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广东省佛山市顺德区均安中学高中数学 空间直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2

时间:2014-04-06


空间中直线与直线之间的位置关系(一) 学习目标 1. 掌握异面直线的概念 2.理解空间中直线的位置关系 3.平行公理及其应用

复习回顾
复习与准备:平面内两条直线的位置关系 相交直线 平行直线

a o b
平行直线 (无公共点)

a b

相交直线 (有一个公共点)

/>
观察引入
D

D
B

C
A B

A

C

C B
A

D

练习1:在教室里找出几
对异面直线的例子 。
fenghuangxueyi

上述图形中, 两条直线AB, CD 既不平行,又不相交

新课讲授 一.异面直线
1.异面直线的定义
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.

两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.

2.异面直线的画法(利用平面作为衬托)
b
?

b
b

?

a

?

a

?

a

课堂练习
1.分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。

b

a

a

M

b

a

b

?

?

?

?

?

?

a与b是异面直线

a与b是相交直线

a与b是平行直线

两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.

新课讲授 二.空间中直线与直线的位置关系
1.空间中两直线的三种位置关系 (1)相交m ? l ? P (2)平行 m // l
m l
P m

(3)异面直线
m l

l

P

只有一个公共点

没有公共点

没有公共点 不同在任一平面 不共面关系

在同一平面 共面关系

新课讲授 二.空间中直线与直线的位置关系
2.空间中两直线位置关系分类
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线

有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点

相交直线 平行直线 异面直线

例题选析
例1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线 AB与BB1 ,AB与
C1D1 ,AD1与 CD 是什么位置关系?为什么?
D1 C1 B1

解:AB与BB1相交 AB与C1D1平行 AD1与CD异面

A1

D A B

C

练习.在上例中,与AA1异面得直线有哪些? 小结:判断直线是否为异面直线:
(1)不平行 (2)不相交

课堂练习
1.如图所示:正方体的棱所在的直线中,与直线 A1B异面的直线有哪些?
D1 C1

C G H E F

A D B

A1

B1 D C B

A

2.如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那 么 AB, CD,EF,GH这四条线段所在直线哪些是异面直线

课堂练习 3.空间中两条直线的位置关系有( )

A. 1种 B. 2种

C. 3种

D.无数种


4.空间中两条平行或相交的直线一定( A. 共面 B.异面 C.可能共面也可能异面 D.既不共面也不异面

课堂练习
5.“a,b是异面直线”是指

① a∩b=Φ且a不平行于b; ② a ? 平面?,b ? 平面?且a∩b=Φ ③ a ? 平面?,b ? 平面? ④ 不存在平面?,能使a ? ?且b ? ?成立 上述结论中,正确的是( ) (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④

6.异面直线”是( ) (1)空间中不相交的两条直线; (2)a ? ?,b ? ?, 则直线a,b是异面直线 ; (3)不同在任一平面内的两条直线; (4)空间没有公共点的两条直线 (5)既不相交,又不平行的两条直线

三、异面直线所成的角
1、定义:直线a、b为异面直线,经过空间任一点O,分别引 a′∥a,b′∥b,则相交直线a′,b′所成的锐角(或直角) 叫做两条异面直线a、b所成的角(或夹角)
a′? a b P O b′ a′ θ

O

注意: 1、异面直线a、b所成角,只与a、b的相互位置有关,而与点 O` ` 位置无关 2、一般常把点O取在直线a或b上 3、异面直线所成角的取值范围:0?

? ? ? 90 ?

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。

2、例题讲解
例2:如图表示一个正方体 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BD1成异面直线 D1 (2)求直线BA1与DC1的夹角的度数 A1 (3)求直线BA 与CC 的夹角的度数
1 1

C1 B1 C

(4)哪些棱所在的直线与直线BB1垂直 D

A 变式:在上例中,直线BA1与AD1的夹角的度数?
小结:在求异面直线所成角的步骤: (平移法) (1) 移 平移直线交于一点; (2) 交 组成相应的平面图形(一般为三角形); (3) 求 求角度的相关值

B

3、课堂练习
练习2、如图,在长方体中,已知AB=AD= 2 3 (1)BC和A1C1所成的角是多少度? (2)AA1与BC1所成的角是多少度?
D1 B1

,AA1= 2 ,

C1

A1
D C B

A

3、课堂练习
练习3、如图,在长方体中,已知AA1=AD=1,AB= 3 ,求AB1 与BC1所成的角的余弦值 C1 D1 B1 A1
D C

A

B

求异面直线所成角的大小,关键是找两异面直线的

相交平行线,构造三角形,再通过解三角形求角。

例1、在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边 AB、BC、CD、DA的中点,则:

A H D

平行 四边形; (1)四边形EFGH是______ 菱形 B; (2)若AC=BD,则四边形EFGH是_______
(3)若AC=BD,且AC⊥BD,则四边形

E

F C

G

正方形 EFGH是_______________ 。

600 (4)若EG=1,AC=BD=2,则AC与BD所成的角为______.
(5)若EG= 3,AC=BD=2,则AD与BC所成的角为______. 600

问题提出
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系?

a

b

c

d

e

a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …

新课讲授 三.平行公理
公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行
———平行线的传递性

推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.
A

例2.如图,空间四边形ABCD 中,E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点.求证:四边形 EFGH是平行四边形.

H E D G C

B

F

在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边 分别平行,那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结论是否仍

问题提出:

然成立呢?
观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 , ∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小 D1 C1 关系如何? A1 B1 答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1, D O C ∠ADC +∠A1B1C1=180 A 那么这两个角相等或互补.

B

定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,

新课讲授 四.等角定理
定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,
那么这两个角相等或互补.

A

B
D1

C
C1 B1

练习: P48练习1 练习: P51 A3

A1

E
C

F
A

D B

课后思考
已知a, b, c是三条直线, 若a, b是异面直线,

b,c是异面直线,判断a与c的位置关系,并画图说明.

答案 : a与c可能相交, 也可能平行, 也可能异面.
b
?

b

?

b

c

a

c

?

a

c

(1)

(2)

?

a

(3)