交于 x A,B 两点,则△OAB 的面积等于 A.2 C.4 B.3 D.8

x2 y2 10.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐 25 16 标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 A.18 C.12 B.15 D.10

第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分)
二、填空题(本题满分 20 分,共 5 个小题) 11.直线 2x+2y+1=0,x+y+2=0 之间的距离是________. 12.已知两圆 C1: ( x ?1)2 ? ( y ? 5)2 ? 50 ,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共 弦所在的直线方程是________________ 13. 已知直线 l1 :? x+3y-1=0 与直线 l2 : 2x+ ? ( ? -1)y+1=0 垂直, 则实数 ? =________ 14.2016 年,天空中将会多出一颗耀眼的星,它就是中国即将发射的“量子科学 实验卫星” ,该星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为 R,卫 星近地点,远地点离地面的距离分别为 r 1, r 2 ,则该卫星的离心率是 15. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :
e?
x2 y 2 ? ? 1 (a > b > 0) 的离心率 a 2 b2

6 ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3,则椭圆 C 的方程是 3

____________ 三、解答题(本题满分 40 分,共 4 个小题) 16. (本题满分 10 分) 求适合下列条件的直线方程,并用一般式表示结果 (1) 经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 x ? 3 y ? 0 的倾斜角的 4 倍; (2) 经过点 P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等.

17. (本题满分 10 分) 已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0, (1)求 C 点的坐标 (2)求直线 BC 的方程.

18. (本题满分 10 分)

已知 ?ABC 的三顶点坐标分别为: A(0,3), B(0, ?7), C( 21,0) (1)求 ?ABC 的外接圆 ? 的标准方程 (2)已知过 P(?2, ?3) 的直线 l 被 ?ABC 的外接圆 ? 截得的弦长为 2 21 , 求直线 l 的一般式方程

19. (本题满分 10 分) x2 y2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P, Q 两点, 且 OP⊥OQ(O a b 为原点). 1 1 (1)求 2+ 2的值 a b
5 (2)当 ?OPQ 的面积为 时,求椭圆的方程. 8

20.附加题(本题满分 10 分,计入总分) 如图,线段 OP、PR 可分别绕着端点 O、P 旋转,当 PR 的中点 Q 始终在 x 轴上 滑动且 OP ?
1 PR ? 1时; 2

(1)求点 R 的轨迹方程 Г ; (2)设斜率为 k 的直线 l 过点 C(-1,0)且交 Г 于 A,B 两点,试探究 Г 上是否 存在点 G,使得四边形 OAGB 为平行四边形?若存在,求出点 G 的坐标;若不 存在,请说明理由;

绵阳南山中学 2015 年秋季高 2017 届 10 月月考 数学试题(文科)参考答案
一、选择题(本题满分 40 分,共 10 个小题) AACB CDBD CB

二、填空题(本题满分 20 分,共 5 个小题) 3 2 11. 4 12. x ? 2 y ? 4 ? 0 13.
1 0或 3

r2 ? r1 14. r1 ? r2 ? 2 R

15.

x2
3

+y2=1

三、解答题(本题满分 40 分,共 4 个小题) 16 解(1)由已知:设直线 x ? 3 y ? 0 的倾斜角为 α ,则所求直线的倾斜角为 4α. ∵tan α=
3 ,?? ? 300 则 4? ? 1200 ,∴tan 4α=- 3 3

又直线经过点(-1,-3), 因此所求直线方程为 y+3=- 3 (x+1), 即 3 x+y+ 3 +3=0. ………………..5 分 (2)设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 1 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(4,1),∴l 的方程为 y=4x,即 x-4y=0. x y 若 a≠0,则设 l 的方程为a+a=1, 4 1 ∵l 过点(4,1),∴a+a=1,∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 x-4y=0 或 x+y-5=0. ……………………10 分 17 解(1)依题意知:kAC=-2,A(5,1), ∴lAC 为 2x+y-11=0, ?2x+y-11=0, 联立 lAC,lCM 得? ?2x-y-5=0, ∴C(4,3).……………………………………..5 分

?x0+5 y0+1? (2)设 B(x0,y0),AB 的中点 M 为? , 2 ?, ? 2 ? 代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0, ?2x0-y0-1=0, ∴? ?x0-2y0-5=0, ∴B(-1,-3),…………………………………….8 分 6 ∴kBC=5, 6 ∴直线 BC 的方程为 y-3=5(x-4), 即 6x-5y-9=0. ……………………………………..10 分
18.解(1)设 ?ABC 外接圆 ? 的方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

? 9 ? 3E ? F ? 0 ? 则有 ? 49 ? 7 E ? F ? 0 ? ?21 ? 21D ? F ? 0

? D?0 ? 解之得: ? E ? 4 ? F ? ?21 ?

则外接圆 ? 的方程: x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 即 x ? ( y ? 2) ? 25 ………………………………………..4 分
2 2

(2)由(1)及题意知圆心到直线 L 的距离: d ? 52 ? ( 21) 2 ? 2 ①当直线 L 的斜率不存在时: x ? ?2 符合题意……………………………………..5 分 ②当直线 L 的斜率存在时
设直线 L: y ? 3 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0

?d ?

2 ? 2k ? 3 k 2 ?1

?2

解之得: k ? ?

3 4

3 ? y ? 3 ? ? ( x ? 2) 4

即 3x ? 4 y ? 18 ? 0 ……………………………………..9 分 综上:直线 L 的一般式方程: x ? ?2 或 3x ? 4 y ? 18 ? 0 ….10 分
2 2 2 2 2 2 ?b x +a y =a b , 19.解(1):由? 消去 y, ?x+y-1=0

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,①

∵直线与椭圆有两个交点,∴Δ>0, 即 4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0?a2b2(a2+b2-1)>0, ∵a>b>0,∴a2+b2>1. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1 、x2 是方程①的两实根. a2?1-b2? 2a2 ∴x1+x2= 2 ,x x = 2 .② a +b2 1 2 a +b2 由 OP⊥OQ 得 x1x2+y1y2=0, 又 y1=1-x1,y2=1-x2, 得 2x1x2-(x1+x2)+1=0.③ 式②代入式③化简得 a2+b2=2a2b2.④ 1 1 ∴a2+b2=2. ?????????.5 分 (2) ? d ?
? PQ ? 5 4

1 2

? S?O P Q ?

1 1 ?d ? P Q ? 2 2

1 ? 2

5 ?P Q ? 8

2

由(1)知:x1+x2=

1 1 1 ,x1x2= 2 ? 2 b 2b 2

∴ PQ ? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 整理得: 7b4 ? 32b2 ? 16 ? 0 解之得: b2 ? 4 或 b 2 ?
4 7

1 2 5 ? 2 ?2 ? 2 4 b b 4

? a2 ? 4 ? 2 4 a ? ? ? 代入(1)中结论得 ? 7 (舍去)或 ? 2 4 2 ? ?b ? ?b ? 4 7 ?

故椭圆方程:

x2 y2 ? ? 1 ?????????.10 分 4 4 7

20.解(1)由题知 P 点的轨迹方程: x2 ? y 2 ? 1????????1 分 设动点 R(x,y),P(a,b)
?x?a ? 2a ? ? 2 由题知: ? ? y?b ? 0 ? ? 2

则 Q(2a,0)
x ? ?a? 则有 ? 3 ? b ? ? y ?

又因为 a 2 ? b2 ? 1
x2 故点 R 的轨迹方程Г : ? y 2 ? 1????????4 分 9

(2) 依题意得,直线 l:y=k(x+1),设 A(x1,y1),B(x2,y2),假设Г 上存在 点 G(x0,y0)使得四边形 OAGB 为平行四边形, ?x1+x2=x0, 则? ?y1+y2=y0. ????????5 分

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 消 y 整理得:(1+9k2)x2+18k2x+9(k2-1)=0, 2 ? ? y ?1 ? 9

所以 x1+x2=

?18k 2 1 ? 9k 2

?18k 2 2k y1+y2=k(x1+x2+2)=k( +2)= 2 1 ? 9k 2 1 ? 9k

? ?18k 2 x ? ? ?18k 2 2k ? 0 1 ? 9k 2 于是 ? 即点 G( , )????????.7 分 2 1 ? 9k 2 1 ? 9k ? y ? 2k ? 0 1 ? 9k 2 ?

? ?18k 2 ? 2 ? ? 1 ? 9k 2 ? ? 2k ? 又点 G 在椭圆Г 上,所以 ? ?? ?1, 2 ? 9 ? 1 ? 9k ?
整理得 45k 4 ? 14k 2 ? 1 ? 0
1 1 解之得: k 2 ? ? 或 k 2 ? ? ?????????????.9 分 5 9
故 Г 上不存在点 G,使得四边形 OAGB 为平行四边形……………10 分

2


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